(教师版)《三角形的证明》培优提高(四)Word格式.docx

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D．

9

4、（2012•佳木斯）如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（　C　）

20

12

14

13

5、（2013•遂宁）如图，在△ABC中，∠C=90°

，∠B=30°

，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（　　）

①AD是∠BAC的平分线；

②∠ADC=60°

；

③点D在AB的中垂线上；

④S△DAC：

S△ABC=1：

3．

A．1 B．2 C．3 D．4

6、（2013•大庆）正三角形△ABC的边长为3，依次在边AB、BC、CA上取点A1、B1、C1，使AA1=BB1=CC1=1，则△A1B1C1的面积是（　　）

A． B． C． D．

7、（2013•枣庄）如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（　　）

A．20 B．12 C．14 D．13

（7题）（8题）（10题）

8、（2013•淄博）如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长为（　　）

A． B． C．3 D．4

分析：

∵BQ平分∠ABC，BQ⊥AE，∴△BAE是等腰三角形，

同理△CAD是等腰三角形，∴点Q是AE中点，点P是AD中点（三线合一），∴PQ是△ADE的中位线，

∵BE+CD=AB+AC=26-BC=26-10=16，∴DE=BE+CD-BC=6，∴PQ=DE=3．故选C．

9、（2013•莱芜）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（1，），M为坐标轴上一点，且使得△MOA为等腰三角形，则满足条件的点M的个数为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．8

10、如图，在△ABC中，∠A＝Rt∠，D是AB上一点，且DB=DC，过BC上一点P，作PE⊥AB于E，PF⊥DC于F，已知：

AD：

DB＝1：

3，BC=，则PE+PF的长是（）

（A）（B）6（C）（D）

二、填空题：

1、如图，在△ABC中，AB=AC，BD=BC，AD=DE=EB，则∠A=.

A

B

C

D

E

（1题）（5题）（6题）

2、已知：

△ABC中，AB=AC，BD是AC上的高，且∠CBD=35°

，则∠A=.

3、在Rt△ABC中，∠ACB=90°

，AB=8厘米，BC的垂直平分线DE交AB于D，则CD=

4、△ABC中，∠C=90°

，∠B=15°

，AB的垂直平分线交BC于D，垂足为E，BD=10厘米，则AC=.

5、（2012•梅州）如图，∠AOE=∠BOE=15°

，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，则EF=2

．

6、（2012•常德）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°

，AD是∠BAC的平分线，DC=2，则D到AB边的距离是2

7、（河北）在Rt△ABC中，锐角A的平分线与锐角B的邻补角的平分线相交于点D，则∠ADB＝ 。

8、如图，已知AM⊥MN，BN⊥MN，垂足分别为M、N，点C是MN上使AC＋BC的值最小的点，若AM=3，BN＝5，MN＝15，则AC＋BC=

9、（2013•泉州）如图，∠AOB=70°

，QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，若QC=QD，则∠AOQ=35

°

（9题）（10题）（11题）（12题）

10、（2013•义乌市）如图，AD⊥BC于点D，D为BC的中点，连接AB，∠ABC的平分线交AD于点O，连结OC，若∠AOC=125°

，则∠ABC=70°

11、（2013•黄冈）已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD=1，连接DE，则DE=．

12、（2013•无锡）如图，△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠EFC=45

13、（2013•烟台）如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°

，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为108

度．

（13题）（14题）

14、如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上的任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.若BC＝2，则DE＋DF＝______.（根号3）

三、解答题：

1、（2012•湘潭）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使B点与C点重合，得到△DCE，连接BD，交AC于F．

（1）猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论；

（2）求线段BD的长．

解：

（1）AC⊥BD∵△DCE由△ABC平移而成，

∴BE=2BC=6，DE=AC=3，∠E=∠ACB=60°

，∴DE=BE，

∵BD⊥DE，∵∠E=∠ACB=60°

，∴AC∥DE，∴BD⊥AC；

（2）在Rt△BED中，∵BE=6，DE=3，∴BD===．

2、（2012•淮安）如图，△ABC中，∠C=90°

，点D在AC上，已知∠BDC=45°

，BD=10，AB=20．求∠A的度数．

3、（2012•鄂州）小明是一位善于思考的学生，在一次数学活动课上，他将一副直角三角板如图位置摆放，A、B、D在同一直线上，EF∥AD，∠A=∠EDF=90°

，∠C=45°

，∠E=60°

，量得DE=8，试求BD的长．

过点F作FM⊥AD于M，

∵∠EDF=90°

，∴∠EFD=30°

，

∵DE=8，∴EF=16，∴DF==8，

∵EF∥AD，∴∠FDM=30°

，∴FM=DF=4，∴MD==12，

∵∠C=45°

，∴∠MFB=∠B=45°

，∴FM=BM=4，∴BD=DM﹣BM=12﹣4．

4、（2012•北京）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC=90°

，∠CED=45°

，∠DCE=30°

，DE=，BE=2．求CD的长和四边形ABCD的面积．

过点D作DH⊥AC，

∵∠CED=45°

，DH⊥EC，DE=，∴EH=DH=1，

又∵∠DCE=30°

，∴HC=，DC=2，

∵∠AEB=45°

，∠BAC=90°

，BE=2，∴AB=AE=2，∴AC=2+1+=3+，

∴S四边形ABCD=×

2×

（3+）+×

1×

（3+）=．

5、如图，在△MNP中，∠MNP＝45°

，H是高MQ和高NR的交点，求证：

HN＝PM，（2001年黄冈市中考题）

证明：

如图：

∵MQ⊥PN，∠MNP＝45°

，∴∠QMN＝45°

，∴∠MNP＝∠QMN，∴QM＝QN。

∵∠1＝∠2，在Rt△HQN和Rt△PQM中。

∵∠2＝∠1，QN＝QM，∠HQN＝∠PQM．

∴Rt△HQN≌Rt△PQM，∴HN＝PM．

6、如图BD、CE是△ABC的两条高，M是BC的中点，N是DE的中点，求证：

MN⊥DE．

连接ME、MD，在Rt△BEC中，∵点M是斜边BC的中点，∴ME=BC，又NE＝ND，∴直线MN是线段DE的垂直平分线，∴NM⊥DE．

7、．如图在Rt△ABC中，∠B＝90°

，D是AC的中点，过D作AC的垂线交BC于E点，已知，∠EAB∶∠BAC＝2∶5，求∠ACB的度数．

∵M是Rt△BCD斜边上的中点∴DM=1/2BC

又∵M是Rt△BCE斜边上的中点∴EM=1/2BC∴DM=EM

∴△DEM为等腰三角形

∵N为底边DE的中点∴MN⊥DE

8、如图，已知点D是等边△ABC边AC的中点，延长BC到点E，使CE=BC，过D作BC的垂线．垂足为M，求证：

M为BE的中点．

∵△ABC是等边三角形∴∠ACB=∠ABC=60°

∵CD=CE，∠DCE=180°

-∠ACB=180°

-60°

=120°

∴∠E=（180°

-∠DCE）/2=（180°

-120°

）/2=30°

∵D是AC中点∴BD是∠ABC平分线∴∠DBC=∠DBE=1/2∠ABC=30°

∴∠E=∠DBE

∴△BDE是等腰三角形

∵DM⊥BE∴BM=EM（等腰三角形底边上的高，中线合一）

9、如图，在等腰△ABC中，底边BC上有任意一点P，则P点到两腰的距离之和等于定长（腰上的高），即PD＋PE＝CF．若P点在BC的延长线上，那么PD、PE和CF之间存在什么关系？

写出你的猜想并加以证明。

10、（2013•永州）如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3

（1）求证：

BN=DN；

（2）求△ABC的周长．

（1）证明：

在△ABN和△ADN中，∵，

∴△ABN≌△ADN（ASA）。

∴BN=DN。

（2）∵△ABN≌△ADN，∴AD=AB=10，DN=NB。

又∵点M是BC中点，∴MN是△BDC的中位线。

∴CD=2MN=6。

∴△ABC的周长=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41。