中国美术学院附属中学入学招生模拟卷数学.docx

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中国美术学院附属中学入学招生模拟卷数学

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2022年中国美术学院附属中学入学招生模拟卷数学

考试总分120；考试时间：

100分钟

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

一、单选题

1．下列计算中，正确的是（）

A．（a2b3）2=a4b5B．（3x2y2）2=6x4y4C．（-xy）3=-xy3D．（-m3n2）2=m6n4

2．平面直角坐标系内的点A（－1，2）与点B（－1，－2）关于（）

A．y轴对称B．x轴对称C．原点对称D．直线y＝x对称

3．如图，将斜边长为4的直角三角板放在直角坐标系xOy中，两条直角边分别与坐标轴重合，P为斜边的中点．现将此三角板绕点O顺时针旋转120°后点P的对应点的坐标是（）

A．（，1）B．（1，）C．（，﹣2）D．（2，）

4．第七次全国人口普查数据显示，贵州省常住人口约为3856.21万人，将38562100用科学记数法表示为（）

A．B．C．D．

5．已知P（x，y）是以坐标原点为圆心，5为半径的圆周上的点，若x，y都是整数，则这样的点共有（）

A．4个B．8个C．12个D．16个

6．若式子有意义，则一次函数的图象可能是（）

A．B．C．D．

7．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，EC：

DE=1：

3，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与四边形BFEC的面积之比为（）

A．1：

2B．3：

4C．8：

17D．9：

19

8．下列关于二次函数y=-（x-n）+n+1（n为常数）的结论：

①该函数图象开口向下；②该函数的图象一定经过坐标轴上某个定点；③该函数图象的顶点在函数y=x+1的图象上；④当0≤x≤1时，若该函数有最大值2，则n=±1．其中正确的结论有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

9．如图，△ABC内接于圆O，AC＝10，BC＝24，且∠A＝90°+∠B，则点O到AB的距离为（　　）

A．B．C．2.4D．

10．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝6，∠DAC＝60°，点F在线段AO上从点A至点O运动，连接DF，以DF为边作等边三角形DFE，点E和点A分别位于DF两侧，下列结论：

①∠BDE＝∠EFC；②ED＝EC；③∠ADF＝∠ECF；④点E运动的路程是2，其中正确结论的序号为（　　）

A．①④B．①②③C．②③④D．①②③④

第II卷（非选择题）

请点击修改第II卷的文字说明

二、填空题

11．线段，则与的比例中项=________．

12．已知5xny8与﹣4x2ym是同类项，则m＝___，n＝___．

13．如图，正方形A1A2A3A4，A5A6A7A8，A9A10A11A12，…，（每个正方形从第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序，依次A1，A2，A3，A4；A5，A6，A7，A8；A9，A10，A11，A12；…）的中心均在坐标原点O，各边均与x轴或y轴平行，若它们的边长依次是2，4，6…，则顶点A20的坐标为________．

14．如图，AB＝12cm，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．若点C是线段AB的巧点，则AC＝_______________cm．

15．如图，一只蚂蚁沿着边长为1的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则AC的长为__________．

16．如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，AD是∠CAB的平分线，若P、Q分别是AD和AC上的动点，则AC＝_______，PC+PQ的最小值是_______．

三、解答题

17．“整体思想”是中学数学学习中的一种重要思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，例如把看成一个整体：

，请应用整体思想解答下列问题：

（1）化简：

；

（2）已知，，，求的值．

18．你会玩“24点”游戏吗？

从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每一张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为24或﹣24，其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数．J、Q、K、A分别代表11、12、13、1，小明抽到了黑桃3，方块4，红桃6，梅花10，他运用下面的方法凑成了：

3×{10﹣[﹣4﹣（﹣6）]}＝24．（提示数2，数3可列23＝8或32＝9）

（1）如果抽到的是红心2，黑桃3，方块3，梅花6，你能凑成24吗？

（2）如果抽到的是黑桃A，方块2，黑桃2，黑桃3，你能凑成24吗？

（3）如果抽到的是黑桃5，黑桃A，梅花5，方块5，你能凑成24吗？

19．如图，一边靠学校院墙，其他三边用12m长的篱笆围成一个矩形花圃，设矩形ABCD的边AB=xm，面积为Sm2．

（1）写出S与x之间的函数关系式；

（2）当x取何值时，面积S最大，最大值是多少？

20．已知二次函数y=x2﹣4x+3．

（1）用配方法求出顶点坐标；

（2）求该二次函数与坐标轴的交点坐标；

（3）在所给坐标系中画出该二次函数的大致图象，并写出当y＜0时，x的取值范围．

21．已知锐角，，于，于F，交于E．

求证：

ΔBDE≌

若BD=8，DC=6，求线段BE的长度．

22．对某一个函数给出如下定义：

对于函数y，若当a≤x≤b，函数值y满足m≤y≤n，且满足n﹣m＝k（b﹣a），则称此函数为“k系和谐函数”．

（1）已知正比例函数y＝5x（1≤x≤4）为“k系和谐函数”，请求出k的值；

（2）若一次函数y＝px﹣3（1≤x≤4）为“3系和谐函数”，求p的值；

（3）已知二次函数y＝﹣2x2+4ax+a2+2a，当﹣1≤x≤1时，y是“k系和谐函数”，求k的取值范围．

23．如图，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点P是线段BC延长线上任意一点，以AP为直角边作等腰直角△APD，AD与BC相交于点K，且∠APD＝90°，连接BD．

（1）求证：

＝；

（2）在点P运动过程中，试问∠PBD的度数是否会变化？

若不变，请求出它的度数，若变化，请说明它的变化趋势；

（3）已知AB＝，设CP＝x，S△PBD＝S，试求S关于x的函数表达式．

参考答案

1．D

【分析】

根据积的乘方和幂的乘方运算法则逐项分析判断即可

【详解】

解：

A、（a2b3）2=a4b6，故该选项不正确，不符合题意；

B、（3x2y2）2=9x4y4，故该选项不正确，不符合题意；；

C、（-xy）3=-x3y3，故该选项不正确，不符合题意；；

D、（-m3n2）2=m6n4，故该选项正确，符合题意；；

故答案为：

D

【点睛】

本题考查了积的乘方和幂的乘法，掌握积的乘方和幂的乘方运算法则是解题的关键．

2．B

【详解】

试题解析：

点A（－1，2）与点B（－1，－2）关于x轴对称.

故选B.

点睛：

关于x轴对称点的坐标特点，横坐标不变，纵坐标互为相反数.

3．B

【详解】

试题分析：

根据题意画出△AOB绕着O点顺时针旋转120°得到的△COD，连接OP，OQ，过Q作QM⊥y轴，∴∠POQ=120°，∵AP=OP，∴∠BAO=∠POA=30°，∴∠MOQ=30°，在Rt△OMQ中，OQ=OP=2，∴MQ=1，OM=，则P的对应点Q的坐标为（1，），故选B．

考点：

坐标与图形变化-旋转．

4．B

【分析】

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数位数减1，据此即可求解．

【详解】

解：

38562100=3.85621×107．

故选：

B

【点睛】

此题考查科学记数法表示绝对值大于10的数，熟知科学记数法的形式，准确确定a、n的值是解题关键．

5．C

【分析】

应分为两种情况：

①若这个点在坐标轴上，那么有四个；②若这个点在象限内，由，可知在每个象限有两个，总共12个．

【详解】

试题分析：

分为两种情况；

①若这个点在坐标轴上，那么有四个，它们是（0，5），（5，0），（-5，0），（0，-5）；

②若这个点在象限内，

∵，而P都是整数点，

∴这样的点有8个，分别是（3，4），（3，-4），（-3，4），（-3，-4）），（4，3），（4，-3），（-4，3），（-4，-3）．

∴共12个，故选C．

考点：

此题主要考查了点与圆的位置关系及勾股定理

点评：

解答本题的关键是由题意得出分为两种不同的情况，再由勾股定理解决问题．

6．A

【分析】

根据二次根式的非负性及零指数幂的定义求出k-1>0，由此得到答案．

【详解】

解：

∵式子有意义，

∴，

∴k-1>0，

∴一次函数的图象可能是A，

故选：

A．

【点睛】

此题考查一次函数图象，正确掌握二次根式的非负性及零指数幂的定义是解题的关键．

7．D

【分析】

由DE：

EC=3：

1，可得DF：

FB=3：

4，根据在高相等的情况下三角形面积比等于底边的比，可得，可求△DEF的面积与四边形BCEF的面积的比值．

【详解】

，

．

，

．

，．

设，则．

过点作交于点．

，

即．

．

．

．

．

故选：

D．

【点睛】

本题考查了平行线分线段成比例，平行四边形的性质，关键是运用在高相等的情况下三角形面积比等于底边的比求三角形的面积比值．

8．C

【分析】

根据二次项系数的符号即可判断①，当时，，可判断②，将抛物线的顶点坐标代入即可判断③，④将对称轴分三种情况讨论：

i）当时，ii）当时，ⅲ）当时，分别求得该函数的最大值即可判断④

【详解】

函数解析式．

①，

∴函数图象开口向下，故①正确；

②∵当时，，

∴该函数图象一定经过轴的点，故②正确；

③函数的顶点坐标为，代入，符合题意，故③正确；

④将对称轴分三种情况讨论：

i）当时，在的取值范围内，二次函数值随的增大而减小，当时，；

ii）当时，在的取值范围内，当时，二次函数取得最大值，此时，解得（负值舍去），即；

ⅲ）当时，在的取值范围内，二次函数值随的增大而增大，当时，，解得（舍去）．

．故④错误．

综上所述，①②③正确，故选C．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，掌握的图象和性质是解题的关键．

9．A

【分析】

根据题意作直径CD，连BD，过O作OM⊥AB于M，过B作BN⊥CD于N，如图，利用圆周角定理得到∠CBD＝90°，再证明CD∥AB得到•∠BDC＝∠ABC，所以BD＝AC＝10,然后利用勾股定理计算出CD，再利用面积法求出BN即可．

【详解】

解：

作直径CD，连BD，过O作OM⊥AB于M，过B作BN⊥CD于N，如图，

则∠CBD＝90°，

∵∠A＝90°+∠ABC，

∴∠A＝∠ABD，

∴∠ABD+∠D＝∠A+∠D＝180°，

∴CD∥AB，

∴∠BCD＝∠ABC，

∴＝，

∴BD＝AC＝10．

∴OM＝BN，

在Rt△CBD中，CD＝＝26，

∵S△BCD＝×BN×CD＝×BC×BD，

∴BN＝＝＝，

∴OM＝.

即点O到AB的距离为．

故选：

A．

【点睛】

本题考查三角形的外心与外接圆以及垂径定理和圆周角定理，注意掌握三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．

10．D

【分析】

①根据∠DAC＝60°，OD＝OA，得出△OAD为等边三角形，再由△DFE为等边三角形，得∠EDF＝∠EFD＝∠DEF＝60°，即可得出结论①正确；

②如图，连接OE，利用SAS证明△DAF≌△DOE，再证明△OD