利用导数解决恒成立能成立问题_精品文档Word格式.docx

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9．当x∈（0，+∞）时，函数f（x）=ex的图象始终在直线y=kx+1的上方，则实数k的取值范围是　_________　．

10．设函数f（x）=ax3﹣3x+1，若对于任意的x∈[﹣1，1]都有f（x）≥0成立，则实数a的值为　_______．

11．若关于x的不等式x2+1≥kx在[1，2]上恒成立，则实数k的取值范围是　_________　．

12．已知f（x）=ln（x2+1），g（x）=（）x﹣m，若∀x1∈[0，3]，∃x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是（　　）

A．

[，+∞）

B．

（﹣∞，]

C．

D．

（﹣∞，﹣]

13．已知，，若对任意的x1∈[﹣1，2]，总存在x2∈[﹣1，2]，使得g（x1）=f（x2），则m的取值范围是（　　）

[0，]

[，0]

[，]

[，1]

二利用导数解决能成立问

若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上；

若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上的.

14．已知集合A={x∈R|≤2}，集合B={a∈R|已知函数f（x）=﹣1+lnx，∃x0＞0，使f（x0）≤0成立}，则A∩B=（　　）

{x|x＜}

{x|x≤或x=1}

{x|x＜或x=1}

{x|x＜或x≥1}

15．设函数，（p是实数，e为自然对数的底数）

（1）若f（x）在其定义域内为单调函数，求p的取值范围；

（2）若在[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求p的取值范围．

　16．若函数y=f（x），x∈D同时满足下列条件：

（1）在D内的单调函数；

（2）存在实数m，n，当定义域为[m，n]时，值域为[m，n]．则称此函数为D内可等射函数，设（a＞0且a≠1），则当f（x）为可等射函数时，a的取值范围是_______

17．存在x＜0使得不等式x2＜2﹣|x﹣t|成立，则实数t的取值范围是　_________　．

18．存在实数x，使得x2﹣4bx+3b＜0成立，则b的取值范围是　_________　．

19．已知存在实数x使得不等式|x﹣3|﹣|x+2|≥|3a﹣1|成立，则实数a的取值范围是　_　．　

20．存在实数a使不等式a≤2﹣x+1在[﹣1，2]成立，则a的范围为　_________　．

21．若存在x∈，使成立，则实数a的取值范围为　______　．　

22．设存在实数，使不等式成立，则实数t的取值范围为　_________　．　

23．若存在实数p∈[﹣1，1]，使得不等式px2+（p﹣3）x﹣3＞0成立，则实数x的取值范围为　_________　．

参考答案

1若在x∈[1，+∞）上恒成立，则a的取值范围是（﹣∞，]．

解：

∵=a﹣1﹣，∴lnx+≥a﹣1，

∵在x∈[1，+∞）上恒成立，

∴y=x+在x∈[1，+∞）上的最小值不小于a﹣1，

∵，令=0，得x=1，或x=﹣1（舍），

∴x∈[1，+∞）时，＞0，∴y=x+在x∈[1，+∞）上是增函数，

∴当x=1时，y=x+在x∈[1，+∞）上取最小值=，故，所以a．

点评：

本题考查实数的取值范围的求法，具体涉及到分离变量法、导数性质、等价转化思想等知识点的灵活运用，解题时要关键是在x∈[1，+∞）上恒成立等价转化为y=x+在x∈[1，+∞）上的最小值不小于a﹣1．

2．若不等式x4﹣4x3＞2﹣a对任意实数x都成立，则实数a的取值范围　（29，+∞）　．

解答

记F（x）=x4﹣4x3∵x4﹣4x3＞2﹣a对任意实数x都成立，

∴F（x）在R上的最小值大于2﹣a求导：

F′（x）=4x3﹣12x2=4x2（x﹣3）

当x∈（﹣∞，3）时，F′（x）＜0，故F（x）在（﹣∞，3）上是减函数；

当x∈（3，+∞）时，F′（x）＞0，故F（x）在（3，+∞）上是增函数．

∴当x=3时，函数F（x）有极小值，这个极小值即为函数F（x）在R上的最小值

即[F（x）]min=F（3）=﹣27因此当2﹣a＜﹣27，即a＞29时，等式对任意实数x都成立

本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值、函数恒成立问题等等知识点，属于中档题．

3．设a＞0，函数，若对任意的x1，x2∈[1，e]，都有f（x1）≥g（x2）成立，则a的取值范围为　[e﹣2，+∞）　．

求导函数，可得g′（x）=1﹣，x∈[1，e]，g′（x）≥0，∴g（x）max=g（e）=e﹣1

，令f'

（x）=0，∵a＞0，x=±

当0＜a＜1，f（x）在[1，e]上单调增，∴f（x）min=f

（1）=1+a≥e﹣1，∴a≥e﹣2；

当1≤a≤e2，f（x）在[1，]上单调减，f（x）在[，e]上单调增，

∴f（x）min=f（）=≥e﹣1恒成立；

当a＞e2时f（x）在[1，e]上单调减，∴f（x）min=f（e）=e+≥e﹣1恒成立综上a≥e﹣2

本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，解题的关键是将对任意的x1，x2∈[1，e]，都有f（x1）≥g（x2）成立，转化为对任意的x1，x2∈[1，e]，都有f（x）min≥g（x）max．

4．若不等式|ax3﹣lnx|≥1对任意x∈（0，1]都成立，则实数a取值范围是　．

解答：

显然x=1时，有|a|≥1，a≤﹣1或a≥1．令g（x）=ax3﹣lnx，

①当a≤﹣1时，对任意x∈（0，1]，，g（x）在（0，1]上递减，g（x）min=g

（1）=a≤﹣1，此时g（x）∈[a，+∞），|g（x）|的最小值为0，不适合题意．

②当a≥1时，对任意x∈（0，1]，，∴

函数在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增

∴|g（x）|的最小值为≥1，解得：

．

本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，正确求导是关键．

5．设函数f（x）的定义域为D，令M={k|f（x）≤k恒成立，x∈D}，N={k|f（x）≥k恒成立，x∈D}，已知，其中x∈[0，2]，若4∈M，2∈N，则a的范围是　　．

解

由题意，x∈[0，2]时，，∴

令，则g′（x）=x2﹣x=x（x﹣1）

∵x∈[0，2]，∴函数在[0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增∴x=1时，g（x）min=﹣

∵g（0）=0，g

（2）=∴g（x）max=∴2﹣a≤﹣且4﹣a≥∴

　6．f（x）=ax3﹣3x（a＞0）对于x∈[0，1]总有f（x）≥﹣1成立，则a的范围为　[4，+∞]　．

∵x∈[0，1]总有f（x）≥﹣1成立，即ax3﹣3x+1≥0，x∈[0，1]恒成立

当x=0时，要使不等式恒成立则有a∈（0，+∞）

当x∈（0，1]时，ax3﹣3x+1≥0恒成立，即有：

在x∈（0，1]上恒成立，

令，必须且只需a≥[g（x）]max由＞0得，

所以函数g（x）在（0，]上是增函数，在[，1]上是减函数，所以=4，即a≥4

本题考查函数的导数，含参数的不等式恒成立为题，方法是转化为利用导数求函数闭区间上的最值问题，考查了分类讨论的数学思想方法．

　7．三次函数f（x）=x3﹣3bx+3b在[1，2]内恒为正值，则b的取值范围是　　．

：

方法1：

可以看作y1=x3，y2=3b（x﹣1），且y2＜y1x3的图象和x2类似，只是在一，三象限，

由于[1，2]，讨论第一象限即可直线y2过（1，0）点，斜率为3b．

观察可知在[1，2]范围内，直线y2与y1=x3相切的斜率是3b的最大值．

对y1求导得相切的斜率3（x2），相切的话3b=3（x2），b的最大值为x2．

相切即是有交点，y1=y23x2（x﹣1）=x3x=1.5则b的最大值为x2=9/4，那么b＜9/4．

方法2：

f（x）=x^3﹣3bx+3bf'

（x）=3x^﹣3bb≤0时，

f（x）在R上单调增，只需f

（1）=1＞0，显然成立；

b＞0时，令f'

（x）=0x=±

√b﹣﹣﹣＞f（x）在[√b，+∞）上单调增，在[﹣√b，√b]上单调减；

如果√b≤1即b≤1，只需f

（1）=1＞0，显然成立；

如果√b≥2即b≥4，只需f

（2）=8﹣3b＞0﹣﹣﹣＞b＜8/3，矛盾舍去；

如果1＜√b＜2即1＜b＜4，必须f（√b）=b√b﹣3b√b+3b＞0

﹣b（2√b﹣3）＞0√b＜3/2b＜9/4，即：

1＜b＜9/4综上：

b＜9/4

8．不等式x3﹣3x2+2﹣a＜0在区间x∈[﹣1，1]上恒成立，则实数a的取值范围（2，+∞）．

原不等式等价于x3﹣3x2+2＜a区间x∈[﹣1，1]上恒成立，

设函数f（x）=x3﹣3x2+2，x∈[﹣1，1]求出导数：

f/（x）=3x2﹣6x，由f/（x）=0得x=0或2

可得在区间（﹣1，0）上f/（x）＞0，函数为增函数，

在区间（0，1）上f/（x）＜0，函数为减函数，

因此函数在闭区间[﹣1，1]上在x=0处取得极大值f（0）=2，并且这个极大值也是最大值

所以实数a＞2

　9．当x∈（0，+∞）时，函数f（x）=ex的图象始终在直线y=kx+1的上方，则实数k的取值范围是　（﹣∞，1]　．

G（x）=f（x）﹣y=ex﹣kx+1，G′（x）=ex﹣k，

∵x∈（0，+∞）∴G′（x）单调递增，

当x=0时G′（x）最小，当x=0时G′（x）=1﹣k

当G′（x）＞0时G（x）=f（x）﹣y=ex﹣kx+1单调递增，在x=0出去最小值0

所以1﹣k≥0即k∈（﹣∞，1]．

　10．设函数f（x）=ax3﹣3x+1，若对于任意的x∈[﹣1，1]都有f（x）≥0成立，则实数a的值为　4　

由题意，f′（x）=3ax2﹣3，

当a≤0时3ax2﹣3＜0，函数是减函数，f（0）=1，只需f

（1）≥0即可，解得a≥2，与已知矛盾，

当a＞0时，令f′（x）=3ax2﹣3=0解得x=±

，

①当x＜﹣时，f′（x）＞0，f（x）为递