届安徽省定远重点中学高三上学期达标检测卷数学文试题Word文档下载推荐.docx
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所以－1≤a<
，故选C.
C
4．使log2（－x）<
x＋1成立的x的取值范围是（ ）
A．（－1,0）B．[－1,0）
C．（－2,0）D．[－2,0）
在同一坐标系内作出y＝log2（－x），y＝x＋1的图象，知满足条件的x∈（－1,0），故选A.
5．已知函数f（x）＝2x3－6ax＋1，a≠0，则函数f（x）的单调递减区间为（ ）
A．（－∞，＋∞）B．（，＋∞）
C．（－∞，－）∪（，＋∞）D．（－，）
f′（x）＝6x2－6a＝6（x2－a），当a<
0时，对x∈R，有f′（x）>
0；
当a>
0时，由f′（x）<
0解得－<
x<
，
所以当a>
0时，f（x）的单调递减区间为（－，）．故选D.
D
6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝（a－b）2＋6，C＝，则△ABC的面积是（ ）
A．3B．
C.D．3
∵c2＝（a－b）2＋6，∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.①
∵C＝，∴c2＝a2＋b2－2abcos＝a2＋b2－ab.②
由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6.
∴S△ABC＝absinC＝×
6×
＝.
7．已知函数f（x）＝ln（|x|＋1）＋，则使得f（x）>
f（2x－1）成立的x的取值范围是（ ）
A．B．∪（1，＋∞）
C．（1，＋∞）D．
易知函数f（x）为偶函数，且当x≥0时，f（x）＝ln（x＋1）＋是增函数，∴使得f（x）>
f（2x－1）成立的x满足|2x－1|<
|x|，得<
1，选A．
8．设函数f（x）＝x|x－a|，若∀x1，x2∈[3，＋∞），x1≠x2，不等式>
0恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．（－∞，－3]B．[－3,0）
C．（－∞，3]D．（0,3]
由题意分析可知条件等价于f（x）在[3，＋∞）上单调递增，又f（x）＝x|x－a|，∴当a≤0时，结论显然成立，当a>
0时，f（x）＝
∴f（x）在上单调递增，在上单调递减，在（a，＋∞）上单调递增，∴0<
a≤3.
综上，实数a的取值范围是（－∞，3]．
9．已知函数f（x）＝－k，若x＝2是函数f（x）的唯一一个极值点，则实数k的取值范围为（ ）
A．（－∞，e]B．[0，e]
C．（－∞，e）D．[0，e）
f′（x）＝－k＝（x>
0）．设g（x）＝，
则g′（x）＝，则g（x）在（0,1）内单调递减，在（1，＋∞）内单调递增．
∴g（x）在（0，＋∞）上有最小值，为g
（1）＝e，结合g（x）＝与y＝k的图象可知，要满足题意，只需k≤e，选A.
10．函数f（x）＝lnx－x在区间（0，e]上的最大值为（ ）
A．1－eB．－1
C．－eD．0
因为f′（x）＝－1＝，当x∈（0,1）时，f′（x）>
当x∈（1，e]时，f′（x）<
0，所以f（x）的单调递增区间是（0,1），单调递减区间是（1，e]，所以当x＝1时，f（x）取得最大值ln1－1＝－1.
B
11．若函数y＝f（x）是函数y＝ax（a>
0，且a≠1）的反函数，且f
（2）＝1，则f（x）＝（ ）
A．log2xB．
C．logxD．2x－2
f（x）＝logax，∵f
（2）＝1，∴loga2＝1.∴a＝2.
∴f（x）＝log2x.
12．已知函数f（x）＝x＋在（－∞，－1）上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．[1，＋∞）B．（－∞，0）∪（0,1]
C．（0,1]D．（－∞，0）∪[1，＋∞）
函数f（x）＝x＋的导数为f′（x）＝1－，由于f（x）在（－∞，－1）上单调递增，则f′（x）≥0在（－∞，－1）上恒成立，即≤x2在（－∞，－1）上恒成立．由于当x<
－1时，x2>
1，则有≤1，解得a≥1或a<
0.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．定义：
如果在函数y＝f（x）定义域内的给定区间[a，b]上存在x0（a<
x0<
b），满足f（x0）＝，则称函数y＝f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点，如y＝x4是[－1,1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f（x）＝－x2＋mx＋1是[－1,1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是________．
因为函数f（x）＝－x2＋mx＋1是[－1,1]上的平均值函数，
设x0为均值点，
所以＝m＝f（x0），
即关于x0的方程－x＋mx0＋1＝m在（－1,1）内有实数根，
解方程得x0＝1或x0＝m－1.
所以必有－1<
m－1<
1，
即0<
m<
2，
所以实数m的取值范围是（0,2）．
（0,2）
14．已知α为锐角，且2tan（π－α）－3cos＋5＝0，tan（π＋α）＋6sin（π＋β）＝1，则sinα的值是________．
由已知可得－2tanα＋3sinβ＋5＝0，tanα－6sinβ＝1，解得tanα＝3，又α为锐角，故sinα＝.
15．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝a|x－2|－a，其中a为常数，且a>
0.若函数y＝f[f（x）]有10个零点，则实数a的取值范围是________．
当x≥0时，令f（x）＝0，得|x－2|＝1，
即x＝1或x＝3.
∵f（x）是偶函数，则f（x）的零点为x＝±
1和x＝±
3，
作出函数y＝f（x）的大致图象如图所示．
令f[f（x）]＝0，则f（x）＝±
1或f（x）＝±
3.
∵函数y＝f[f（x）]有10个零点，
则函数y＝f（x）的图象与直线y＝±
1和y＝±
3共有10个交点．
由图可知，1<
a<
（1,3）
16．有下列四个命题：
①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；
②“面积相等的三角形全等”的否命题；
③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；
④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．
其中真命题为________（填写所有真命题的序号）．
①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，显然是真命题，故①正确；
②“面积相等的三角形全等”的否命题是“面积不相等的三角形不全等”，显然是真命题，故②正确；
③若x2－2x＋m＝0有实数解，则Δ＝4－4m≥0，解得m≤1，所以“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题，故③正确；
④若A∩B＝B，则B⊆A，故原命题错误，所以其逆否命题错误，故④错误．
①②③
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．（12分）已知集合A＝{x|1<
3}，集合B＝{x|2m<
1－m}．
（1）当m＝－1时，求A∪B；
（2）若A⊆B，求实数m的取值范围；
（3）若A∩B＝∅，求实数m的取值范围．
（1）当m＝－1时，B＝{x|－2<
2}，
则A∪B＝{x|－2<
3}．
（2）由A⊆B知解得m≤－2，
即实数m的取值范围是（－∞，－2]．
（3）由A∩B＝∅，得
①若2m≥1－m，即m≥时，B＝∅，符合题意；
②若2m<
1－m，即m<
时，需或
得0≤m<
或∅，即0≤m<
.
综上知m≥0，即实数m的取值范围为[0，＋∞）．
18．（12分）已知函数f（x）的图象与函数h（x）＝x＋＋2的图象关于点A（0,1）对称．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）＝f（x）＋，且g（x）在区间（0,2]上为减函数，求实数a的取值范围．
（1）设f（x）图象上任一点P（x，y），则点P关于（0,1）点的对称点P′（－x,2－y）在h（x）的图象上，
即2－y＝－x－＋2，
∴y＝f（x）＝x＋（x≠0）．
（2）g（x）＝f（x）＋＝x＋，
g′（x）＝1－.
∵g（x）在（0,2]上为减函数，
∴1－≤0在（0,2]上恒成立，
即a＋1≥x2在（0,2]上恒成立，
∴a＋1≥4，即a≥3，
故a的取值范围是[3，＋∞）．
19．（12分在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足cos2C－cos2A＝2sin·
sin.
（1）求角A的大小；
（2）若a＝，且b≥a，求2b－c的取值范围．
（1）由已知得2sin2A－2sin2C＝2，
化简得sin2A＝，∴sinA＝±
又0<
A<
π，∴sinA＝，故A＝或.
（2）由＝＝，
得b＝2sinB，c＝2sinC，
因为b≥a，所以B≥A，所以A＝，
故2b－c＝4sinB－2sinC＝4sinB－2sin＝3sinB－cosB＝2sin.
因为b≥a，所以≤B<
，所以≤B－<
所以2b－c的取值范围为[，2）．
20．（12分）设函数f（x）＝sin＋sin2x－cos2x.
（1）求f（x）的最小正周期及其图象的对称轴方程；
（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，求g（x）在区间上的值域．
解：
（1）f（x）＝sin2x＋cos2x－cos2x
＝sin2x＋cos2x
＝sin.
所以f（x）的最小正周期为T＝＝π.
令2x＋＝kπ＋（k∈Z），得对称轴方程为x＝＋（k∈Z）．
（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）＝sin＝－cos2x的图象，即g（x）＝－cos2x.
当x∈时，2x∈，可得cos2x∈，所以g（x）＝－cos2x∈，即函数g（x）在区间上的值域是.
21．（12分）已知f（x）＝xlnx，g（x）＝－x2＋ax－3.
（1）对一切x∈（0，＋∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（2）证明：
对一切x∈（0，＋∞），都有lnx>
－恒成立．
（1）由题意知2xlnx≥－x2＋ax－3对一切x∈（0，＋∞）恒成立，则a≤2lnx＋x＋.
设h（x）＝2lnx＋x＋（x>
0），则h′（x）＝，
①当x∈（0,1）时，h′（x）<
0，h（x）单调递减；
②当x∈（1，＋∞）时，h′（x）>
0，h（x）
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