高中数学 12 极坐标系教案 新人教A版选修44Word格式文档下载.docx

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图1－2－1

3．极坐标与直角坐标的互化

（1）互化背景：

把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图1－2－1所示．

（2）互化公式：

设M是平面内任意一点，它的直角坐标是（x，y），极坐标是（ρ，θ），于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：

点M

直角坐标（x，y）

极坐标（ρ，θ）

互化公式

ρ2＝x2＋y2

tanθ＝（x≠0）

1．极坐标系与平面直角坐标系有什么区别和联系？

【提示】　极坐标系以角这一平面图形为几何背景，而直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景；

平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系，而极坐标系则不可．但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系，用来研究平面内点与距离等有关问题．

2．由极坐标的意义可判断平面上点的极坐标惟一吗？

【提示】　平面上点的极坐标不是惟一的．如果限定ρ>

0，θ∈[0,2π），平面上的点（除去极点）与极坐标（ρ，θ）可建立一一对应关系．

3．联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带是什么？

【提示】　任意角的三角函数的定义及其基本关系式是联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带．

事实上，若ρ>

0，则sinθ＝，cosθ＝，

所以x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2，tanθ＝（x≠0）.

确定极坐标系中点的坐标

　设点A（2，），直线l为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A关于极轴，直线l，极点的对称点的极坐标（限定ρ>

0，－π<

θ≤π）．

【思路探究】　欲写出点的极坐标，首先应确定ρ和θ的值．

【自主解答】　如图所示，关于极轴的对称点为B（2，－）．

关于直线l的对称点为C（2，π）．

关于极点O的对称点为D（2，－π）．

四个点A，B，C，D都在以极点为圆心，2为半径的圆上．

1．点的极坐标不是惟一的，但若限制ρ>

0,0≤θ<

2π，则除极点外，点的极坐标是惟一确定的．

2．写点的极坐标要注意顺序：

极径ρ在前，极角θ在后，不能颠倒顺序．

　（xx·

漯河质检）在极坐标系中与点A（3，－）关于极轴所在的直线对称的点的极坐标是（　　）

A．（3，π）　　　　　　B．（3，）

C．（3，π）D．（3，π）

【解析】　与点A（3，－）关于极轴所在的直线对称的点的极坐标可以表示为（3,2kπ＋）（k∈Z）．

【答案】　B

将点的极坐标化为直角坐标

　写出下列各点的直角坐标，并判断所表示的点在第几象限．

（1）（2，）；

（2）（2，π）；

（3）（2，－）；

（4）（2，－2）．

【思路探究】　点的极坐标（ρ，θ）―→―→点的直角坐标（x，y）―→判定点所在象限．

【自主解答】　

（1）由题意知x＝2cos＝2×

（－）＝－1，y＝2sin＝2×

（－）＝－.

∴点（2，）的直角坐标为（－1，－），是第三象限内的点．

（2）x＝2cosπ＝－1，y＝2sinπ＝，

∴点（2，π）的直角坐标为（－1，），是第二象限内的点．

（3）x＝2cos（－）＝1，y＝2sin（－）＝－，

∴点（2，－）的直角坐标为（1，－），是第四象限内的点．

（4）x＝2cos（－2）＝2cos2，y＝2sin（－2）＝－2sin2.

∴点（2，－2）的直角坐标为（2cos2，－2sin2），是第三象限内的点．

1．点的极坐标与直角坐标的互化公式的三个前提条件：

①极点与直角坐标系的原点重合；

②极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合；

③两种坐标系的长度单位相同．

2．将点的极坐标（ρ，θ）化为点的直角坐标（x，y）时，运用到求角θ的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键．

　分别把下列点的极坐标化为直角坐标：

（2）（3，）；

（3）（π，π）．

【解】　

（1）∵x＝ρcosθ＝2cos＝，

y＝ρsinθ＝2sin＝1.

∴点的极坐标（2，）化为直角坐标为（，1）．

（2）∵x＝ρcosθ＝3cos＝0，

y＝ρsinθ＝3sin＝3.

∴点的极坐标（3，）化为直角坐标为（0,3）．

（3）∵x＝ρcosθ＝πcosπ＝－π，

y＝ρsinθ＝πsinπ＝0.

∴点的极坐标（π，π）化为直角坐标为（－π，0）.

将点的直角坐标化为极坐标

　分别把下列点的直角坐标化为极坐标（限定ρ≥0,0≤θ<

2π）．

（1）（－2,2）；

（2）（，－）；

（3）（，）．

【思路探究】　利用公式ρ2＝x2＋y2，tanθ＝（x≠0），但求角θ时，要注意点所在的象限．

【自主解答】　

（1）∵ρ＝＝＝4，

tanθ＝＝－，θ∈[0,2π），

由于点（－2,2）在第二象限，

∴θ＝.

∴点的直角坐标（－2,2）化为极坐标为（4，π）．

（2）∵ρ＝＝＝2，

由于点（，－）在第四象限，

∴点的直角坐标（，－）化为极坐标为（2，）．

（3）∵ρ＝＝＝，tanθ＝＝1，θ∈[0,2π）．

由于点（，）在第一象限，

∴点的直角坐标（，）化为极坐标为（，）．

1．将直角坐标（x，y）化为极坐标（ρ，θ），主要利用公式ρ2＝x2＋y2，tanθ＝（x≠0）进行求解，先求极径，再求极角．

2．在[0,2π）范围内，由tanθ＝（x≠0）求θ时，要根据直角坐标的符号特征判断出点所在的象限．如果允许θ∈R，再根据终边相同的角的意义，表示为θ＋2kπ（k∈Z）即可．

（1）例3中，如果限定ρ>

0，θ∈R，分别求各点的极坐标；

（2）如果点的直角坐标（x，y）满足xy<

0，那么在限定ρ>

0，θ∈R的情况下转化为点的极坐标时，试探究θ的取值范围．

【解】　

（1）根据与角α终边相同的角为α＋2kπ（k∈Z）知，点的直角坐标化为极坐标（ρ>

0，θ∈R）分别如下：

（－2,2）的极坐标为（4，＋2kπ）（k∈Z）．

（，－）的极坐标为（2，π＋2kπ）（k∈Z），（，）的极坐标为（，＋2kπ）（k∈Z）．

（2）由xy<

0得x<

0，y>

0或x>

0，y<

0.

所以（x，y）可能在第二象限或第四象限．

把直角坐标（x，y）化为极坐标（ρ，θ），ρ>

0，θ∈R时，θ的取值范围为（＋2kπ，π＋2kπ）∪（＋2kπ，2π＋2kπ）（k∈Z）.

极坐标与直角坐标的综合应用

　在极坐标系中，如果A（2，），B（2，）为等边三角形ABC的两个顶点，求顶点C的极坐标（ρ>

【思路探究】　解答本题可以先利用极坐标化为直角坐标，再根据等边三角形的定义建立方程组求解点C的直角坐标，进而求出点C的极坐标．

【自主解答】　对于点A（2，）有ρ＝2，θ＝，

∴x＝2cos＝，y＝2sin＝，则A（，）．

对于B（2，π）有ρ＝2，θ＝π，

∴x＝2cosπ＝－，y＝2sinπ＝－.

∴B（－，－）．

设C点的坐标为（x，y），由于△ABC为等边三角形，

故|AB|＝|BC|＝|AC|＝4.

∴有

解之得或

∴C点的坐标为（，－）或（－，）．

∴ρ＝＝2，tanθ＝＝－1，

∴θ＝π或θ＝π.

故点C的极坐标为（2，π）或（2，π）．

1．本例综合考查了点的极坐标与直角坐标的互化公式以及等边三角形的意义和性质．结合几何图形可知，点C的坐标有两解，设出点的坐标寻求等量关系建立方程组求解是关键．

2．若设出C（ρ，θ），利用余弦定理亦可求解，请读者完成．

　本例中，如果点的极坐标仍为A（2，），B（2，），且△ABC为等腰直角三角形，如何求直角顶点C的极坐标．

【解】　对于点A（2，），直角坐标为（，），点B（2，）的直角坐标为（－，－），

设点C的直角坐标为（x，y），由题意得AC⊥BC，且|AC|＝|BC|，

∴·

＝0，

即（x－，y－）·

（x＋，y＋）＝0，

∴x2＋y2＝4.　①

又|A|2＝|B|2，于是（x－）2＋（y－）2

＝（x＋）2＋（y＋）2，

∴y＝－x，代入①，得x2＝2，解得x＝±

.

∴或

∴点C的直角坐标为（，－）或（－，），

∴ρ＝＝2，tanθ＝－1，θ＝或，

∴点C的极坐标为（2，）或（2，）．

（教材第12页习题1.2，第5题）

已知点的直角坐标分别为（3，），（0，－），（，0），（－2，－2），求它们的极坐标．

大连质检）已知点P在第三象限角的平分线上，且到横轴的距离为2，则当ρ>

0，θ∈[0,2π）时，点P的极坐标为________．

【命题意图】　主要考查直角坐标与极坐标的互化．

【解析】　∵点P（x，y）在第三象限角的平分线上，且到横轴的距离为2.

∴x＝－2，且y＝－2.

∴ρ＝＝2，

又tanθ＝＝1，且θ∈[0,2π）．

∴θ＝π.

因此点P的极坐标为（2，π）．

【答案】　（2，π）

1．极坐标系中，点M（1,0）关于极点的对称点为（　　）

A．（1,0）　　　　　　B．（－1，π）

C．（1，π）D．（1,2π）

【解析】　∵（ρ，θ）关于极点的对称点为（ρ，π＋θ），

∴M（1,0）关于极点的对称点为（1，π）．

【答案】　C

2．点A的极坐标是（2，），则点A的直角坐标为（　　）

A．（－1，－）B．（－，1）

C．（－，－1）D．（，－1）

【解析】　x＝ρcosθ＝2cosπ＝－，

y＝ρsinθ＝2sinπ＝－1.

3．点M的直角坐标为（0，），则点M的极坐标可以为（　　）

A．（，0）B．（0，）

C．（，）D．（，－）

【解析】　∵ρ＝＝，且θ＝，

∴M的极坐标为（，）．

4．将极轴Ox绕极点顺时针方向旋转得到射线OP，在OP上取点M，使|OM|＝2，则ρ>

0，θ∈[0,2π）时点M的极坐标为________，它关于极轴的对称点的极坐标为________（ρ>

0，θ∈[0,2π））．

【解析】　ρ＝|OM|＝2，与OP终边相同的角为－＋2kπ（k∈Z）．

∵θ∈[0,2π），∴k＝1，θ＝，∴M（2，），

∴M关于极轴的对称点为（2，）．

【答案】　（2，）　（2，）

（时间40分钟，满分60分）

一、选择题（每小题5分，共20分）

1．下列各点中与（2，）不表示极坐标系中同一个点的是（　　）

A．（2，－π）　　　　　　B．（2，π）

C．（2，π