春季学期新人教版九年级数学下册第27章相似新题型解析.docx

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春季学期新人教版九年级数学下册第27章相似新题型解析

九年数学下第27章《相似》新题型解析

□江苏葛余常

一、网格证明题

例1.如图1，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上。

（1）填空：

∠ABC＝_________°，BC＝_________；

（2）判断△ABC与△DEF是否相似，并证明你的结论。

图1

解：

（1）∠ABC＝135°，

（2）能判断△ABC与△DEF相似（或△ABC∽△DEF），这是因为∠ABC＝∠DEF＝135°，

∴△ABC∽△DEF

评析：

本题寓填空、识图、说理于一体，利用网格解决相似问题，使学生基础知识得以应用，思维能力得以提高。

二、情景应用题

例2.如图2所示，某市经济开发区建有B、C、D三个食品加工厂，这三个工厂和开发区A处的自来水厂正好在一个矩形的四个顶点上，它们之间有公路相通，且AB＝CD＝900米，AD＝BC＝1700米。

自来水公司已经修好一条自来水主管道AN，B、C两厂之间的公路与自来水管道交于E处，EC＝500米。

若自来水主管道到各工厂的自来水管道由各厂负担，每米造价800元。

图2

（1）要使修建自来水管道的造价最低，这三个工厂的自来水管道路线应怎样设计？

并在图形中画出；

（2）求出各厂所修建的自来水管道的最低的造价各是多少元？

解：

（1）过B、C、D分别作AN的垂线段BH、CF、DG，交AN于H、F、G，BH、CF、DG即为所求的造价最低的管道线路。

如图3所示。

图3

（2）（米）

（米）

∵△ABE∽△CFE

得

（米）

∵△BHE∽△CFE，得

（米）

∵△ABE∽△DGA，

（米）

所以，B、C、D三厂所建自来水管道的最低造价分别是（元），（元），（元）。

评析：

将相似与应用有机结合，是本题的一个特色，本题虽没有复杂的运算及偏怪之弊，但涉及的知识面宽，知识点多，它不仅综合考查学生能力，而且通过本题使学生明白，社会实践离不开数学。

三、分类讨论题

例3.在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC边上的高，并且，则∠BCA的度数为_____。

解：

（1）当高AD在△ABC内时，如图4。

图4

又∠ADB＝∠CDA，∴△ADB∽△CDA

∴∠BAD＝∠ACD

∵∠CAD＋∠ACD＝90°

∴∠CAD＋∠BAD＝90°

∵∠B＝25°，∴∠BCA＝65°

（2）当高AD在△ABC外时，如图5。

图5

同理可证△ADB∽△CDA

∴∠ABD＝∠CAD＝25°

∴∠ACD＝65°

∴∠BCA＝180°－∠ACD＝115°

评析：

本题一方面考查相似三角形的判定和性质，另一方面考查分类讨论的思想方法。

四、新定义图形题

例4.

定义：

若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形。

探究：

（1）如图6，已知△ABC中∠C＝90°，你能把△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形吗？

若能，请在图甲中画出分割线，并说明理由。

图6

（2）一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连结三角形各边中点，就可将原三角形分割为四个都与它自己相似的小三角形。

我们把△DEF（图7）第一次顺次连结各边中点所进行的分割，称为1阶分割（如图7-1）；把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连结它的各边中点所进行的分割，称为2阶分割（如图7-2）……依此规则操作下去。

n阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形（n为正整数），设此时小三角形的面积为。

①若△DEF的面积为10000，当n为何值时，？

（请用计算器进行探索，要求至少写出三次的尝试估算过程）

②当n＞1时，请写出一个反映之间关系的等式（不必证明）。

解：

（1）如图8，过点C作CD⊥AB，垂足为D，CD即是满足要求的分割线。

图8

理由：

∵∠B＝∠B，∠CDB＝∠ACB＝90°

∴△BCD∽△ACB

（2）①△DEF经n阶分割所得的小三角形的个数为

当时，

当n＝6时，

当n＝7时，

∴当n＝6时，

②

评析：

这道题的求解过程反映了《标准》所倡导的数学活动方式，如观察、实验、推理、猜想，而不仅仅是记忆，模仿，从而明白：

研究问题要由表及里，由此及彼，学以致用。

五、运动变化题

例5.

如图9，在一个长40m、宽30m的长方形小操场上，王刚从A点出发，沿着A→B→C的路线以3m/s的速度跑向C地。

当他出发4s后，张华有东西需要交给他，就从A地出发沿王刚走的路线追赶，当张华跑到距B地的D处时，他和王刚在阳光下的影子恰好重叠在同一条直线上，此时，A处一根电线杆在阳光下的影子也恰好落在对角线AC上。

（1）求他们的影子重叠时，两人相距多少米（DE的长）？

（2）求张华追赶王刚的速度是多少（精确到0.1m/s）？

图9

解：

（1）由阳光与影子的性质可知DE∥AC

∴∠BDE＝∠BAC，∠BED＝∠BCA

∴△BDE∽△BAC

（2），王刚到E点的时间为，张华追赶王刚的速度是。

评析：

解决运动变化的问题，应认真地分析运动的全过程，把握运动变化过程中的各种情况，特别是关键的点，特殊的位置。

六、作图说理题

例8.

小胖和小瘦去公园玩标准的跷跷板游戏，两同学越玩越开心，小胖对小瘦说：

“真可惜！

我只能将你最高翘到1米高，如果我俩各边的跷跷板都再伸长相同的一段长度，那么我就能翘到1米25，甚至更高！

”

（1）你认为小胖的话对吗？

请你作图分析说明：

（2）你能否找出将小瘦翘到1米25高的方法？

试说明。

解：

（1）小胖的话不对。

小胖说“真可惜！

我现在只能将你最高翘到1米高”，情形如图10-1所示，OP是标准跷跷板支架的高度，AC是跷跷板一端能翘到的最高高度1米，BC是地面。

图10-1

∵OP⊥BC，AC⊥BC，∠OBP＝∠ABC

∴△OBP∽△ABC

又∵此跷跷板是标准跷跷板，BO＝OA

，而AC＝1米，得OP＝0.5米

若将两端同时都再伸长相同的长度，假设为a米（a＞0）

如图10-2所示，BD＝a米，AE＝a米

图10-2

即DO＝OE

同理可得△DOP∽△DEF

，由OP＝0.5米，得EF＝1米

综上所述，跷跷板两边同时都再伸长相同的一段长度，跷跷板能翘到的最高高度始终为支架OP高度的两倍，所以不可能翘得更高。

（2）方案一保持BO长度不变，将OA延长一半至E，即只将小瘦一边伸长一半。

使，则。

由△BOP∽△BEF，得

∴EF＝1.25米

方案二如图10-3所示，只将支架升高0.125米

图10-3

又米

米

评析：

本题为探究结论型开放题。

第

（1）题中，只要看构成的三角形的相似比是否变化。

第

（2）题中，只要改变构成的三角形的相似比。

它虽未在难度上着墨，却令人颇感新意，体现出对灵活思维的要求，值得重视。