届人教A版文科数学 空间的平行与垂直 单元测试Word文件下载.docx
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B.若,则
C.若,则
D.若,则
6、设、是两条不同的直线,、是两个不同的平面,则能得出的是（
A.,,
B.,,
C.,,
D.,,
7、关于直线与平面,有下列四个命题:
①若,且,则;
②若,,且,则;
③若,且,则;
④若,,且,则.
其中真命题的序号是（
A.①②
B.③④
C.①④
D.②③
8、如图,在四棱柱中,、分别是、的中点,则以下结论中不成立的是（
A.与垂直
B.与垂直
C.与异面
D.与异面
9、设四面体的六条棱的长分别为,,,,和,且长为的棱与长为的棱异面,则的取值范围是（
10、下列说法不正确的是（
A.空间中,一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形;
B.同一平面的两条垂线一定共面;
C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一个平面内;
D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直.
11、如图，在长方形ABCD中，AB=，BC=1，E为线段DC上一动点，现将AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影在直线AE上，当E从D运动到C，则所形成轨迹的长度为
（
）
A．
B．
C．
D．
12、在空间中,下列命题正确的是（
A.平行直线的平行投影重合
B.平行于同一直线的两个平面平行
C.垂直于同一平面的两个平面平行
D.垂直于同一平面的两条直线平行
13、已知,为异面直线,平面,平面,直线满足,,,,则（
A.且
B.且
C.与相交,且交线垂直于
D.与相交,且交线平行于
14、已知正四棱柱中,,则与平面所成角的正弦值等于（
15、设是两条不同的直线,是三个不同的平面,给出下列四个命题:
①若,则
②若,则
③若,则
④若,则
其中正确命题的序号是（
A.①和②
B.②和③
C.③和④
D.①和④
16、下列命题中错误的是（
A.如果平面平面,那么平面内一定存在直线平行于平面
B.如果平面不垂直于平面,那么平面内一定不存在直线垂直于平面
C.如果平面平面,平面平面,,那么平面
D.如果平面平面,那么平面内所有直线都垂直于平面
二、填空题
17、如图,正方体中,,点为的中点,点在上.若平面,则线段的长度等于
.
18、设是两个不同的平面,是一条直线,以下命题正确的是
①若,则
②若,则
③若,则
三、解答题
19、如图,是圆的直径,垂直圆所在的平面,是圆上的点.
1.求证:
平面平面;
2.若,求二面角的余弦值.
20、如图,在直三棱柱中,,点是的中点.
1.求异面直线与所成角的余弦值;
2.求平面与所成二面角的正弦值.
21、如图,四棱锥中,底面,,点在线段上,且.
平面;
2.若,,,,求四棱锥的体积.
22、如图,四面体中,是正三角形,是直角三角形,,.
1.证明:
2.过的平面交于点,若平面把四面体分成体积相等的两部分,求二面角的余弦值。
23、如图,在四棱锥中,,且.
2.若,,求二面角的余弦值.
24、如图,在四棱锥中,,且.
2.若,,且四棱锥的体积为,求该四棱锥的侧面积.
25、在直三棱柱中,（直棱柱是侧棱与底面垂直的棱柱）,点是的中点.
平面
2.求二面角的正切值
四、证明题
26、如图,在直三棱柱中,,分别是棱上的点（点不同于点）,且,为的中点,求证:
1.平面平面;
2.直线平面。
参考答案
1.答案：
B
解析：
由三视图可知四面体直观图如图1所示.
由图2可知,,,在中,由余弦定理知,,
又,,故选B.
2.答案：
C
l⊥平面α且α∥β可以得到直线l⊥平面β,又由直线m⊂平面β,所以有l⊥m;
即①为真命题;
因为直线l⊥平面α且α⊥β可得直线l平行与平面β或在平面β内,又由直线m⊂平面β,所以l与m,可以平行,相交,异面;
故②为假命题;
因为直线l⊥平面α且l∥m可得直线m⊥平面α,又由直线m⊂平面β可得α⊥β;
即③为真命题;
由直线l⊥平面α以及l⊥m可得直线m平行与平面α或在平面α内,又由直线m⊂平面β得α与β可以平行也可以相交,即④为假命题.
所以真命题为①③.
故选C.
3.答案：
A
试题分析:
如图,
不妨设取中点,连接,则,即为异面直线与所形成的角,在中,
4.答案：
连接,取中点四边形平行四边形,
所以:
故与成锐角或直角是异面直线和成角.
设,则,
,
即和成角余弦值为.
5.答案：
逐项判断,选项A中的可以相交,也可以异面;
选项B中的与可以相交;
选项D中的与的位置关系可以是平行、相交、在内,故选C.
6.答案：
由,,有可能,不一定得到,A不正确;
由,,可得,B不正确;
由,,可得,垂直于平面内的任意直线,所以,C正确;
由,,可得,或是异面直线,不一定,故选C.
7.答案：
D
本题主要考查命题真假的判断、线面、面面平行与垂直的判定与性质,考查了逻辑思维能力与空间想象能力.分别与两个平行的平面平行的两条直线不一定平行,因此,①是假命题;
因为且,则与平行,或在内,又因为,所以,因此,②是真命题;
因为,且,所以,或在内,又因为,所以,故③是真命题.
8.答案：
分别以射线、、为、、轴建立空间直角坐标系.
设,,
则,,,,,,,
所以,,,,,,,
所以,,,
所以.
9.答案：
如图,构造四面体,使,,,取得中点,连接.
则,∴,∴,故选A.
10.答案：
—组对边平行就决定了共面;
同一平面的两条垂线互相平行,因而共面；
这些直线都在同一个平面内即直线的垂面;
把书本的书脊垂直放在桌上就明确了.
11.答案：
根据△AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影在直线AE上，可知D′⊥AE，所以的轨迹是以AD′为直径的一段圆弧D′，求出圆心角∠D′O，即可求得所形成轨迹的长度.
解：
由题意，D′⊥AE，所以的轨迹是以AD′为直径的一段圆弧D′，设AD′的中点为O，,∵长方形ABCD′中，AB=
，BC=1，∴∠D′AC=60°
∴∠D′O=120°
=
π,∴所形成轨迹的长度为π×
=故选A．
考点：
几何中的轨迹
点评：
本题以平面图形的翻折为载体，考查立体几何中的轨迹问题，考查弧长公式的运用，解题的关键是利用D′⊥AE，从而可知的轨迹是以AD′为直径的一段圆弧D′
12.答案：
对于A,平行直线的平行投影重合,也可能平行,对于B,平行于同一直线的两个平面平行,也可能相交,对于C,垂直于同一平面的两个平面平行可能相交,比如墙角,不成立,对于D,垂直于同一平面的两条直线平行,成立。
故选D.
考点:
空间中线面的位置关系
点评:
主要是考查了线面平行以及面面平行的判定以及性质定理,属于基础题。
13.答案：
若,则,这与,为异面直线矛盾,所以A不正确,将已知条件转化到正方体中,易知与不一定垂直,但与的交线一定平行于,从而排除B,C,故选D.
14.答案：
如图,连接交于点,连接,过作于点,连接.
∵,∴平面.
又平面,∴.又,且,
∴平面.∴为与平面所成的角.
设,则,.
由等面积法,得,即,则,
故,即与平面所成角的正弦值为.
15.答案：
16.答案：
取平面和平面的交线,则在平面内,但也在平面内,不可能垂直于平面,所以平面内所有直线都垂直于平面是错误的.
17.答案：
方法一:
因为直线平面,
平面,且平面平面,
所以,
又因为点是的中点,
所以是的中点,
由中位线定理可得,
又因为在正方体中,,
方法二:
∵直线是过的平面与平面的交线,平面,
∴.
∵为的中点,∴为的中点,
∵,∴,
18.答案：
③
①②④中与位置关系不确定.
19.答案：
1.由是圆的直径,得,
由平面,平面,得.
又,平面,平面,
所以平面.
因为平面,所以平面平面
2.解法一:
过作,则平面.如图,以点为坐标原点,分别以直线为轴,轴,轴建立空间直角坐标系.在中,因为,所以.
又因为,所以故.
设平面的法向量为,
则所以
不妨令,则.
因为
则所以不妨令
不妨令.则.
于是
由图1知二面角为锐角,
故二面角的余弦值为
解法二:
如图,过作于,因为平面,平面,所以.
又因为,且平面,平面所以平面.
过作于,连接,由三垂线定理得,所以为二面角的平面角.
在中,由,得.
因为,所以,
所以所以在中,,
所以,所以故二面角的余弦值为
20.答案：
1.以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,
因为,
所以异面直线与所成角的余弦值为.
2.设平面的法向量,
即且,
取,得,所以
是平面的一个法向量.
取平面的一个法向量,
设平面与平面所成二面角的大小为.
由,得.
因此平面与平面所成二面角的正弦值为.
21.答案：
1.因为底面,平面,所以。
又底面是直角梯形,,且,所以,
而交于点,所以平面。
2.因为,,,,
故四棱锥的体积为。
22.答案：
1.∵正,∴,设.
∵,∴
∴
在中.∴,取中点,连,则,
在,∵.
∴,∴.
∴,面,∴面.
∵面,∴面面.
2.∵,,,
∴以为原点,,,分别为,,轴
∵平面把四面体分成体积相等的两部分,
∴即为中点,
∵,,,,.
∵,,.
设面向量为,
令,,∴,
设面的向量,
令,∴,,∴.
∵二面角的平面角是锐角,
∴二面角的余弦为.
23.答案：
1.∵,∴,,
∵,且,平面,∴平面,
∵平面,
∴平面平面.
2.取中点为,∵,∴为等腰三角形,∴,
∴,.
取中点,连接,则,∴,
∵平面,∴平面,∴,∴,,两两互相垂直.
以为坐标原点,以为轴,为轴,为轴建立
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