学年度北师大版数学选修23教学案第二章5第一课时离散型随机变量的均值Word文档下载推荐.docx
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（1）恰好摸到1个红球的概率为P（A1）＝＝.
（2）X的所有可能值为0,10,50,200，且
P（X＝200）＝P（A3B1）＝P（A3）P（B1）＝·
＝，
P（X＝50）＝P（A3B0）＝P（A3）P（B0）＝·
P（X＝10）＝P（A2B1）＝P（A2）P（B1）＝·
＝＝，
P（X＝0）＝1－－－＝.
综上知，X的分布列为
X
10
50
200
P
从而有EX＝0×
＋10×
＋50×
＋200×
＝4（元）．
[一点通] 求离散型随机变量X的均值的步骤
（1）理解X的意义，写出X可能取的全部值；
（2）求X取每个值的概率；
（3）写出X的分布列（有时可以省略）；
（4）利用定义公式EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn，求出均值．
1．（广东高考）已知离散型随机变量X的分布列为
1
2
3
则X的数学期望EX＝（ ）
A. B．2
C.D．3
解析：
EX＝1×
＋2×
＋3×
＝＝.
答案：
A
2．某高等学院自愿献血的20位同学的血型分布情形如下表：
血型
B
AB
O
人数
8
7
（1）现从这20人中随机选出两人，求两人血型相同的概率；
（2）现有A血型的病人需要输血，从血型为A、O的同学中随机选出2人准备献血，记选出A血型的人数为X，求随机变量X的数学期望EX.
解：
（1）从20人中选出两人的方法数为C＝190，
选出两人同血型的方法数为C＋C＋C＋C＝53，
故两人血型相同的概率是.
（2）X的取值为0,1,2，
P（X＝0）＝＝，
P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝.
X的分布列为
∴EX＝×
0＋×
1＋×
2＝＝.
二项分布及超几何分布的均值
[例2] 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，记甲击中目标的次数为X，乙击中目标的次数为Y，求
（1）X的概率分布；
（2）X和Y的数学期望．
[思路点拨] 甲、乙击中目标的次数均服从二项分布．
[精解详析]
（1）P（X＝0）＝C3＝，
P（X＝1）＝C3＝，
P（X＝2）＝C3＝，
P（X＝3）＝C3＝.
所以X的概率分布如下表：
（2）由题意X～B，Y～B，
∴EX＝3×
＝1.5，EY＝3×
＝2.
[一点通] 如果随机变量X服从二项分布即X～B（n，p），则EX＝np；
如果随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布时，则EX＝n，以上两特例可以作为常用结论，直接代入求解，从而避免了繁杂的计算过程．
3．若随机变量X～B，EX＝2，则P（X＝1）等于________．
由X～B∴EX＝n·
＝2，
∴n＝4，∴P（X＝1）＝C13＝.
4．袋中有7个球，其中有4个红球，3个黑球，从袋中任取3个球，以X表示取出的红球数，则EX为________．
由题意知随机变量X服从N＝7，M＝4，n＝3的超几何分布，则EX＝3×
＝.
5．（浙江高考）已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：
取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取（无放回，且每球取到的机会均等）3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和．
（1）求X的分布列；
（2）求X的数学期望EX.
（1）由题意得X取3,4,5,6，且
P（X＝3）＝＝，P（X＝4）＝＝，
P（X＝5）＝＝，P（X＝6）＝＝.
所以X的分布列为
4
5
6
（2）由
（1）知EX＝3·
P（X＝3）＋4·
P（X＝4）＋5·
P（X＝5）＋6·
P（X＝6）＝.
数学期望的实际应用
[例3] 某商场准备在“五一”期间举行促销活动．根据市场行情，该商场决定从3种服装商品、2种家电商品、4种日用商品中，选出3种商品进行促销活动．
（1）试求选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率；
（2）商场对选出的家电商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品成本价的基础上提高180元作为售价销售给顾客，同时允许顾客有3次抽奖的机会，若中奖一次，就可以获得一次奖金．假设顾客每次抽奖时获奖的概率都是，且每次获奖时的奖金数额相同，请问：
该商场应将每次中奖的奖金数额至多定为多少元，此促销方案才能使商场自己不亏本？
[思路点拨]
（1）利用间接法求概率；
（2）先求中奖的期望，再列不等式求解．
[精解详析]
（1）设选出的3种商品中至少有一种是日用商品为事件A，则P（A）＝1－＝.
即选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率为.（4分）
（2）设顾客抽奖的中奖次数为X，则X＝0,1,2,3，于是
P（X＝0）＝×
×
P（X＝1）＝C×
2×
P（X＝2）＝C×
2＝，
P（X＝3）＝×
∴顾客中奖的数学期望
EX＝0×
＋1×
＝1.5.（10分）
设商场将每次中奖的奖金数额定为x元，则1.5x≤180，解得x≤120，
即该商场应将每次中奖的奖金数额至多定为120元，才能使自己不亏本．（12分）
[一点通] 处理与实际问题有关的均值问题，应首先把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并写出分布列，最后利用有关的公式求出相应的概率及均值．
6．（湖南高考）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和，现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立．
（1）求至少有一种新产品研发成功的概率；
（2）若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；
若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望．
记E＝{甲组研发新产品成功}，F＝{乙组研发新产品成功}．
由题设知P（E）＝，P（）＝，P（F）＝，P（）＝.
且事件E与F，E与，与F，与都相互独立．
（1）记H＝{至少有一种新产品研发成功}，则＝，于是
P（）＝P（）P（）＝×
故所求的概率为P（H）＝1－P（）＝1－＝.
（2）设企业可获利润为X（万元），则X的可能取值为0,100,120,220.
因P（X＝0）＝P（）＝×
P（X＝100）＝P（F）＝×
P（X＝120）＝P（E）＝×
P（X＝220）＝P（EF）＝×
故所求的X分布列为
100
120
220
数学期望为E（X）＝0×
＋100×
＋120×
＋220×
＝＝＝140.
7．某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的损失．现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用．单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应的预防措施后此突发事件不发生的概率为0.9和0.85.若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采取、联合采取或不采取，请确定预防方案使总费用最少．（总费用＝采取预防措施的费用＋发生突发事件损失的期望值．）
①不采取预防措施时，总费用即损失期望值为
E1＝400×
0.3＝120（万元）；
②若单独采取预防措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为1－0.9＝0.1，
损失期望值为E2＝400×
0.1＝40（万元），
所以总费用为45＋40＝85（万元）；
③若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，
发生突发事件的概率为1－0.85＝0.15，
损失期望值为E3＝400×
0.15＝60（万元），
所以总费用为30＋60＝90（万元）；
④若联合采取甲、乙两种预防措施，
则预防措施费用为45＋30＝75（万元），
发生突发事件的概率为（1－0.9）（1－0.85）＝0.015，
损失期望值为E4＝400×
0.015＝6（万元），
所以总费用为75＋6＝81（万元）．
综合①②③④，比较其总费用可知，选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少．
1．求随机变量的数学期望的方法步骤：
（1）写出随机变量所有可能的取值．
（2）计算随机变量取每一个值对应的概率．
（3）写出分布列，求出数学期望．
2．离散型随机变量均值的性质
①Ec＝c（c为常数）；
②E（aX＋b）＝aEX＋b（a，b为常数）；
③E（aX1＋bX2）＝aEX1＋bEX2（a，b为常数）．
1．一名射手每次射击中靶的概率均为0.8，则他独立射击3次中靶次数X的均值为（ ）
A．0.8 B．0.83
C．3D．2.4
射手独立射击3次中靶次数X服从二项分布，即X～B（3,0.8），∴EX＝3×
0.8＝2.4.
D
2．已知离散型随机变量X的概率分布如下：
0.3
3k
4k
随机变量Y＝2X＋1，则Y的数学期望为（ ）
A．1.1B．3.2
C．11kD．33k＋1
由题意知，0.3＋3k＋4k＝1，
∴k＝0.1.EX＝0×
0.3＋1×
0.3＋2×
0.4＝1.1，
∴EY＝E（2X＋1）＝2EX＋1＝2.2＋1＝3.2.
3．口袋中有5个球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3个球，以X表示取出的球的最大号码，则EX＝（ ）
A．4B．5
C．4.5D．4.75
X的取值为5,4,3.
P（X＝5）＝＝，
P（X＝4）＝＝，
P（X＝3）＝＝.
∴EX＝5×
＋4×
＝4.5.
C
4．（湖北高考）如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值EX＝（ ）
A.B.
C.D.
由题意知X可能为0,1,2,3，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，
P（X＝3）＝，EX＝0×
P（X＝0）＋1×
P（X＝1）＋2×
P（X＝2）＋3×
P（X＝3）＝0×
＝＝，故选B.
5．设10件产品有3件次品，从中抽取2件进行检查，则查得次品数的均值为________．
设查得次品数为X，由题意知X服从超几何分布且N＝10，M＝3，n＝2.
∴EX＝n·
＝2×
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