中考数学试题汇编专题39开放性问题含答案.docx

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中考数学试题汇编专题39开放性问题含答案

开放性问题

一.解答题

1.（河北石家庄·一模）如图，抛物线y=﹣x2+x+1与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（3，0）

（1）求直线AB的函数关系式；

（2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N．设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；

（3）设在

（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？

问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？

请说明理由．

【考点】二次函数综合题．

【专题】压轴题．

【分析】

（1）由题意易求得A与B的坐标，然后有待定系数法，即可求得直线AB的函数关系式；

（2）由s=MN=NP﹣MP，即可得s=﹣t2+t+1﹣（t+1），化简即可求得答案；

（3）若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=BC，即可得方程：

﹣t2+t=，解方程即可求得t的值，再分别分析t取何值时四边形BCMN为菱形即可．

【解答】解：

（1）∵当x=0时，y=1，

∴A（0，1），

当x=3时，y=﹣×32+×3+1=2.5，

∴B（3，2.5），

设直线AB的解析式为y=kx+b，

则：

，

解得：

，

∴直线AB的解析式为y=x+1；

（2）根据题意得：

s=MN=NP﹣MP=﹣t2+t+1﹣（t+1）=﹣t2+t（0≤t≤3）；

（3）若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=BC，此时，有﹣t2+t=，

解得t1=1，t2=2，

∴当t=1或2时，四边形BCMN为平行四边形．

①当t=1时，MP=，NP=4，故MN=NP﹣MP=，

又在Rt△MPC中，MC=，故MN=MC，此时四边形BCMN为菱形，

②当t=2时，MP=2，NP=，故MN=NP﹣MP=，

又在Rt△MPC中，MC=，故MN≠MC，此时四边形BCMN不是菱形．

【点评】此题考查了待定系数法求函数的解析式，线段的长与函数关系式之间的关系，平行四边形以及菱形的性质与判定等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是数形结合思想的应用．

2.（河北石家庄·一模）如图1，一副直角三角板满足AB=BC，AC=DE，∠ABC=∠DEF=90°∠EDF=30°，

【操作1】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q．

在旋转过程中，如图2，当时，EP与EQ满足怎样的数量关系？

并给出证明．

【操作2】在旋转过程中，如图3，当时EP与EQ满足怎样的数量关系？

，并说明理由．

【总结操作】根据你以上的探究结果，试写出当时，EP与EQ满足的数量关系是什么？

其中m的取值范围是什么？

（直接写出结论，不必证明）m．

第2题

【考点】相似形综合题．

【分析】（操作1）连接BE，根据已知条件得到E是AC的中点，根据等腰直角三角形的性质可以证明DE=CE，∠PBE=∠C．根据等角的余角相等可以证明∠BEP=∠CEQ．即可得到全等三角形，从而证明结论；

（操作2）作EM⊥AB，EN⊥BC于M、N，根据两个角对应相等证明△MEP∽△NWQ，发现EP：

EQ=EM：

EN，再根据等腰直角三角形的性质得到EM：

EN=AE：

CE；

（总结操作）根据

（2）中求解的过程，可以直接写出结果；要求m的取值范围，根据交点的位置的限制进行分析．

【解答】（操作1）EP=EQ，

证明：

连接BE，根据E是AC的中点和等腰直角三角形的性质，得：

BE=CE，∠PBE=∠C=45°，

∵∠BEC=∠FED=90°

∴∠BEP=∠CEQ，

在△BEP和△CEQ中

，

∴△BEP≌△CEQ（ASA），

∴EP=EQ；

如图2，EP：

EQ=EM：

EN=AE：

CE=1：

2，

理由是：

作EM⊥AB，EN⊥BC于M，N，

∴∠EMP=∠ENC，

∵∠MEP+∠PEN=∠PEN+∠NEF=90°，

∴∠MEP=∠NEF，

∴△MEP∽△NEQ，

∴EP：

EQ=EM：

EN=AE：

CE=1：

2；

如图3，过E点作EM⊥AB于点M，作EN⊥BC于点N，

∵在四边形PEQB中，∠B=∠PEQ=90°，

∴∠EPB+∠EQB=180°，

又∵∠EPB+∠MPE=180°，

∴∠MPE=∠EQN，

∴Rt△MEP∽Rt△NEQ，

∴=，

Rt△AME∽Rt△ENC，

∴=m=，

∴=1：

m=，

EP与EQ满足的数量关系式1：

m，即EQ=mEP，

∴0＜m≤2+，（因为当m＞2+时，EF和BC变成不相交）．

【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，主要考查学生运用定理进行推理的能力，证明过程类似．

3.（河大附中·一模）（本题满分9分）

如图

（1），线段AB=4，以线段AB为直径画☉O，C为☉O上的动点，连接OC，过点A作☉O的切线与BC的延长线交于点D，E为AD的中点，连接CE．

（1）求证：

CE是☉O的切线；

第2题

（2）①当CE=时，四边形AOCE为正方形？

②当CE=时，△CDE为等边三角形时？

答案：

4.（河大附中·一模）（本题满分10分）在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC.

问题发现：

（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，当点D在线段BC上时（不与点B重合），如图1，请你判断线段CE，BD之间的位置关系和数量关系（直接写出结论）；

拓展探究：

（2）如果AB=AC，∠BAC=90°，当点D在线段BC的延长线上时，如图2，

请判断①中的结论是否仍然成立，如成立，请证明你的结论。

问题解决：

（3）如图3，AB≠AC，∠BAC≠90。

，若点D在线段BC上运动，试探究：

当锐角∠ACB等于度时，线段CE和BD之间的位置关系仍然成立（点C、E重合除外）。

此时作DF⊥AD交线段CE于点F，AC=3，线段CF长的最大值是．

答案：

第4题

答案：

5.（黑龙江大庆·一模）（本题9分）

在平面直角坐标系中，有三点A（-1，0），B（0，错误！

未找到引用源。

），C（3，0）．

（1）求过点A、B、C的抛物线的解析式；

（2）如图1，在线段AC上有一动点P，过P点作直线PD∥AB交BC于点D，求出△PBD面积的最大值；

（3）如图2，在

（2）的情况下，在抛物线上是否存在一点Q，使△QBD的面积与△PBD面积相等，如存在，直接写出Q点坐标，如不存在，请说明理由．

第5题

图1图2

答案：

解:

（1）∵所求的函数解析式过A（-1，0），B（0，），C（3，0），∴设所求的函数解析式为：

，当，时，，解得：

，∴所求的函数解析式为:

或．2分

（2）∵A（-1，0），B（0，），C（3，0），OA=1，OB=，OC=3，OB⊥AC，

∴在Rt△AOB和Rt△BOC中，tan∠BAO=，tan∠BCO=，

∴∠BAO=60°，∠BCO=30°则∠ABC=90°，∴AB⊥BC，∴BC=2OB=；

又∵AB⊥BC，PD//AB，∴PD⊥AC，

∵P在线段AC上，设P（m，0），∴PC==3-m

∵∠BCO=30°，PD⊥AC，∴PD=PC=；

DC===，

BD=BC-DC==，

∴=，

∴△PBD面积的最大值是；

（3）（，），（，），（1，），（2，）．

图1图2

6.（·黑龙江齐齐哈尔·一模）（本题8分）

如图，过点A（-1，0）、B（3，0）的抛物线y=-x2+bx+c与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点E.

（1）求抛物线解析式；

（2）求抛物线顶点D的坐标；

（3）若抛物线的对称轴上存在点P使，求此时DP的长.

答案：

解：

（1）y=-x2+2x+3；

（2）D（1，4）；

（3）1或7.

7.（黑龙江齐齐哈尔·一模）（本题12分）

如图，矩形ABCD的顶点A在轴的正半轴上，顶点D在轴的正半轴上，点B、点C在第一象限，sin∠OAD=，线段AD、AB的长分别是方程的两根（AD＞AB）．

（1）求点B的坐标；

（2）求直线AB的解析式；

（3）在直线AB上是否存在点M，使以点C、点B、点M为顶点的三角形与△OAD相似？

若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

答案：

（1）过点B作BE⊥x轴于点E.

解方程得.

∵AD>AB

∴AD=8，AB=3.

∵∠OAD=,

∴∠OAD=60°.

∴∠BAE=30°

OA=AD×cos60°=4

∴AE=AB×cos30°=3×=，

BE=AB×sin30°=

∴B点的坐标为（）

（2）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0）.

则，解得

∴直线AB的解析式为y=x-.

错误！

未找到引用源。

（3）存在，、、

、

8.（湖北襄阳·一模）（本题11分）如图，在正方形ABCD中，AB=5，P是BC边上任意一点，E是BC延长线上一点，连接AP，作PF⊥AP，使PF＝PA，连接CF，AF，AF交CD边于点G，连接PG．

（1）求证：

∠GCF＝∠FCE；

（2）判断线段PG，PB与DG之间的数量关系，并证明你的结论；

（3）若BP＝2，在直线AB上是否存在一点M，使四　

　　边形DMPF是平行四边形，若存在，求出BM的

　　长度，若不存在，说明理由．

第8题

答案：

（1）证明：

过点F作FH⊥BE于点H，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC＝∠PHF＝∠DCB＝90º,AB＝BC，

∴∠BAP＋∠APB＝90º

∵AP⊥PF,

∴∠APB＋∠FPH＝90º

∴∠FPH＝∠BAP

又∵AP＝PF

∴△BAP≌△HPF

∴PH＝AB，BP＝FH

∴PH＝BC

∴BP＋PC＝PC＋CH

∴CH＝BP＝FH

而∠FHC＝90º.∴∠FCH＝CFH＝45º

∴∠DCF＝90º－45º＝45º

∴∠GCF＝∠FCE

（2）PG＝PB＋DG

证明：

延长PB至K，使BK=DG,

∵四边形ABCD是正方形

∴AB=AD,∠ABK＝ADG=90º

∴△ABK≌△ADG

∴AK=AG,∠KAB＝∠GAD,

而∠APF=90º,AP=PF

∴∠PAF＝∠PFA＝45º

∴∠BAP＋∠KAB＝∠KAP＝45º＝∠PAF

∴△KAP≌△GAP

∴KP=PG,

∴KB＋BP=DG＋BP＝PG

即，PG＝PB＋DG；

（3）存在.

如图，在直线AB上取一点M，使四边形DMPF是平行四边形，

则MD∥PF，且MD＝FP，

又∵PF=AP，

∴MD=AP

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠ABP=∠DAM

∴△ABP≌△DAM

∴AM＝BP=2，

∴BM＝AB－AM=5－2=3.

∴当BM=3，BM+AM=AB时，四边形DMPF是平行四边形．

9.（湖北襄阳·一模）（本小题满分13分）

在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于A（－3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；

（3）点Q是直线AC上方的抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于轴，垂足为E．是否存在点Q，使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似？

若存在，