矩阵论广义逆矩阵文档格式.docx
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其中∑=diag，而是A的非零奇异值．记
则易验证X满足四个Penrose方程，故A的Moore-Penrose逆存在．
再证惟一性．设X，Y都满足四个Penrose方程，则（为了叙述简明，在等号上注明了推演时所依据的方程号）
从而A的Moore-Penrose逆是惟一的．
证毕
需要指出的是只要A不不可逆矩阵，则除Moore-Penrose逆以外的其他14类广义逆矩阵都不是惟一的．
定义6.2设，若满足Penrose方程中的第（i），（j），…，（l）等方程，则称X为A的{i，j，…，l}-逆，记为，其全体记为A{i，j，…，l}．A的惟一的Meore-Penrose逆记为，也称之为A的加号逆．
在上述15类广义逆矩阵中，应用较多的是以下5类：
A{1}，A{1，2}，A{1，3}，A{1，4}，
由于{1}-逆是最基本的，而惟一且同时包含在15类广义逆矩阵集合中，所以与在广义逆矩阵中占有十分重要的地位．以下主要对这两类广义逆矩阵进行讨论．
6.2{1}-逆及其应用
一、{1}-逆的计算及有关性质
利用定理4.14的结果可以方便地求出{1}-逆．
定理6.2设（r>
0），且有和n阶置换矩阵P使得
则对任意矩阵
是A的{1}-逆；
当L=O时，X是A的{1，2}-逆．
证因为
容易验证，由式（6.1）给出的矩阵X满足AXA=A．所以X∈A{1}．
当L=O时，易知式（6.1）的矩阵X还满足XAX=A，故X∈A{1，2}．
需要指出的是，式（6.1）中矩阵L任意变化时，所得到的矩阵X并非是满足AXA=A的所有矩阵，即只是A{1}的一个子集．
例6．1已知矩阵，求．
解4．8已求得
，
使得
从而由式（6．1），得
利用等价标准形可以求出{1}-逆的全体．
定理6．3设，且和使得
则
（6．2）
证可知
令X=TS．直接验证知AXA=A，即X∈A{1}．反之，若X∈A{1}，
可设
由AXA=A，得
当，而，和为适当阶的任意矩阵时，上式成立．故式（6．2）右边给出了A的所有{1}-逆．
证毕
推论设，则A有惟一{1}-逆的充分必要条件是m=n，且rankA=n，即A可逆．这个惟一的{1}-逆就是．
下面定理给出了{1}-逆的一些性质．
定理6．4设，，则
（1），；
（2），
其中λ∈C，且
（6．3）
（3）当，时，有；
（4）；
（5）；
（6）的充分必要条件是rankA=m；
（7）的充分必要条件是rankA=n．
证
（1）～（3）由定义直接得到；
（4）rankA＝rank；
（5）与（4）的证明类似；
（6）如果，则由（5），得
反之，如果rankA=m．则由（5）知，=rankA=m．又是m阶方阵，从而它是可逆矩阵．注意到，两边同乘即得；
同理可证（7）．
二、{1}-逆的应用
利用{1}-逆可以求解矩阵方程及线性方程组．
定理6.5设，，．则矩阵方程AXB=D有解的充分必要条件是
（6.4）
其中，，当矩阵方程有解时，其通解为
（任意）（6．5）
证如果式（6．4）成立，则是AXB=D的解．反之，如果AXB=D有解，则
将式（6．5）代入矩阵方程AXB＝D的左边并利用式（6.4）及｛1｝-逆的定义，可推出等于D，这说明式（6．5）是矩阵方程AXB＝D的解．反之，设是AXB＝D的任一解，则有
它相当于在式（6．5）中取．故式（6．5）给出了AXB＝D的通解．
推论1设，，则有
证由定理6．5可知，AXA＝A的通解为
（任意）
令，代入上式得
上述推论用某一个给定的，便给出了集合A｛1｝的全部元素．
推论2设，．则线性方程组Ax＝b有解的充分必要条件是
（6．6）
其中A
（1）∈A｛1｝．如果Ax＝b有解，其通解为
（6．7）
从式（6．7）可以看出：
Ax＝b的通解由两部分构成，其中是Ax＝b的一个特解，而（）y为Ax＝0的通解．
例6．2用广义逆矩阵方法求解线性方程组
解令A=，b=
例6．1已求得A的｛1｝-逆为（取α=β=0）
容易验证
所以线性方程组有解，且通解为
（）
推论2表明，利用某个{1}-逆可以解决线性方程组的求解问题．反之，利用线性方程组的解也可以给出{1}-逆．
定理6．6设，，．若对于使得线性方程组Ax=b有解的所有b，x=Xb都是解，则．
证记为A的第j列，则线性方程组Ax=都有解（因为就是解）．由于是线性方程组的解，即
从而
故X∈A｛1｝
三、由{1}-逆构造其他的广义逆矩阵
利用{1}-逆可以构造出其他的广义逆矩阵．
定理6．7设，Y，Z∈A{1}．记X＝YAZ，则X∈A{1，2}．
证由定义直接得到．
因为在Penrose方程
（1）和
（2）中，A与X的位置是对称的，所以X∈A{1，2}与A∈X{1，2}是等价的，即A和X总是互为{1，2}-逆，这与通常逆矩阵所具有的性质=A类似，因此也经常称之为自反广义逆矩阵．
引理6．1设，，且rank（AB）＝rankA．则存在矩阵，使得A＝ABW．
证将A按列分块为A＝（），考虑线性方程组
（j=1,2,…,n）（6．8）
因为
rank（AB）≤rank（AB，）=rank（AB，）
=rank[A（B，）]≤rankA=rank（AB）
所以rank（AB，）=rank（AB），即式（6．8）的诸线性方程组都有解，设
（AB）（j=1，2，…，n），W=（）
则有
A=（）=AB（）=ABW
在式（6．1）中取L=O，即有X∈A{1，2}，此时rankX=r=rankA．这个结论具有一般性．
定理6．8设，则的充分必要条件是rankX=rankA．
证若X∈A{1，2}，则有
rankA=rank（AXA）≤rankX=rank（XAX）≤rankA
即rankX=rankA．
反之，若X∈A{1}，且rankX=rankA．由定理6.4知
rankX=rankA=rank（XA）
从而根据引理6.1，存在矩阵，使得X=XAW，故
XAX=XA（XAW）=XAW=X
即X∈A{1，2}．
为了构造{1，2，3}-逆和{1，2，4}-逆，要用到与的{1}-逆．
定理6．9设，，，则
Y={1，2，3}，Z={1，2，4}
证由定理1.26知
rank（）=，rank（）=rankA
根据引理6．1，存在，使得
或
于是
AYA=
即Y∈A{1}．由{1}-逆的性质知rankY≥rankA，又有
rankY=rank
故由定理6．8得Y∈A{1，2}．又因为
AY=
=
可见，故Y∈A{1，2，3}．
同理可证Z∈A{1，2，4}．
定理6．10设，且．则
证记．由定理6．7知X∈A{1，2}．又因为
所以
可见X∈A{1，2，3，4}．由于A{1，2，3，4}只含一个元素，故．
6．3Moore-Penrose逆
一、的计算及有关性质
定理6．1给出了利用奇异值分解求的方法．这里给出的利用满秩分解求的方法较为简便．
定理6．11设（r>
0），且A的满秩分解为
A=FG（，）
证由定理1．26知，rank（）=rankG=r，rank（）=rankF=r，从而与都是r阶可逆矩阵．记
容易验证X满足四个Penrose方程，故X=．
推论设．则当rankA=m时，有
而当rankA=n时，有
例6．3求下列矩阵的Moore-Penrose逆：
（1）；
（2）．
解
（1）例4．9已求得
于是
（2）
由于的惟一性，它所具有的一些性质与通常逆矩阵的性质相仿，归纳如下．
定理6．12设，则
（1）；
（3），其中λ∈C，且如式（6．3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7），；
（8）当U和V分别是m阶与n阶酉矩阵时，有
（9）的充分必要条件是rankA=m；
（10）的充分必要条件是rankA=n．
证只证（6），其余结论直接利用的定义或仿定理6．4证明．
记，由定理6．9知X∈A{1，2，3}．余下只要验证X满足Penrose方程（4）．因为
上式右边是Hermite矩阵，故，即X∈A{1，2，3，4}，从而．
同理可证．
应当指出，有关逆矩阵的另外一些性质对于一般不再成立：
对于同阶可逆矩阵A和B有，定理6．12中之（7）表明对矩阵A和，Moore-Penrose逆有类似的性质．但一般来说．该性质不成立．如，设A=（11），B=，于是AB=
（1），而
，，
故
对可逆矩阵A有．当A是长方阵时，与的阶数不等．即使A为方阵，也不一定有．如，设，有，从而
可见．
二、在解线性方程组中的应用
利用{1}-逆已经解决了判断线性方程组是否有解及求通解的问题．由于是特殊的{1}-逆，所以相应地有
定理6.13设，．则线性方程组Ax=b有解的充分必
要条件是
且通解为
（任意）（6．9）
由式（6．9）可知，如果线性方程组Ax＝b有解，则当且仅当，即rankA＝n时解惟一．在实际问题中，常需求出线性方程组的无穷多个解中2-范数最小的解，即
称为线性方程组Ax=b的极小范数解．
定理6．14设，，且Ax=b有解．则它的惟一极小范数解为．
证对于式（6．9）给出的Ax=b的通解x，有
可见，即是极小范数解．
再证惟一性．设是Ax=b的极小范数解，则，且
存在，使得
与前面推导过程类似，有
从而，即，从而．
当线性方程组无解时，往往希望求出它的最小二乘解（见式（3．12））．利用Moore-Penrose逆可以解决这一问题．
定理6.15设，，矛盾方程组
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