概率论基础知识及其在matlab中的实现_精品文档Word文档格式.doc
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现以联系掷10000次硬币为例，重复做100次试验模拟出现正面的概率。
在matlab中的程序如下：
fori=1：
100
a（i）=sum（sum（round（rand（100））））/10000；
end
mx=max（a）；
mn=min（a）；
ma=mean（a）；
a,mx,mn,ma
在该程序输出的四项中，a为实验100次中每次出现正面的频率，mx和mn分别为100次实验中出现正面频率的最大值和最小值，ma为100次试验出现正面的平均频率。
运行结果如下：
这里要输入结果
下面介绍MATLAB中取整的几个函数命令：
（1）命令格式：
fix（x）
对x朝零方向取整
（2）命令格式：
floor（x）
对x朝负无穷大方向取整
（3）命令格式：
ceil（x）
对x朝正无穷大方向取整
3．1．2统计概率及其模型
由于古典概率是建立在事件发生的等可能基础上的概率，而现实生活中许多现象的出现并不是等可能的。
例如某品种的玉米，当种下一粒后，其发芽与不发芽的机会并不相同。
那么，这个概率就不能建立在等可能基础上，即不能使用古典概率的定义。
而统计概率的定义是建立在频率基础上的，就是说某事件出现频率如果稳定在某数值附近，则称数值为该事件出现的概率。
由于统计概型中的概率是一个理论上的数值，实际问题中根本无法直接得到该数值，因而通常在试验次数充分多时，利用频率值近似代替概率值。
在掷硬币的试验中，在试验次数充分多的情况下，掷硬币出现正面和反面的频率均在0.5左右，故出现正面和反面的概率均为0.5。
下面来看掷硬币时，当样本容量分别为
n=10，100，1000，10000，100000，1000000
时频率的变化。
在MATLAB中实现时程序代码如下：
forI=i：
6
a（i）=sum（round（rand（1,10-i）））/10^I；
运算结果为：
这里输入运算结果
从上面运行的结果中可以看出，当样本容量不够大时，其频率的波动范围很大，即频率不够稳定，即使有时达到0.5，但最大时已达到0.9，然而随着样本容量的增加，频率的波动范围越来越小，相差仅有左右。
3．1．3条件概率、全概率公式与伯努利概率
若事件B的发生会影响到事件A的发生，则事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为条件概率，条件的概率的计算公式为：
若事件A的发与事件B的发生与否没有关系，即事件B发生与否不会影响到事件A的发生，反之亦然，则称事件A与事件B是相互独立的，这时有：
例1袋中有10只球，其中白球7只，黑球3只。
分有放回和无放回两种情况，分三次取球，每次取一个，分别求：
（1）第三次摸到了黑球的概率，
（2）第三次才摸到黑球的概率，（3）三次都摸到了黑球的概率。
解当有放回地摸球时，由于三次摸球互不影响，因此三次摸球相互独立，从理论上可以求得：
（1）第三次摸到黑球的概率为；
（2）第三次才摸到黑球的概率为；
（3）三次都摸到黑球的概率为。
在MATLAB中模拟这一过程时，可在[0，1]区间上产生三次随机数来模拟三次摸球，当随机数小于0.7时可认为摸到了白球，否则认为摸到了黑球。
重复次分别求上述三种情况出现的概率。
程序如下：
a=round（rand（1000000,3）–0.2）；
fori=1：
b=a（1：
10^i,3；
c（i）=sum（b）/（10^i）；
end
c
fori=1：
6
b=（~a（1:
10^i,1））&
（~a（1:
10^i,2））&
a（1:
10^i,3）;
d（i）=sum（b）/（10^i）;
end
d
forI=1:
b=a（1:
10^i,1）&
10^i,2）&
e（i）=sum（b）/（10^i）;
e
运行结果为:
这里加入运行结果
执行结果中c为第三次摸到黑球的概率,d为第三次才摸到黑球的概率,e为三次都摸到黑球的概率.可以看到,随着试验次数的增加,其频率都会逐渐稳定在理论值附近.
当无放回地摸球时,由于第二次摸球会受到第一次的影响,而第三次摸球又会受到前两次的影响,因而三次摸球相互影响,并不独立.从理论上可求得:
（1）第三次摸到黑球的概率为,
（2）第三次才摸到黑球的概率为
（3）三次都摸到了黑球的概率为
用计算机模拟该过程时,在[0,1]区间模拟第一次摸球,当值小于0.7时认为摸到了白球,否则认为摸到了黑球;
第二次摸球时由于少了一个球,故可在区间长度为0.9的区间上模拟,若第一次摸到白球,可将区间设为[0.1,1],否则区间设为[0,0.9];
第三次摸球可依次类推,其模拟程序如下:
a=rand（1000000,3）;
a（:
1）=round（a（:
1）–0.2）;
2）=round（a（:
2）*0.9–0.2–0.1*（（a:
1）–1））;
3）=round（a（:
3）*0.8–0.2–0.1*（a（:
1）–1）–0.1*（a（:
2）–1））;
fori=1:
b=a（1:
c（i）=sum（b）/（10^i）;
end
c
fori=1:
b=（~a（1:
10^i,1））&
（~a（1:
10^i,2））&
a（1:
d（i）=sum（b）/（10^i）;
end
d
fori=1:
b=a（1:
10^i,1）&
10^i,2）&
e（i）=sum（b）/（10^i）;
end
e
运行结果为
上面在理论上计算第三次摸到黑球的概率时,用到了全概率公式:
若构成一个完备事件组,且事件的发生总是伴随着事件中的某一个发生而发生,则
下面将用到伯努利概型,所谓伯努利概型是指:
在相同条件下,进行次独立重复试验,每次试验只有事件A发生或不发生两种结果,且
这里第三次摸到黑球的四种情况分别是:
{白,白,黑},{白,黑,黑},{黑,白,黑},{黑,黑,黑}.这四种情况构成了完备事件组.现考虑下面问题:
（1）当不放回时,已知第三次摸到了黑球,问前两次是黑球的概率为多少?
（2）若有放回地连续摸10次,则恰有三次摸到黑球的概率是多少?
第一问是一逆概率问题,由逆概率公式即贝叶斯公式得到其概率应为
第二问则属伯努利概型,这里A为{摸到的是黑球},故,.于是由二项概率公式有,10次有放回摸球中,恰有三次摸到黑球的概率为
在MATLAB中实现这两个过程的程序如下:
a=rand（100000,3）;
a（:
1）–0.2）;
2）=round（a（:
2）*0.9–0.2–0.1*a（:
1）–1））;
3）=round（a（:
3）*0.8–0.2–0.1*（a（:
fori=1:
b=a（1:
10^I,3）;
c（i）=sum（b）;
d（i）=sum（b）;
e（i）=d（i）./c（i）;
end
这里添加运行结果
a=round（rand（1000000,10）–0.2）;
forI=1:
b=sum（a（1:
10^i,:
）,2）–3;
c（i）=sum（-b）/910^I）;
c
3.2随机变量的分布及其数字特征
随机变量的统计行为完全决定于其概率分布,按随机变量的取值不同,通常可将其分为离散型\连续型和奇异型三大类.由于奇异型在实际应用中很少遇到,因此只讨论离散型和连续型两类随机变量的概率分布及其数字特征.
3.2.1离散型随机变量的分布及其数字特征
如果随机变量X的所有可能取值为有限个或无穷可列个,则称X为离散型随机变量.设X的所有可能值为,并且X取这些值的概率为
则称其为随机变量X的概率分布.它满足下面的性质:
（1）,,
（2）
称为累积概率分布.
在研究随机变量时,主要就是研究随机变量的概率分布、累积分布和分布的数字特征。
常用的离散型随机变量的分布有：
二项分布、泊松分布和超几何分布。
1、超几何分布
若随机变量X的所有可能取值为0,1,…，n,其概率分布为
，
其中，则称X服从参数为和的二项分布，记作。
二项分布的数学期望为，方差为。
在MATLAB中提供的二项分布的统计函数有：
binopdf（）、binocdf（）、binoinv（）、binornd（）以及计算二项分布均值和方差的函数binostat（），它们命令格式如下：
binopdf（X,N,P）
计算二项分布的密度函数。
其中X为随机变量，N为独立试验的重复数，P为事件发生的概率。
binocdf（X,N,P）
计算二项分布的累积分布函数。
binoinv（X,N,P）
计算二项分布的逆累积分布函数。
其中X为随机变量，N为独立试验的重复数，P为事件发生的概率
binornd（N,P,m,n）
产生服从二项分布的阶随机
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