湖南师大附中届高三高考模拟卷二数学文解析版Word下载.docx

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【解析】由a2b>

ab2，得ab（a－b）>

0，若a－b>

0，即a>

b，则ab>

0，则<

成立，若a－b<

0，即a<

b，则ab<

0，则a<

0，b>

成立，若<

，则<

0，即ab（a－b）>

0，即a2b>

ab2成立．即“a2b>

”的充要条件，故选C.

3．已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，若a2·

a6·

a10＝3，b1＋b6＋b11＝7π，则tan的值是（D）

A．1B.

C．－D．－

【解析】{an}是等比数列，{bn}是等差数列，且a2·

a10＝3，b1＋b6＋b11＝7π，∴a＝（）3，3b6＝7π，∴a6＝，b6＝，∴tan＝tan＝tan＝tan＝tan＝－tan＝－.故选D.

4．某校为了解本校高三学生学习的心理状态，采用系统抽样方法从800人中抽取40人参加某种测试，为此将他们随机编号为1，2，…，800，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为18，抽到的40人中，编号落在区间[1，200]的人做试卷B，编号落在[201，560]的人做试卷B，其余的人做试卷C，则做试卷C的人数为（B）

A．10B．12C．18D．28

5．执行如图的程序框图，则输出的S值为（D）

A．1B.C．－D．0

【解析】由图知本程序的功能是执行S＝cos0＋cos＋cos＋…＋cos，此处注意程序结束时n＝2019，由余弦函数和诱导公式易得：

cos0＋cos＋cos＋cos＋cos＋cos＝0，周期为6，2020＝336×

6＋4，S＝cos0＋cos＋cos＋…＋cos＝336×

0＋1＋－－1＝0，故选D.

6．多面体MN－ABCD的底面ABCD为矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则AM的长为（C）

A.B.

C.D．2

7．下图是函数y＝Asin（ωx＋φ），，在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将y＝sinx（x∈R）的图象上所有的点（D）

A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变

C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变

8．若3x＝2，y＝ln2，z＝5－，则（C）

A．x<

y<

zB．y<

z<

x

C．z<

x<

yD．z<

x

【解析】∵x＝log32>

log3＝，y＝ln2>

ln＝，x＝log32＝<

ln2＝y，z＝5－<

4－＝，∴z<

y.故选C.

9．已知平面α∩平面β＝直线l，点A、C∈α，点B、D∈β，且A、B、C、Dl，点M、N分别是线段AB、CD的中点，则下列说法正确的是（B）

A．当|CD|＝2|AB|时，M、N不可能重合

B．M、N可能重合，但此时直线AC与l不可能相交

C．当直线AB、CD相交，且AC∥l时，BD可与l相交

D．当直线AB、CD异面时，MN可能与l平行

【解析】对于A，当|CD|＝2|AB|时，若A、B、C、D四点共面且AC∥BD时，则M、N两点能重合．故A不对；

对于B，若M、N两点可能重合，则AC∥BD，故AC∥l，此时直线AC与直线l不可能相交，故B对；

对于C，当AB与CD相交，直线AC平行于l时，直线BD可以与l平行，故C不对；

对于D，当AB、CD是异面直线时，MN不可能与l平行，从而D不对，故选B.

10．若存在实数x，y使不等式组与不等式x－2y＋m≤0都成立，则实数m的取值范围是（B）

A．m≥0B．m≤3C．m≥1D．m≥3

【解析】作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（4，2），B（1，1），C（3，3）．设z＝F（x，y）＝x－2y，将直线l：

z＝x－2y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值，可得z最大值＝F（4，2）＝0；

当l经过点C时，目标函数z达到最小值，可得z最小值＝F（3，3）＝－3，因此，z＝x－2y的取值范围为[－3，0]，∵存在实数m，使不等式x－2y＋m≤0成立，即存在实数m，使x－2y≤－m成立，∴－m大于或等于z＝x－2y的最小值，即－3≤－m，解之得m≤3，故选B.

11．已知双曲线－＝1（a>

0）的一条渐近线为l，圆C：

x2＋（y－b）2＝4与l交于第一象限A、B两点，若∠ACB＝，且＝3其中O为坐标原点，则双曲线的离心率为（D）

C.D.

【解析】双曲线－＝1（a>

0）的一条渐近线为：

y＝x，圆C：

x2＋（y－b）2＝4的圆心坐标为（0，b），半径为2，由∠ACB＝所以三角形ABC是边长为2的等边三角形，故AB＝2，OA＝1，圆心到直线y＝x的距离为，在△OBC，△OAC中，由余弦定理得cos∠BOC＝＝，解得b2＝7圆心到直线y＝x的距离为，有＝，∴＝＝，故选D.

12．已知函数y＝f（x）的定义域为R，当x<

0时f（x）>

1，且对任意的实数x，y∈R，等式f（x）f（y）＝f（x＋y）成立，若数列满足f（an＋1）f＝1，且a1＝f（0），则下列结论成立的是（A）

A．f>

fB．f>

f

C．f>

fD．f>

【解析】由题意可知，不妨设f（x）＝，则f（0）＝1，∵f（an＋1）f＝1＝f（0），∴则an＋1＋＝0，即an＋1＝－且a1＝1，当n＝1时，a2＝－；

当n＝2时，a3＝－2；

当n＝3时，a4＝1，所以数列是以3为周期的周期数列；

a2016＝a3＝－2，a2017＝a1＝1，a2018＝a2＝－，a2019＝a3＝－2，a2020＝a1＝1，又因为f（x）＝是单调递减函数，所以f>

f.故答案选A.

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

二、填空题：

本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．

13．已知a＝（3，4），b＝（t，－6），且a，b共线，则向量a在b方向上的投影为__－5__．

14．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知（acosC－ccosA）＝b，B＝60°

，则A的大小为__75°

__．

【解析】由（acosC－ccosA）＝b及正弦定理得（sinAcosC－sinCcosA）＝sinB，即sin（A－C）＝，sin（A－C）＝，∴A－C＝30°

，又∵A＋C＝180°

－B＝120°

，∴2A＝150°

，得A＝75°

.

15．已知点A（－2，0）、B（0，2），若点C是圆x2－2ax＋y2＋a2－1＝0上的动点，△ABC面积的最小值为3－，则a的值为__1或－5__．

【解析】圆的标准方程为（x－a）2＋y2＝1，圆心M（a，0）到直线AB：

x－y＋2＝0的距离为d＝，圆上的点到直线AB的最短距离为d－1＝－1，（S△ABC）min＝×

2×

＝3－，解得a＝1或a＝－5.

16．已知函数g（x）＝a－x2与h（x）＝2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是__[1，e2－2]__．

【解析】因为函数g（x）＝a－x2与h（x）＝2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，等价于a－x2＝－2lnx－a＝2lnx－x2，在上有解，设f（x）＝2lnx－x2，求导得f（x）＝－2x＝，∵≤x≤e，∴f′（x）＝0在x＝1有唯一的极值点，f（x）在上单调递增，在[1，e]上单调递减，f（x）max＝f

（1）＝－1，∵f＝－2－，f（e）＝2－e2，f（e）<

f，f（x）的值域为[2－e2，－1]，故方程－a＝2lnx－x2在上有解等价于2－e2≤－a≤－1，从而a的取值范围是[1，e2－2]，故答案为[1，e2－2]．

三、解答题：

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本题满分12分）

已知数列前n项和为Sn，a1＝2，且满足Sn＝an＋1＋n，（n∈N*）．

（1）求数列的通项公式；

（2）设bn＝（4n－2）an＋1，求数列的前n项和Tn.

【解析】

（1）（n≥2）时，an＝an＋1－an＋1，

即an＋1＝3an－2（n≥2），即（an＋1－1）＝3（an－1），当a1＝2时，a2＝2，＝1≠3，

故{an－1}是以a2－1＝1为首项，3为公比的等比数列，∴an－1＝1·

3n－2，即an＝3n－2＋1，n≥2.

∴an＝6分

（2）bn＝（4n－2）an＋1＝（4n－2）·

（3n－1＋1）＝（4n－2）3n－1＋（4n－2）

记sn′＝2·

30＋6·

31＋10·

32＋…＋（4n－2）3n－1，　①

3sn′＝2·

31＋6·

32＋…＋（4n－6）3n－1＋（4n－2）3n，　②

由①－②得，－2sn′＝2·

30＋4·

（31＋32＋…＋3n－1）－（4n－2）·

3n，

∴sn′＝2＋（2n－2）3n，

∴Tn＝2＋（2n－2）·

3n＋＝2＋（2n－2）·

3n＋2n2.12分

18．（本题满分12分）

如图所示，四棱锥P－ABCD，底面ABCD为四边形，AC⊥BD，BC＝CD，PB＝PD，平面PAC⊥平面PBD，AC＝2，∠PCA＝30°

，PC＝4.

（1）求证：

PA⊥平面ABCD；

（2）若四边形ABCD中，∠BAD＝120°

，AB⊥BC，M为PC上一点，且＝2，求三棱锥M－PBD体积．

（1）设AC∩BD＝O，连接PO，

∵BC＝CD，AC⊥BD，∴O为BD中点．

又∵PB＝PD，∴PO⊥BD，∵平面PAC⊥平面PBD，平面PAC∩平面PBD＝PO，

∴BD⊥平面PAC，PA平面PAC，∴PA⊥BD，

在△PCA中，由余弦定理得PA2＝PC2＋AC2－2PC·

ACcos30°

，

PA2＝16＋12－2×

4×

＝4，而PA2＋AC2＝PC2，

PA⊥平面ABCD.6分

（2）因为＝2，可知点M到平面PBD的距离是点C到平面PBD的距离的，

∴VM－PBD＝VC－PBD＝VP－BCD，在四边形ABCD中，∠BAD＝120°

，AB⊥BC，

则∠BAC＝60°

，AB＝ACsin30°

＝，BC＝3，则S△BCD＝×

32＝，

∴VM－PBD＝VP－BCD＝×

×

2＝.12分

19．（本题满分12分）

某公司计划购买1台机器，且该种机器使用三年后即被淘汰．在购进机器时，可以一次性额外购买几次维修服务，每次维修服务费用200元，另外实际维修一次还需向维修人员支付小费，小费每次50元．在机器使用期间，如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，则每维修一次需支付维修服务费用500元，无需支付小费．现需决策在购买机器时应同时一次性购买几次维修服务，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期间的维