高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量82简单几何体的表面积与体积学案理北师大版Word格式文档下载.docx

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柱体（棱柱和圆柱）

S表面积＝S侧＋2S底

V＝Sh

锥体（棱锥和圆锥）

S表面积＝S侧＋S底

台体（棱台和圆台）

S表面积＝S侧＋S上＋S下

V＝（S上＋S下＋）h

球

S＝4πR2

V＝πR3

知识拓展

1．与体积有关的几个结论

（1）一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．

（2）底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等．

2．几个与球有关的切、接常用结论

（1）正方体的棱长为a，球的半径为R，

①若球为正方体的外接球，则2R＝a；

②若球为正方体的内切球，则2R＝a；

③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a.

（2）若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝.

（3）正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×

”）

（1）多面体的表面积等于各个面的面积之和．（　√　）

（2）锥体的体积等于底面积与高之积．（　×

　）

（3）球的体积之比等于半径比的平方．（　×

（4）简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差．（　√　）

（5）长方体既有外接球又有内切球．（　×

（6）圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.（　×

题组二　教材改编

2．已知圆锥的表面积等于12πcm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为（　　）

A．1cmB．2cmC．3cmD.cm

答案　B

解析　S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·

2r＝3πr2＝12π，

∴r2＝4，∴r＝2.

3.如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________．

答案　1∶47

解析　设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，它截出棱锥的体积V1＝×

×

a×

b×

c＝abc，剩下的几何体的体积V2＝abc－abc＝abc，所以V1∶V2＝1∶47.

题组三　易错自纠

4．（xx·

西安一中月考）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　）

A．3πB．4π

C．2π＋4D．3π＋4

答案　D

解析　由几何体的三视图可知，该几何体为半圆柱，直观图如图所示．

表面积为2×

2＋2×

π×

12＋π×

1×

2＝4＋3π.

5．（xx·

全国Ⅱ）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（　　）

A．12πB.πC．8πD．4π

答案　A

解析　由题意可知正方体的棱长为2，其体对角线2即为球的直径，所以球的表面积为4πR2＝（2R）2π＝12π，故选A.

6．（xx·

大连调研）如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则剩余部分与挖去部分的体积之比为________．

答案　1∶1

解析　由三视图可知半球的半径为2，圆锥底面圆的半径为2，高为2，所以V圆锥＝×

23＝π，V半球＝×

23＝π，所以V剩余＝V半球－V圆锥＝π，故剩余部分与挖去部分的体积之比为1∶1.

题型一　求简单几何体的表面积

1．（xx·

全国Ⅰ）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（　　）

A．17πB．18πC．20πD．28π

解析　由题意知，该几何体的直观图如图所示，它是一个球（被过球心O且互相垂直的三个平面）切掉左上角的后得到的组合体，其表面积是球面面积的和三个圆面积之和．

由πR3－×

πR3＝，得球的半径R＝2.

则得S＝×

4π×

22＋3×

22＝17π，故选A.

2．（xx·

黑龙江哈师大附中一模）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　）

A.B.C．13D.

答案　C

解析　由三视图可知几何体为三棱台，作出直观图如图所示．则CC′⊥平面ABC，上、下底均为等腰直角三角形，AC⊥BC，AC＝BC＝1，A′C′＝B′C′＝C′C＝2，∴AB＝，A′B′＝2.

∴棱台的上底面面积为×

1＝，下底面面积为×

2×

2＝2，梯形ACC′A′的面积为×

（1＋2）×

2＝3，梯形BCC′B′的面积为×

2＝3，过A作AD⊥A′C′于点D，过D作DE⊥A′B′，则AD＝CC′＝2，

DE为△A′B′C′斜边高的，∴DE＝，

∴AE＝＝，

∴梯形ABB′A′的面积为×

（＋2）×

＝，

∴几何体的表面积S＝＋2＋3＋3＋＝13，故选C.

思维升华简单几何体表面积的求法

（1）以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．

（2）多面体的表面积是各个面的面积之和；

组合体的表面积注意衔接部分的处理．

（3）旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．

题型二　求简单几何体的体积

命题点1　以三视图为背景的几何体的体积

典例（xx·

浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：

cm），则该几何体的体积（单位：

cm3）是（　　）

A.＋1B.＋3

C.＋1D.＋3

解析　由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边长是的等腰直角三角形，高为3的三棱锥的组合体，

∴该几何体体积为

V＝×

12×

3＋×

3＝＋1.

故选A.

命题点2　求简单几何体的体积

广州调研）已知E，F分别是棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点，则四棱锥C1—B1EDF的体积为________．

答案　a3

解析　方法一　如图所示，连接A1C1，B1D1交于点O1，连接B1D，EF，过点O1作O1H⊥B1D于点H.

因为EF∥A1C1，且A1C1⊈平面B1EDF，EF平面B1EDF，

所以A1C1∥平面B1EDF.

所以C1到平面B1EDF的距离就是A1C1到平面B1EDF的距离．

易知平面B1D1D⊥平面B1EDF，

又平面B1D1D∩平面B1EDF＝B1D，

所以O1H⊥平面B1EDF，

所以O1H等于四棱锥C1—B1EDF的高．

因为△B1O1H∽△B1DD1，

所以O1H＝＝a.

所以＝·

O1H＝×

·

EF·

B1D·

a·

a＝a3.

方法二　连接EF，B1D.

设B1到平面C1EF的距离为h1，D到平面C1EF的距离为h2，则h1＋h2＝B1D1＝a.

由题意得，

＝·

（h1＋h2）＝a3.

思维升华简单几何体体积问题的常见类型及解题策略

（1）若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．

（2）若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．

（3）若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．

跟踪训练

（1）（xx·

新乡二模）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

A.B.

C.D.

解析　该几何体由一个三棱锥和一个三棱柱组合而成，直观图如图所示，

V＝V柱＋V锥＝×

（1＋1）×

2＋×

2＝，故选C.

（2）如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为（　　）

A.B.C.D.

解析　如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，

容易求得EG＝HF＝，

AG＝GD＝BH＝HC＝，

取AD的中点O，连接GO，易得GO＝，

∴S△AGD＝S△BHC＝×

1＝，

∴多面体的体积V＝V三棱锥E－ADG＋V三棱锥F－BCH＋V三棱柱AGD－BHC＝2V三棱锥E－ADG＋V三棱柱AGD－BHC

＝×

1＝.故选A.

题型三　与球有关的切、接问题

全国Ⅲ）在封闭的直三棱柱ABC—A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是（　　）

A．4πB.

C．6πD.

解析　由题意知，底面三角形的内切圆直径为4.三棱柱的高为3，所以球的最大直径为3，V的最大值为.

引申探究　

1．若将本例中的条件变为“直三棱柱ABC—A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上”，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，求球O的表面积．

解　将直三棱柱补形为长方体ABEC—A1B1E1C1，

则球O是长方体ABEC—A1B1E1C1的外接球．

∴体对角线BC1的长为球O的直径．

因此2R＝＝13.

故S球＝4πR2＝169π.

2．若将本例中的条件变为“正四棱锥的顶点都在球O的球面上”，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的体积．

解　如图，设球心为O，半径为r，则在Rt△AOF中，（4－r）2＋（）2＝r2，

解得r＝，

则球O的体积V球＝πr3＝π×

3＝.

思维升华简单几何体与球接、切问题的求解方法

（1）求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．

（2）若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．

跟踪训练（xx·

深圳调研）如图所示，在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD⊥平面BCD，若四面体ABCD的顶点在同一个球面上，则该球的体积为（　　）

A.B．3π

C.D．2π

解析　如图，取BD的中点为E，BC的中点为O，连接AE，OD，EO，AO.因为AB＝AD，

所以AE⊥BD.

由于平面ABD⊥平面BCD，

所以AE⊥平面BCD.

因为AB＝AD＝CD＝1，BD＝，

所以AE＝，EO＝.

所以OA＝.

在Rt△BDC中，OB＝OC＝OD＝BC＝，

所以四面体ABCD的外接球的球心为O，半径为.

所以该球的体积V＝π×

三视图（基本的、和球联系的）

考点分析三视图是高考重点考查的一个知识点，主要考查由几何体的三视图还原几何体的形状，进而求解表面积、体积等知识，所涉及的几何体既包括柱、锥、台、球等简单几何体，也包括一些组合体，处理此类