江苏省常州市溧阳市高一下学期期中数学试题附带详细解析.docx
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江苏省常州市溧阳市高一下学期期中数学试题附带详细解析
绝密★启用前
2020年江苏省常州市溧阳市高一下学期期中数学试题
考试范围：
xxx；考试时间：
100分钟；命题人：
xxx
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一、单选题
1．已知点，则线段中点的坐标为（）
A．B．C．D．
2．已知点，点，直线的斜率为1，则的值为（）
A．4B．C．3D．
3．在△ABC中，如果，那么cosC等于（）
A．B．C．D．
4．长方体三个面的面积分别是，则长方体的体积等于（）
A．6B．C．D．36
5．若三条线段的长分别为2，3，4，则用这三条线段（）
A．能组成直角三角形B．能组成锐角三角形C．能组成钝角三角形D．不能组成三角形
6．如果，，那么直线不通过（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
7．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连结四边中点的四边形一定是（）
A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形
8．已知四边形内接于圆，，，，则四边形面积的大小是（）
A．B．C．D．不能确定
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
9．过点，且与直线垂直的直线方程为____________.
10．直线与直线之间的距离为________.
11．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题：
（1）；
（2）；（3）；（4）；正确命题的序号为______.
12．中，，且是方程的两个根，则的长为______.
13．设，，，是球表面上的四个点，，，两两垂直，且，则球的表面积为____________.
14．某人在高出海面600米的山上P处，测得海面上的航标A在正东，俯角为30°，航标B在南偏东60°，俯角为45°，则这两个航标间的距离为________米．
15．已知点，若直线与线段恒有公共点，则实数的取值范围是_________．
16．锐角中，内角的对边分别为，且满足，若，则的取值范围是______.
评卷人
得分
三、解答题
17．根据下列条件分别求出直线的方程：
（1）过点，斜率为；
（2）过点.
18．在中，分别是的对边.
（1）已知，求；
（2）已知，试判断的形状.
19．如图，在正方体中，求证：
.
20．已知分别为三个内角的对边，.
（1）求；
（2）若是上一点，且，，，求的值.
21．在底面是菱形的四棱锥中，.
（1）证明：
平面；
（2）点在棱上.
①如图1，若点是线段的中点，证明：
平面；
②如图2，若，在棱上是否存在点，使得平面？
证明你的结论.
22．市实施全域旅游，将乡村旅游公路建设与特色田园乡村发展结合，精心打造全长365公里的“1号公路”，对内串联区域内主要景区景点和自然村，对外通达周边县（市），以路引景、为景串线，形成一个“大环小圈、内连外引”的路网体系.如今的“1号公路”，不仅成为该市旅游业的“颜值担当”，更成为推动乡村振兴的“实力担当”，农村居住环境日益改善，新农村别墅随处可见.图①是一栋新农村别墅，它由上部屋顶和下部主体两部分组成.如图②，屋顶由四坡屋面构成，其中前后两坡屋面和是全等的等腰梯形，左右两坡屋面和是全等的三角形.点在平面和上的射影分别为（即：
平面，垂足为；，垂足为）.已知，梯形的面积是面积的2.2倍..
（1）当时，求屋顶面积的大小；
（2）求屋顶面积关于的函数关系式；
（3）已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为（为正的常数），下部主体造价与其高度成正比，比例系数为.现欲造一栋上、下总高度为的别墅，试问：
当为何值时，总造价最低？
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
根据中点坐标公式计算即可.
【详解】
由中点坐标公式得：
，.
所以中点的坐标为.
故选：
C
【点睛】
本题主要考查中点坐标的计算，熟记公式是解题的关键，属于简单题.
2．D
【解析】
【分析】
带入两点斜率公式解方程即可.
【详解】
，解得：
.
故选：
D
【点睛】
本题主要考查两点斜率公式，熟记公式为解题的关键，属于简单题.
3．D
【解析】
解：
由正弦定理可得；sinA：
sinB：
sinC=a：
b：
c=2：
3：
4
可设a=2k，b=3k，c=4k（k＞0）由余弦定理可得，CosC=,选D
4．B
【解析】
【分析】
首先设长方体的边长分别为，根据题意得到，再计算体积即可.
【详解】
设长方体的边长分别为，有题知：
.
.
故选：
B
【点睛】
本题主要考查长方体的侧面积和体积，属于简单题.
5．C
【解析】
【分析】
首先根据三角形满足任意两边之和大于第三边，得到可以构成三角形.再根据即可判定三角形的形状.
【详解】
有题知：
三角形满足任意两边之和大于第三边，
所以三条线段的长分别为2，3，4可以构成三角形.
设，，，
则.
所以角为钝角，三角形为钝角三角形.
故选：
C
【点睛】
本题主要考查三角形的形状，同时考查了余弦定理，属于简单题.
6．B
【解析】
【分析】
判断直线在轴和轴上截距的正负，作出直线的图象可得出结论.
【详解】
直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，如下图所示：
因此，直线不通过第二象限.
故选：
B.
【点睛】
本题考查直线图象的应用，一般结合截距或斜率来理解，考查数形结合思想的应用，属于基础题.
7．C
【解析】
【分析】
首先画出图形，根据中位线定理和平行的传递性即可判定四边形为平行四边形.再根据对角线相互垂直可判定四边形为矩形.
【详解】
如图所示，
空间四边形中，，
分别为的中点.
所以，，，.
所以且，即四边形为平行四边形.
又因为.
所以四边形为矩形.
故选：
C
【点睛】
本题主要考查空间直线平行的传递性，同时考查了三角形的中位线定理，属于简单题.
8．C
【解析】
【分析】
首先根据题意计算，根据余弦定理求出，根据四边形内接于圆，得到，在中，根据余弦定理求出，再求，最后得到即可.
【详解】
由图知：
.
在中，
.
所以.
因为.
所以在中，，
整理得：
，解得.
所以.
所以.
故选：
C
【点睛】
本题主要考查正弦定理的面积公式，同时考查了余弦定理，属于中档题.
9．
【解析】
【分析】
首先求出直线的斜率，再根据两条直线垂直和点即可写出直线方程.
【详解】
直线的斜率为，故所求直线斜率为.
直线方程为：
，即.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查两条直线的垂直关系，同时考查了直线的点斜式方程的求法，属于简单题.
10．
【解析】
【分析】
将直线方程代入平行线间的距离公式即可.
【详解】
.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查平行线间的距离，熟记公式为解题的关键，属于简单题.
11．
（2）
【解析】
【分析】
根据面面平行的判定即可得到
（1）错误，根据线面垂直的判定即可得到
（2）正确，根据面面平行的性质即可得到（3）错误，根据线面垂直的性质即可得到（4）错误.
【详解】
对于
（1），一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面才能得到面面平行，
所以
（1）缺少，故
（1）错误.
对于
（2），两条平行的直线中，一条垂直于平面，
另一条也垂直于平面，故
（2）正确.
对于（3），或为异面直线，
故（3）错误.
对于（4）可能在平面内，
故（4）错误.
故答案为：
（2）
【点睛】
本题主要考查面面平行的判定，线面垂直的判定，面面平行的性质和线面垂直的性质，属于简单题.
12．7
【解析】
【分析】
首先根据根系关系得到，，再根据余弦定理即可求出.
【详解】
有题知：
，，
根据余弦定理得：
.
所以.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查余弦定理，同时考查了二次方程的根系关系，属于简单题.
13．
【解析】
【分析】
利用条件，，两两垂直，且把三棱锥扩展为正方体，球的直径即是正方体的体对角线长，由球的表面积公式求解．
【详解】
先把三棱锥扩展为正方体，则正方体的体对角线的长为,所以球的半径为，
所以球的表面积为．
【点睛】
本题主要考查了球的体积公式：
（其中为球的半径）及长方体的体对角线长公式：
（其中分别是长方体的长、宽、高）．
14．600
【解析】
【分析】
求出BC，AC的值，由余弦定理再求AB，即可得结论．
【详解】
航标A在正东，俯角为30°，
由题意得∠APC＝60°，∠PAC＝30°．
航标B在南偏东60°，俯角为45°，则有∠ACB＝30°，∠CPB＝45°．
故有BC＝PC＝600，AC＝＝＝600．
所以，由余弦定理知AB2＝BC2+AC2﹣2BC•AC•COS∠ACB＝360000+360000×3﹣2×＝360000．
可求得AB＝600．
故答案为600．
【点睛】
本题考查解三角形的实际应用，考查余弦定理，属于基础题．
15．
【解析】
分析：
作出图象，通过图形观察直线与线段AB有交点时的斜率变化．
详解：
如图，直线是过定点且斜率为的直线，，，∴或．
故答案为．
点睛：
本题考查直线与线段相交问题，解题时可根据图形观察出直线斜率的变化情况，注意到过P点与轴垂直的直线与线段有交点，因此直线的范围是在和的两侧，若过P点与轴垂直的直线与线段没有交点，因此直线的范围是在和之间．
16．
【解析】
【分析】
首先根据正弦定理得到，余弦定理得到，.再根据正弦定理得到，，化简得到，再根据的范围即可求出的取值范围.
【详解】
因为，
所以，即：
.
.
因为，所以.
因为，
所以，.
所以
.
因为，，所以.
因为，所以.
，即.
【点睛】
本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，同时考查了三角函数的值域问题，属于中档题.
17．
（1）；
（2）
【解析】
【分析】
（1）根据题意代入直线方程点斜式即可.
（2）根据题意代入直线方程截距式即可.
【详解】
（1）设直线的点斜式方程为
代入条件得直线方程为：
，
即.
（2）设直线的截距式方程为
代入可得直线方程为：
，即.
【点睛】
本题主要考查直线方程的点斜式和截距式，熟记公式是解题的关键，属于简单题.
18．
（1）；
（2）等腰三角形
【解析】
【分析】
（1）根据正弦定理即可得到角的值.
（2）根据和得到，再由即可判断的形状.
【详解】
（1）在中由正弦定理得：
，即
因为，所以，所以，.
（2）由余弦定理得
所以，即.
又因为，
所以是等腰三角形.
【点睛】
本题第一问考查了正弦定理，第二问考查了三角形的形状，同时考查了余弦定理，属于简单题.
19．证明见解析
【解析】
【分析】
首先根据，得到面，再根据线面垂直的性质即可得到.
【详解】
在正方体中，面.
∵面，∴.
在正方体中，四边形是正方形，
∴.
∵面，面，，
∴面，
∵面，∴.
【点睛】
本题主要考查利用线面垂直的性质证明线线垂直，同时考查了线面垂直的判定，属于简单题.
20．
（1）；
（2）3
【解析】
【分析】
（1）首先根据正弦定理得到，再由辅助角公式得到，即可求出的值.
（2）首先根据题意得到是中点，即，再平方即可得到，再利用余弦定理即可求出的值.
【详解】
（1
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