北师大版初中数学八年级下册全册第四章Word文档格式.docx

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光华大街的实际长度是

10×

9000=90000（cm）

90000cm=900m.

（2）新安大街与光华大街的图上长度之比是16∶10=8∶5

新安大街的实际长度与光华大街的实

际长度之比是144000∶90000=8∶5

由例2的结果可以发现：

三、随堂练习

1.在比例尺为1∶8000的某学校地图上，矩形运动场的图上尺寸是1cm×

2cm，矩形运动场的实际尺寸是多少？

根据题意，得

矩形运动场的图上长度∶矩形运动场的实际长度=1∶8000

因此，矩形运动场的长是

2×

8000=16000（cm）=160（m）

矩形运动场的宽是

1×

8000=8000（cm）=80（m）

所以，矩形运动场的实际尺寸是长为160m,宽为80m.

四、活动与探究

为了参加北京市申办2008年奥运会的活动，如果有两边长分别为1，a（其中a＞1）的一块矩形绸布，要将它剪裁出三面矩形彩旗（面料没有剩余），使每条彩旗的长和宽之比与原绸布的长和宽之比相同，画出两种不同裁剪方法的示意图，并写出相应的a的值.

方案

（1）：

∵长和宽之比与原绸布的长和宽之比相同，（*）

∴

解得：

a=

方案

（2）：

由（*）得

∴x=,a=

方案（3）：

∴y=

且∴z=

由=a得a=

方案（4）：

∴b=

n=1－m=a2－1

∵m+n=1∴1－+a2－1=1

∴a=（负值舍去）

4.2黄金分割

明白黄金分割

如图：

点C把线段AB分成两条线段AC和AB，如果=那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。

4.3形状相同的图形

在诸多图形中能找出形状相同的图形，并能画形状相同的图形.

在实际生活和数学学习中，我们常常会看到许多形状相同的图形，请从下图中找出形状相同的图形.

（1）与（3）；

（2）与（13）；

（4）与（11）；

（5）与（10）；

（6）、（7）、（8）、（9）分别是形状相同的图形.

三、课堂练习

1.解：

（1）在直角坐标系中描出点O（0，0），A（1，2），B（2，4），C（3，2），D（4，0），先用线段顺次连接点O，A，B，C，D，然后用线段连接A，C两点，得到了字母A的图形

（2）填表1如下：

表1

（x,y）

O（0,0）

A（1,2）

B（2,4）

C（3,2）

D（4,0）

（2x,y）

O1（0,0）

A1（2,2）

B1（4,4）

C1（6,2）

D1（8,0）

分别连接O1A1，A1B1，B1C1，C1D1，A1C1得下图.

得到的图形还是字母A.

填写表2如下：

表2

（x,2y）

O2（0,0）

A2（1,4）

B2（2,8）

C2（3,4）

D2（4,0）

连接如下图

所得图形还是字母A.

填写表3如下：

表3

（2x,2y）

O3（0,0）

A3（2,4）

B3（4,8）

C3（6,4）

D3（8,0）

（3）在上述所得图形中，第1个图形和第4个图形形状相同.

4.4相似多边形

　　经历探究图形的形状、大小，图形的边、角之间的关系，掌握相似多边形的定义以及相似比，并能根据定义判断两个多边形是否是相似多边形．

1．探究相似多边形的定义

　　下图中的两个多边形分别是幻灯片上的多边形ABCDEF和银幕上的多边形A1B1C1D1E1F1，它们的形状相同吗？

（1）在上图的两个多边形中，是否有相等的内角？

设法验证你的猜测．

（2）在上图的两个多边形中，相等内角的两边是否成比例？

　2．观察下面两组图形，

（1）中的两个图形相似吗？

为什么？

（2）中的两个图形呢？

与同伴交流．

　　2．如果两个多边形不相似，那么它们的各角可能对应相等吗？

它们的各边可能对应成比例吗？

（1）中的两个图形不相似．

　　因为相似形需要满足两个条件，一个是对应角相等，一个是对应边成比例．虽然

（1）中的两个图形对应边成比例，但对应角不相等，所以两个图形不相似．

（2）中的两个图形也不相似．

　　因为它们的对应边不成比例，所以两个图形不相似．

　　3．如果两个多边形不相似，那么它们的对应角也可能都相等，如

（2）中的两个图形；

　　如果两个多边形不相似，那么它们的对应边也可能成比例，如

（1）中的两个图形对应边成比例，但对应角不相等．

三、活动与探究

　　纸张的大小

　　如图，将一张长、宽之比为的矩形纸ABCD依次不断对折，可以得到矩形纸BCFE，AEML，GMFH，LGPN．

（1）矩形ABCD、BCFE、AEML、GMFH、LGPN长与宽的比改变了吗？

（2）在这些矩形中，有成比例的线段吗？

　　（3）你认为这些大小不同的矩形相似吗？

　　解：

（1）矩形ABCD、BCFE、AEML、GMFH、LGPN长与宽的比不改变．

　　设纸的宽为a，长为a，则

　　BC＝a，BE＝a

　　AE＝a，ME＝

　　MF＝，HF＝a

　　LG＝a，LN＝

　　∴　＝a∶a＝

　　＝a∶＝

　　∶

　　a∶＝

　　所以这五个矩形的长与宽的比不改变．

（2）在这些矩形中有成比例的线段．

　　（3）这些大小不同的矩形都相似．

4.5相似三角形

1.掌握相似三角形的定义、表示法，并能根据定义判断两个三角形是否相似.

2.能根据相似比进行计算.

1.相似三角形的定义及记法

如果△ABC∽△DEF，那么哪些角是对应角？

哪些边是对应边？

对应角有什么关系？

对应边呢？

由前面相似多边形的性质可知，对应角应相等，对应边应成比例.

所以∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F.

.

2.

（1）两个全等三角形一定相似吗？

（2）两个直角三角形一定相似吗？

两个等腰直角三角形呢？

（3）两个等腰三角形一定相似吗？

两个等边三角形呢？

（1）两个全等三角形一定相似.

因为两个全等三角形的对应边相等，对应角相等，由对应边相等可知对应边一定成比例，且相似比为1，因此满足相似三角形的两个条件，所以两个全等三角形一定相似.

（2）两个直角三角形不一定相似.

因为虽然都是直角三角形，但也只能确定有一对角即直角相等，其他的两对角可能相等，也可能不相等，对应边也不一定成比例，所以它们不一定相似.

两个等腰直角三角形一定相似.

因为两个等腰直角三角形Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°

，则∠A=∠B=∠D=∠E=45°

，所以有∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F.

再设△ABC中AC=b，△DEF中DF=a，则

AC=BC=b，AB=b

DF=EF=a，DE=a

所以两个等腰直角三角形一定相似.

（3）两个等腰三角形不一定相似.

因为等腰只能说明一个三角形中有两边相等，但另一边不固定，因此这两个等腰三角形中有两边对应成比例，两底边的比不一定等于对应腰的比，因此不用再去讨论对应角满足什么条件，就可以确定这两个等腰三角形不一定相似.

两个等边三角形一定相似.

因为等边三角形的各边都相等，各角都等于60度，因此这两个等边三角形一定有对应角相等、对应边成比例，所以它们一定相似.

［师］由上可知，在特殊的三角形中，有的相似，有的不相似.

两个全等三角形一定相似.

两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似.

3.例题

1.如图，有一块呈三角形形状的草坪，其中一边的长是20m，在这个草坪的图纸上，这条边长5cm，其他两边的长都是3.5cm，求该草坪其他两边的实际长度.

草坪的形状与其图纸上相应的形状相似，它们的相似比是2000∶5=400∶1

如果设其他两边的实际长度都是xcm，则

x=3.5×

400=1400（cm）=14（m）

所以，草坪其他两边的实际长度都是14m.

2.如图,已知△ABC∽△ADE,AE=50cm,EC=30cm,BC=70cm,∠BAC=45°

∠ACB=40°

，求

（1）∠AED和∠ADE的度数；

（2）DE的长.

（1）因为△ABC∽△ADE.

所以由相似三角形对应角相等，得

∠AED=∠ACB=40°

在△ADE中，

∠AED+∠ADE+∠A=180°

即40°

+∠ADE+45°

=180°

所以∠ADE=180°

－40°

－45°

=95°

（2）因为△ABC∽△ADE，所以由相似三角形对应边成比例，得

即

所以DE==43.75（cm）.

4.6探索三角形相似的条件

1.掌握三角形相似的判定方法1.

2.会用相似三角形的判定方法1来证明及计算.

1.做一做.

（1）画一个△ABC，使得∠BAC=60°

，与同伴交流，你们所画的三角形相似吗？

（2）与同伴合作，一人画△ABC，另一人画△A′B′C′,使得∠A和∠A′都等于给定的∠α，∠B和∠B′都等于给定的∠β，比较你们画的两个三角形，∠C与∠C′相等吗？

对应边的比相等吗？

这样的两个三角形相似吗？

改变∠α、∠β的大小，再试一试。

2.例题.

（1）已知△ABC与△A′B′C′中，∠B=∠B′=75°

，∠C=50°

，∠A′=55°

，这两个三角形相似吗？

（2）已知一个三角形的两个角分别是70°

和65°

，你能画一个和这个三角形相似的三角形吗？

（1）在△ABC中，

∵∠B=75°

∴∠A=55°

∴∠B=∠B′,∠A=∠A′

∴△ABC∽△A′B′C′

（2）先任作一条线段BC.

分别以BC为角的顶点，作∠MBC=70°

，∠NCB=65°

BM与CN相交于点A.

则△ABC为与原三角形相似的三角形.

1.在△ABC中，

∠A=70°

，∠B=60°

∴∠C=50°

∴∠A=∠D，∠C=∠E.

∴△ABC∽△DFE.

2.∵DC∥AB

∴∠CDB=∠DBA，∠DCA=∠CAB.

∴△CDO∽△ABO.

3.∵AB⊥AO，DB⊥AB

∴∠A=∠B=90°

∵∠ACO=∠BCD

∴△ACO∽△BCD

∴AO=100（m）

所以峡谷的宽AO为100m.

4.如图.

AD⊥B