高等代数第四章线性变换Word下载.docx
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其中B,C
Pn
n是两个固定的矩阵.
解1)当
0时,是;
当
0时,不是.
2)当
0时,是;
3)不是.例如当
(1,0,0),k
2时,kA(
)
(2,0,0)
A(k)(4,0,0),
A(k)
kA().
4)是.因取
(x1,x2,x3),
(y1,y2,y3),有
A(
)=A(x1
y1,x2
y2,x3
y3)
=(2x1
2y1
x2
y2,x2
y2
x3
y3,x1y1)
x3,x1)(2y1
y2,y2
y3,y1)
=A+A
A(kx1,kx2,kx3)
(2kx1kx2,kx2kx3,kx1)
=
kA()
3
上的线性变换.
故A是P
5)是.因任取f(x)P[x],g(x)
P[x],并令
u(x)
f(x)g(x)则
A(f(x)
g(x))=Au(x)=u(x
1)=f(x1)
g(x
1)=Af(x)+A(g(x))
再令v(x)
kf(x)则A(kf(x))
A(v(x))
v(x1)
kf(x1)kA(f(x))
故A为P[x]上的线性变换.
6)是.因任取f(x)P[x],g(x)
P[x]则.
g(x))=f(x0)g(x0
)A(f(x))
A(g(x))
A(kf(x))
kf(x0)kA(f(x))
7)不是.例如取
a=1,k=I,则
精选范本
(ka)=-i,k(
a)=i,
(ka)
k
(a)
8)是.因任取二矩阵
X,Y
Pnn,则
A(XY)
B(X
Y)C
BXCBYCAX+AY
A(kX)=B(kX)
k(BXC)
kAX
故A是Pn
n上的线性变换.
2.在几何空间中以B表示绕oy变换.证明:
取直角坐标系oxy,以A表示将空间绕ox轴由oy向oz方向旋转90度的变换,,轴向ox方向旋转90度的变换,以C表示绕oz轴由ox向oy方向旋转90度的
A4=B4=C4=E,ABBA,A2B2=B2A2
并检验(AB)2=A2B2是否成立.
解
任取一向量a=(x,y,z),则有
1)
因为
Aa=(x,-z,y),
A2a=(x,-y,-z)
A3a=(x,z,-y),
A4a=(x,y,z)
Ba=(z,y,-x),
B2a=(-x,y,-z)
B3a=(-z,y,x),
B4a=(x,y,z)
Ca=(-y,x,z),
C2a=(-x,-y,z)
C3a=(y,-x,z),
C4a=(x,y,z)
所以
A4=B4=C4=E
2)因为
AB(a)=A(z,y,-x)=(z,x,y)
BA(a)=B(x,-z,y)=(y,-z,-x)
ABBA
3)因为
A2B2(a)=A2(-x,y,-z)=(-x,-y,z)
B2A2(a)=B2(x,-y,-z)=(-x,-y,z)
A2B2=B2A2
(AB)2(a)=(AB)(AB(a))_=AB(z,x,y)=(y,z,x)
A2B2(a)=(-x,-y,z)
(AB)2A2B2
3.在P[x]中,Af(x)f'
(x),Bf(x)xf(x)
证明:
AB-BA=E
证任取f(x)P[x],则有
(AB-BA)f(x)=ABf(x)-BAf(x)=A(xf(x))-B(f'
(x))=f(x)xf;
(x)-xf'
(x)=f(x)
所以AB-BA=E
4.设A,B是线性变换,如果AB-BA=E,证明:
kkk1
AB-BA=kA(k>
证采用数学归纳法.
当k=2时
A2B-BA2=(A2B-ABA)+(ABA-BA2)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA=2A
结论成立.
归纳假设
km
m
B-BA
m1
km1
时结论成立即
则当
时有
Am1B-BAm1=(Am1B-AmBA)+(AmBA-BAm1)=Am(AB-BA)+(AmB-BAm)A=AmE+mAm1A=(m1)Am
即km1时结论成立.故对一切k1结论成立.5.证明:
可逆变换是双射.
证设A是可逆变换,它的逆变换为A1.
若ab,则必有AaAb,不然设Aa=Ab,两边左乘A1,有a=b,这与条件矛盾.
1
其次,对任一向量b,必有a使Aa=b,事实上,令Ab=a即可.
6.设1,2,,n是线性空间V的一组基,A是V上的线性变换。
证明:
A是可逆变换当且
仅当A1,A
2,,A
n线性无关.
证因
A(1,2,
n)=(A
1,A
2,
A
n)=(
1,2,,n)A
故A可逆的充要条件是矩阵
A可逆,而矩阵A可逆的充要条件是A1,A2,
An线性无关.
故A可逆的充要条件是
1,A2,
7.求下列线性变换在所指定基下的矩阵
:
1)第1题4)中变换A在基
1=(1,0,0),
2=(0,1,0),3=(0,0,1)下的矩阵;
2)[o;
1,2]是平面上一直角坐标系,A是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的垂
直投影,B是平面上的向量对2的垂直投影,求A,B,AB在基1,2下的矩阵;
3)
在空间P[x]n中,设变换A为f(x)
f(x
f(x)
试求A在基
i=x(x1)
(x
i
1)1
(I=1,2,
n-1)
i!
下的矩阵A;
4)
六个函数
1=eaxcosbx,
2=eaxsinbx
3=xeaxcosbx,4=xeaxsinbx
1=
eaxcosbx,1=
eax
x2
sinbx
2
的所有实数线性组合构成实数域上一个六维线性空间
求微分变换D在基
i(i=1,2,
6)下的
矩阵;
3中线性变换
5)
已知
A在基
1=(-1,1,1),2
=(1,0,-1),
下的矩阵是
P
3=(0,1,1)
求A在基
1=(1,0,0),
6)
在P
3中,A定义如下:
(5,0,3)
(0,1,6)
(5,1,9)
(1,0,2)
(0,1,1)
(3,1,0)
求在基1=(1,0,0),2=(0,1,0),3=(0,0,1)下的矩阵;
7)同上,求A在1,2,3下的矩阵.
解1)
1=(2,0,1)=21+
2=(-1,1,0)=-
1+
3=(0,1,0)=
故在基
1,
2,
3下的矩阵为0
2)取
1=(1,0),2=(0,1)则A1=1
+1