数学建模之减肥问题的数学模型_精品文档Word格式文档下载.doc
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本文建立了减肥的数学模型，从数学的角度对有关身体肥胖的规律做进一步的探讨和分析.在研究此问题时，体重的实时变化数据是我们研究的核心数据，这就会使我们联系到变量的变化率或导数，这样所得到变量之间的关系式就是微分方模型.微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，在研究体重，能量与运动之间的关系时，得到直接关系就得求解微分方程.
本文利用了微分方程模型求解减肥的实际问题，根据基本规律写出了平衡关系式
再利用一定的转换条件进行转化为简单明了的式子，求解出模型关系式
然后根据建立的模型表达式来解决一些实际的减肥问题，给出数学模型所能解答的一些实际建议.
关键字：
微分方程模型能量守恒能量转换系数
1问题重述
1.1课题的背景
随着社会的进步和发展，人们的生活水平在不断提高，饮食营养摄入量的改善和变化、生活方式的改变，使得肥胖成了社会关注的一个问题.为此，联合国世界卫生组织曾颁布人体体重指数（简记BMI）：
体重（单位：
kg）除以身高（单位：
m）的平方，规定BMI在18.5至25为正常，大于25为超重，超过30则为肥胖.据悉我国有关机构针对东方人的特点，拟将上述规定中的25改为24，30改为29.无论从健康的角度，是从审美的角度，人们越来越重视减肥，大量的减肥机构和商品出现，不少自感肥胖的人加入了减肥的行列，盲目的减肥，使得人们感到不理想，如何对待减肥问题，不妨通过组建模型，从数学的角度，对有关的规律作一些探讨和分析.
根据背景知识，我们知道任何人通过饮食摄取的能量不能低于用于维持人体正常生理功能所需要的能量，因此作为人体体重极限值的减肥效果指标一定存在一个下限，当时表明能量的摄入过低并致使维持他本人正常的生理功能的所需不足，这种减肥所得到的结果不能认为是有效的，它将危机人的身体健康，是危险的，称为减肥的临界指标.另外，人们认为减肥所采取的各种体力运动对能量的消耗也有一个所能承受的范围，记为，当能量的摄取量高于体重时，这是体重不会从减少，所以可以看到单一的措施达不到减肥效果.
1.2具体的问题和相关数据
现有五个人，身高、体重和BMI指数分别如下表1.1所示，体重长期不变，试为他们按照以下方式制定减肥计划，使其体重减至自己的理想目标，并维持下去：
表1.1身高，体重和BMI指数表
人数编号
1
2
3
4
5
身高
1.7
1.68
1.64
1.72
1.71
体重
100
112
113
114
124
BMI
34.6
33.5
35.2
34.8
35.6
理想目标
75
80
85
90
每天摄
入能量
2857
2543
2734
2689
2776
题目具体要求如下：
（1）在基本不运动的情况下安排计划，每天吸收的热量保持下限，减肥达到目标；
（2）若是加快进程，增加运动，重新安排计划，经过查找资料得到以下各项运动每小时每kg体重的消耗的热量如下表1.2所示：
表1.2每小时每kg体重的热量消耗
运动
跑步
跳舞
乒乓
自行车
（中速）
游泳
（50m/min）
热量消耗
7.0
3.0
4.4
2.5
7.9
（3）给出达到目标后维持体重的方案.
2模型假设与符号说明
2.1问题分析
本问题要建立减肥的数学模型，减肥是一个比较长期和不定的过程，因此要用数学的方法对减肥这一问题建模，就需要选定一个测量肥胖的标准量.因为人体的脂肪是能量的主要贮存和提供的方式，而且也是减肥的主要目标.因此，我们以人体脂肪的重量作为体重的标志.已知脂肪的能量转换率为100﹪，每千克脂肪可以转换为8000kcal，称为脂肪的能量转换系数.
肥胖主要是体现在人的身体上，减肥其实就是将人的体重降下来，所以归根到底，研究减肥就是要研究体重的变化，因此在减肥过程中我们要对人的体重进行持续的检测，忽略个体间的差异（年龄、性别、健康状况等）对减肥的影响，可以将人体的体重看成是时间的函数.
在减肥的过程中，无论是由于进食摄取能量导致体重的增加，还是由于体力活动消耗能量致使体重的减少，异或还有其他一些不可预知的因素，这都是一个渐变的过程,所以认定是连续光滑的.所以我们认为能量的摄取和消耗都是随时发生的，而不同的活动对能量的消耗是不同的.所以我们在建模的过程中需要设定一个参数用来表示某种活动消耗的人体能量.记为某一种活动每小时所消耗的能量，记为1kg体重每小时所消耗的能量.
2.2模型假设
1．假设以人体脂肪的重量作为体重的标志.
2．假设体重随时间的变化是连续而且充分光滑的.
3．假设在单位时间人体的能量消耗与其体重成正比.
4．假设人体每天摄入的能量是一定的.记为.
5．正常代谢引起的减少正比于体重，每人每千克体重消耗热量一般为
28.75~45.71kcal，且因人而异.
6．假设在研究减肥的过程中，我们忽略个体间的差异对减肥的影响.
7．人体每天摄入量是一定的，为了安全和健康，每天吸收热量不要小于1429kcal.
8．假设单位时间内人体由于基础代谢和食物特殊动力作用所消耗的能量正比于人
的体重.
2.3符号说明
：
脂肪的能量转化系数.
人体的体重关于时间的的函数..
每千克体重每小时运动所消耗的能量.
每千克体重每小时所消耗的能量.
每天摄入的能量.
五个人理想的体重目标向量.
五个人每天分别摄入的能量..
五个人减肥前的体重.
每人每天每千克体重基础代谢的能量消耗.
3模型建立与求解
3.1一般模型建立
如果以1天为时间的计量单位，于是每天基础代谢的能量消耗量应，由于人的某种运动一般不会是全天候的，不妨假设每天运动小时，则每天由于运动所消耗的能量应为.按照假设2，体重随时间的变化是连续而且充分光滑的，我们可以在任何一个时间段内考虑由于能量的摄入与消耗引起人的体重的变化.
按照能量的平衡原理，任何时间段内由于体重的改变所引起的人体内能量的变化应该等于这段时间内摄入的能量与消耗的能量之差.我们选取某一段时间，在时间段内考虑能量的改变:
设体重改变的能量变化为,则有
（3.1）
设摄入与消耗的能量之差为，则有
（3.2）
根据能量平衡原理有
（3.3）
得：
（3.4）
取，可得
（3.5）
其中，，（模型开始考察时刻），即减肥问题的数学模型
模型求解得
（3.6）
表示由于能量的摄入而增加的体重，而表示由于能量的消耗而失掉的百分数（每单位体重中由于基础代谢和活动而消耗掉的那部分）.
3.2针对实际问题的模型建立
1.由一般模型的建立已经知道减肥问题的数学模型为微分方程模型（3.6），利用此方法可求解出每个人要达到自己的理想体重的天数.
首先确定此人每天每千克体重基础代谢的能量消耗，因为没有运动，所以有，根据式（3.6）式，得
（3.7）
从而得到每人每天每千克体重基础代谢的能量消耗
从假设5可知，这些人普遍属于代谢消耗相当弱的人，加上吃得比较多，有没有运动，所以会长胖，进一步，由（五人的理想体重），（五人减肥前的体重），D=8000kcal/kg（脂肪的能量转换系数），根据式（3.6）式有
（3.8）
将（五个人每天分别摄入的能量）的值代入上式时，就会得出五个人要达到自己的理想体重时的天数，如下表3.1所示
表3.1达到理想体重所需天数表
人
天数
194
372
313
266
298
Matlab源程序：
R=0;
D=8000;
%能量转换系数
W1=[7580808590];
%理想的体重目标
A=[28572543273426892776];
%每人每天摄入的能量
W=[100112113114124];
%每人的体重
n=length（W）;
B=A./W%每人每天每千克体重基础代谢的能量消耗
a=A./D
d=（B+R）./D
for
i=1:
n
t（i）=-（D/B（i））*log（（W1（i）*B（i）-A0）/（W（i）*B（i）-A0））;
%减肥所需要的时间
end
2.为加快进程，增加运动，结合查找资料得到各项运动每小时每kg体重消耗的热量表2，再结合假设3，取，，根据式（4.6）有
（3.9）
将（五个人每天分别摄入的能量）的值代入上式时，取不同的，得到一组数据，
在运动的情况下，我们选取的是一个小时，得到了每个人在不同运动强度下，要达到自己的理想目标所需的天数，如下表3.2所示：
表3.2不同运动强度下达到理想体重所需天数
时间/天
122
155
141
160
116
187
261
229
274
176
173
232
207
243
164
148
198
177
206
140
163
220
196
230
154
h=1;
r=[7.03.04.42.57.9];
R=h.*r;
n1=length（R）;
%能量转换系数
%理想的体重目标
%每人每天摄入的能量
W=[100112113114124];
%每人的体重
n=length（W）;
B=A./W;
%每人每天每千克体重基础代谢的能量消耗
forj=1:
n1
fori=1:
t=（i,j）=
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