精品小波分析经典解读Word下载.docx

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（1）

式中，为基小波函数，它可通过尺度的伸缩和时间轴上的平移构成一簇函数系：

其中，

（2）

式中，为子小波；

a为尺度因子，反映小波的周期长度；

b为平移因子，反应时间上的平移。

需要说明的是，选择合适的基小波函数是进行小波分析的前提。

在实际应用研究中，应针对具体情况选择所需的基小波函数；

同一信号或时间序列，若选择不同的基小波函数，所得的结果往往会有所差异，有时甚至差异很大。

目前，主要是通过对比不同小波分析处理信号时所得的结果与理论结果的误差来判定基小波函数的好坏，并由此选定该类研究所需的基小波函数。

2.小波变换

若是由

（2）式给出的子小波，对于给定的能量有限信号，其连续小波变换（ContinueWaveletTransform，简写为CWT）为：

（3）

式中，为小波变换系数；

f（t）为一个信号或平方可积函数；

a为伸缩尺度；

b平移参数；

为的复共轭函数。

地学中观测到的时间序列数据大多是离散的，设函数，（k=1,2,…,N;

为取样间隔），则式（3）的离散小波变换形式为：

（4）

由式（3）或（4）可知小波分析的基本原理，即通过增加或减小伸缩尺度a来得到信号的低频或高频信息，然后分析信号的概貌或细节，实现对信号不同时间尺度和空间局部特征的分析。

实际研究中，最主要的就是要由小波变换方程得到小波系数，然后通过这些系数来分析时间序列的时频变化特征。

3.小波方差

将小波系数的平方值在b域上积分，就可得到小波方差，即

（5）

小波方差随尺度a的变化过程，称为小波方差图。

由式（5）可知，它能反映信号波动的能量随尺度a的分布。

因此，小波方差图可用来确定信号中不同种尺度扰动的相对强度和存在的主要时间尺度，即主周期。

二、小波分析实例-时间序列的多时间尺度分析（Multi-timescaleanalysis）

例题

河川径流是地理水文学研究中的一个重要变量，而多时间尺度是径流演化过程中存在的重要特征。

所谓径流时间序列的多时间尺度是指：

河川径流在演化过程中，并不存在真正意义上的变化周期，而是其变化周期随着研究尺度的不同而发生相应的变化，这种变化一般表现为小时间尺度的变化周期往往嵌套在大尺度的变化周期之中。

也就是说，径流变化在时间域中存在多层次的时间尺度结构和局部变化特征。

表1给出了某流域某水文观测站1966-2004年的实测径流数据。

试运用小波分析理论，借助Matlab6.5、suffer8.0和相关软件（Excel等），完成下述任务：

计算小波系数；

绘制小波系数图（实部、模和模方）、小波方差图和主周期变化趋势图，并分别说明各图在分析径流多时间尺度变化特征中的作用。

表1某流域某水文观测站1966-2004年实测径流数据（×

108m3）

年份

径流量

1966

1.438

1974

2.235

1982

0.774

1990

1.806

1998

1.709

1967

1.151

1975

4.374

1983

0.367

1991

0.449

1999

0.000

1968

0.536

1976

4.219

1984

0.562

1992

0.120

2000

1969

1.470

1977

2.590

1985

3.040

1993

0.627

2001

2.104

1970

3.476

1978

3.350

1986

0.304

1994

1.658

2002

0.009

1971

4.068

1979

2.540

1987

0.728

1995

1.025

2003

3.177

1972

2.147

1980

0.807

1988

0.492

1996

0.955

2004

0.921

1973

3.931

1981

0.573

1989

0.007

1997

1.341

分析

1.选择合适的基小波函数是前提

在运用小波分析理论解决实际问题时，选择合适的基小波函数是前提。

只有选择了适合具体问题的基小波函数，才能得到较为理想的结果。

目前，可选用的小波函数很多，如Mexicanhat小波、Haar小波、Morlet小波和Meyer小波等。

在本例中，我们选用Morlet连续复小波变换来分析径流时间序列的多时间尺度特征。

原因如下：

1.1径流演变过程中包含“多时间尺度”变化特征且这种变化是连续的，所以应采用连续小波变换来进行此项分析。

1.2实小波变换只能给出时间序列变化的振幅和正负，而复小波变换可同时给出时间序列变化的位相和振幅两方面的信息，有利于对问题的进一步分析。

1.3复小波函数的实部和虚部位相差为π/2，能够消除用实小波变换系数作为判据而产生的虚假振荡，使分析结果更为准确。

2.绘制小波系数图、小波方差图和主周期变化趋势图是关键

当选择好合适的基小波函数后，下一步的关键就是如何通过小波变换获得小波系数，然后利用相关软件绘制小波系数图、小波方差图和主周期变化趋势图，进而根据上述三种图形的变化识别径流时间序列中存在的多时间尺度。

具体步骤

1.数据格式的转化

2.边界效应的消除或减小

3.计算小波系数

4.计算复小波系数的实部

5.绘制小波系数实部等值线图

6.绘制小波系数模和模方等值线图

7.绘制小波方差图

8.绘制主周期趋势图

下面，我们以上题为例，结合软件Matlab6.5、Suffer8.0和Excel，详细说明小波系数的计算和各图形的绘制过程，并分别说明各图在分析径流多时间尺度变化特征中的作用。

1.数据格式的转化和保存

将存放在Excel表格里的径流数据（以时间为序排为一列）转化为Matlab6.5识别的数据格式（.mat）并存盘。

具体操作为：

在Matlab6.5界面下，单击“File-ImportData”，出现文件选择对话框“Import”后，找到需要转化的数据文件（本例的文件名为runoff.xls），单击“打开”。

等数据转化完成后，单击“Finish”，出现图1显示界面；

然后双击图1中的Runoff，弹出“ArrayEditor:

runoff”对话框，选择File文件夹下的“SaveWorkspaceAs”单击，出现图2所示的“SavetoMAT-File:

”窗口，选择存放路径并填写文件名（runoff.mat），单击“保存”并关闭“SavetoMAT-File”窗口。

图1数据格式的转化

图2数据的保存

因为本例中的实测径流数据为有限时间数据序列，在时间序列的两端可能会产生“边界效用”。

为消除或减小序列开始点和结束点附近的边界效应，须对其两端数据进行延伸。

在进行完小波变换后，去掉两端延伸数据的小变换系数，保留原数据序列时段内的小波系数。

本例中，我们利用Matlab6.5小波工具箱中的信号延伸（SignalExtension）功能，对径流数据两端进行对称性延伸。

具体方法为：

在Matlab6.5界面的“CommandWindow”中输入小波工具箱调用命令“Wavemenu”，按Enter键弹“WaveletToolboxMainMenu”（小波工具箱主菜单）界面（图３）；

然后单击“SignalExtension”，打开SignalExtension/Truncation窗口，单击“File”菜单下的“LoadSignal”，选择runoff.mat文件单击“打开”，出现图4信号延伸界面。

Matlab6.5的ExtensionMode菜单下包含了6种基本的延伸方式（Symmetric、Periodic、ZeroPadding、Continuous、SmoothandForSWT）和Directiontoextend菜单下的3种延伸模式（Both、LeftandRight），在这里我们选择对称性两端延伸进行计算。

数据延伸的具体操作过程是：

在ExtensionMode下选择“Symmetric”，Dircetiontoextend下选择“Both”，单击“Extend”按钮进行对称性两端延伸计算，然后单击“File”菜单下的“SaveTranformedSignal”，将延伸后的数据结果存为erunoff.mat文件。

从erunoff文件可知，系统自动将原时间序列数据向前对称延伸12个单位，向后延伸13个单位。

图3小波工具箱主菜单

图4径流时间序列的延伸

图5小波变换菜单界面

选择Matlab6.5小波工具箱中的Morlet复小波函数对延伸后的径流数据序列（erunoff.mat）进行小波变换，计算小波系数并存盘。

小波工具箱主菜单界面见图3，单击“Wavelet1-D”下的子菜单“ComplexContinuousWavelet1-D”，打开一维复连续小波界面，单击“File”菜单下的“LoadSignal”按钮，载入径流时间序列erunoff.mat（图5）。

图5的左侧为信号显示区域，右侧区域给出了信号序列和复小波变换的有关信息和参数，主要包括数据长度（DataSize）、小波函数类型（Wavelet：

cgau、shan、fbsp和cmor）、取样周期（SamplingPeriod）、周期设置（ScaleSetting）和运行按钮（Analyze），以及显示区域的相关显示设置按钮。

本例中，我们选择cmor（1-1.5）、取样周期为1、最大尺度为32，单击“Analyze”运行按钮，计算小波系数。

然后单击“File”菜单下的“SaveCoefficients”，保存小波系数为cerunoff.mat文件。

注意：

上面涉及到的数据保存，其格式均为.mat。

4.计算Morlet复小波系数的实部

将复小波系数转存到Excel表格，去掉两端延伸数据的小波系数，并计算小