高中一轮复习理数第一章 集合与常用逻辑用语 精品教学案Word格式.docx
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子集
集合A中任意一个元素都是集合B中的元素
A⊆B或B⊇A
真子集
集合A是集合B的子集,并且B中至少有一个元素不属于A
AB或BA
相等
集合A的每一个元素都是集合B的元素,集合B的每一个元素也都是集合A的元素
A⊆B且B⊆A⇔A=B
空集
空集是任何集合的子集
∅⊆A
空集是任何非空集合的真子集
∅B且B≠∅
1.判断题
(1)若{x2,1}={0,1},则x=0,1.( )
(2)已知集合A={x|y=x2},B={y|y=x2},C={(x,y)|y=x2},则A=B=C.( )
(3)任何集合都有两个子集.( )
答案:
(1)×
(2)×
(3)×
2.填空题
(1)已知集合A={0,1,x2-5x},若-4∈A,则实数x的值为________.
解析:
∵-4∈A,∴x2-5x=-4,∴x=1或x=4.
1或4
(2)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是________.
∵A={0,1,2},∴B={x-y|x∈A,y∈A}={0,-1,-2,1,2}.故集合B中有5个元素.
5
(3)集合A={x∈N|0<
x<
4}的真子集个数为________.
因为A={1,2,3},所以其真子集的个数为23-1=7.
7
(4)已知集合A={0,1},B={-1,0,a+3},且A⊆B,则a=________.
∵A⊆B,∴a+3=1,∴a=-2.
-2
集合的概念与集合间的基本关系
1.与集合概念有关问题的求解策略
(1)确定构成集合的元素是什么,即确定性.
(2)看这些元素的限制条件是什么,即元素的特征性质.
(3)根据元素的特征性质求参数的值或范围,或确定集合中元素的个数,要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
2.判断集合间关系的常用方法
列举法
根据题中限定条件把集合元素表示出来,然后比较集合元素的异同,从而找出集合之间的关系
结构法
从元素的结构特点入手,结合通分、化简、变形等技巧,从元素结构上找差异进行判断
数轴法
在同一个数轴上表示出两个集合,比较端点之间的大小关系,从而确定集合与集合之间的关系
[典例]
(1)若集合A={-1,1},B={0,2},则集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}中元素的个数为( )
A.5B.4
C.3D.2
(2)(2018·
兰州模拟)已知集合A={x|y=ln(x+3)},B={x|x≥2},则下列结论正确的是( )
A.A=BB.A∩B=∅
C.A⊆BD.B⊆A
(3)(2018·
湖南长沙一中月考)已知集合A={x|x2-2x≤0},B={x|x≤a}.若A⊆B,则实数a的取值范围是( )
A.[2,+∞)B.(2,+∞)
C.(-∞,0)D.(-∞,0]
[解析]
(1)因为x∈A,y∈B,所以当x=-1,y=0,2时,z=x+y=-1,1;
当x=1,y=0,2时,z=x+y=1,3,所以集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}={-1,1,3},共3个元素,选C.
(2)A={x|x>
-3},B={x|x≥2},结合数轴可得:
B⊆A.
(3)由题意得集合A={x|x2-2x≤0}={x|0≤x≤2},要使得A⊆B,则a≥2.故选A.
[答案]
(1)C
(2)D (3)A
[易错提醒]
(1)在用数轴法判断集合间的关系时,其端点能否取到,一定要注意用回代检验的方法来确定.如果两个集合的端点相同,则两个集合是否能同时取到端点往往决定了集合之间的关系.
(2)将两个集合之间的关系准确转化为参数所满足的条件时,应注意子集与真子集的区别,此类问题多与不等式(组)的解集相关.确定参数所满足的条件时,一定要把端点值代入进行验证,否则易产生增解或漏解.
1.(2018·
河北邯郸一中调研)已知集合A={0,1,2},B={z|z=x+y,x∈A,y∈A},则B=( )
A.{0,1,2,3,4}B.{0,1,2}
C.{0,2,4}D.{1,2}
选A 当x=0,y=0,1,2时,x+y=0,1,2;
当x=1,y=0,1,2时,x+y=1,2,3;
当x=2,y=0,1,2时,x+y=2,3,4.所以B={z|z=x+y,x∈A,y∈A}={0,1,2,3,4}.
2.已知集合A={x∈N|x<
2},B={y|y=lg(x+1),x∈A},C={x|x∈A或x∈B},则集合C的真子集的个数为( )
A.3B.7
C.8D.15
选B 因为A={x∈N|x<
2},所以A={0,1},因为B={y|y=lg(x+1),x∈A},所以B={0,lg2}.因为C={x|x∈A或x∈B},所以C={0,1,lg2}.所以集合C的真子集的个数为23-1=7.故选B.
3.(2018·
河北衡水中学调研)设A,B是全集I={1,2,3,4}的子集,A={1,2},则满足A⊆B的B的个数是( )
A.5B.4
选B 满足条件的集合B可以是{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4},所以满足A⊆B的B的个数是4.故选B.
4.(2018·
成都模拟)已知集合A={x∈N|1<
log2k},若集合A中至少有3个元素,则k的取值范围为( )
A.(8,+∞)B.[8,+∞)
C.(16,+∞)D.[16,+∞)
选C 法一:
∵集合A={x∈N|1<
log2k},集合A中至少有3个元素,∴log2k>
4,解得k>
16.故选C.
法二:
取k=16,则集合A={x∈N|1<
log2k}={x∈N|1<
4}={2,3},所以排除A、B、D,故选C.
5.已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B⊆A,则实数m的取值范围为________.
∵B⊆A,∴①若B=∅,则2m-1<
m+1,此时m<
2.②若B≠∅,则解得2≤m≤3.
由①②可得,符合题意的实数m的取值范围为(-∞,3].
(-∞,3]
突破点
(二) 集合的基本运算
1.集合的三种基本运算
符号表示
图形表示
符号语言
集合的并集
A∪B
A∪B={x|x∈A,或x∈B}
集合的交集
A∩B
A∩B={x|x∈A,且x∈B}
集合的补集
若全集为U,则集合A的补集为∁UA
∁UA={x|x∈U,且x∉A}
2.集合的三种基本运算的常见性质
(1)A∩A=A,A∩∅=∅,A∪A=A,A∪∅=A.
(2)A∩∁UA=∅,A∪∁UA=U,∁U(∁UA)=A.
(3)A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)=∅.
(1)若A∩B=A∩C,则B=C.( )
(2)若集合A=,则∁RA=.( )
(3)设集合U={x|-3<
3,x∈Z},A={1,2},B={-2,-1,2},则A∩(∁UB)={1}.( )
(3)√
(1)(2018·
浙江模拟)已知集合P={x∈R|0≤x≤4},Q={x∈R||x|<
3},则P∪Q=________.
由题意,得P=[0,4],Q=(-3,3),∴P∪Q=(-3,4].
(-3,4]
安徽合肥模拟)已知集合A={x|x2<
4},B={x|x-1≥0},则A∩B=________.
由题意,得A={x|x2<
4}=(-2,2),B={x|x-1≥0}=[1,+∞),所以A∩B=[1,2).
[1,2)
(3)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={2,3,5,6},集合B={1,3,4,6,7},则集合A∩(∁UB)=________.
因为∁UB={2,5,8},所以A∩(∁UB)={2,3,5,6}∩{2,5,8}={2,5}.
{2,5}
(4)设集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={3,4,5},则∁U(A∪B)=________.
∵A={1,3,5},B={3,4,5},∴A∪B={1,3,4,5}.又U={1,2,3,4,5,6},∴∁U(A∪B)={2,6}.
{2,6}
集合的交集或并集
[例1]
(1)(2018·
湖南十校联考)已知集合P={x|1≤2x<
4},Q={1,2,3},则P∩Q=( )
A.{1}B.{1,2}
C.{2,3}D.{1,2,3}
山东菏泽模拟)设集合A=,B={x|x2<
1},则A∪B=( )
A.{x|1<
2}B.{x|-1<
2}
C.D.{x|-1<
1}
[解析]
(1)P={x|1≤2x<
4}=[0,2),所以P∩Q={1}.故选A.
(2)因为B={x|x2<
1}={x|-1<
1},所以A∪B={x|-1<
2}.故选B.
[答案]
(1)A
(2)B
[方法技巧] 求集合交集或并集的方法步骤
交、并、补的混合运算
[例2]
(1)(2018·
山东临沂模拟)设集合U=R,A={x|2x(x-2)<
1},B={x|y=ln(1-x)},则图中阴影部分表示的集合为( )
A.{x|x≥1}B.{x|1≤x<
C.{x|0<
x≤1}D.{x|x≤1}
湖北黄冈调研)已知函数f(x)=的定义域为M,g(x)=ln(1-x)的定义域为N,则M∪(∁RN)=( )
A.{x|x>
-1}B.{x|x≥1}
C.∅D.{x|-1<
[解析]
(1)A={x|2x(x-2)<
1}={x|x(x-2)<
0}={x|0<
2},B={x|y=ln(1-x)}={x|1-x>
0}={x|x<
1},则∁UB={x|x≥1},阴影部分表示的集合为A∩(∁UB)={x|1≤x<
2}.
(2)依题意得M={x|-1<
1},N={x|x<
1},∁RN={x|x≥1},所以M∪(∁RN)={x|x>
-1}.
[答案]
(1)B
(2)A
[方法技巧]
解决交、并、补混合运算的一般思路
(1)用列举法表示的集合进行交、并、补集运算时,常采用Venn图法解决,此时要搞清Venn图中的各部分区域表示的实际意义.
(2)用描述法表示的数集进行运算,常采用数轴分析法解决,此时要注意“端点”能否取到.
(3)若给定的集合是点集,常采用数形结合法求解.
集合的新定义问题
[例3] (2018·
合肥模拟)对于集合M,N,定义M-N={x|x∈M,且x∉N},M⊕N=(M-N)∪(N-M).设A={y|y=x2-3x,x∈R},B={y|y=-2x,x∈R},则A⊕B=( )
A.
B.
C.∪[0,+∞)
D.∪(0,+∞)
[解析] 因为A=,B={y