线性代数郝志峰习题详解Word下载.docx

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34

114103043

43

7、

（1）

D1

—11

4

8

.

xx

x

「1

「2

11x

&

C2

1x

D2-

「3

「4

00

y

C4

C3

11

1y

按第一行展开

y0

21

按第

列展开

2x

L

n

M

n!

n1n1

22

xy.

（3）

d3ll

rnriM

1L

2L

2L

222n1

MM

02

9、

（1）左边=

2b

2c

2a1a24a4a2

2b1b4b4b

2c1c24c4c2

6a9

：

9对第i列分开三项

i=2,3,4）,再利用

d2

2d1d24d4d2

6d9

其中两列元素相同、成比例，则行列式为

0,其结果为0，等于右边.

1111

（2）左边

第一行、第二行对调

abed

2.22.2

abcd

3.33.3

右边•

（3）用递推法去证•

从第二行起r1xr1,2丄,n1得:

10、

（1）用数学归纳法去证.

当n2时，D2

abab

1ab

abaabb

a3

ab

ab

0ab

当nk1时，Dk1

当nk时，Dk

abDk2

Dk2

bk

abDk1

k1

ab—a

bk1

b

bk1

由数学归纳法可知，对任何正整数n，有Dnab_ab

（2）用数学归纳法去证

X1X2

当nk1时，Dk1xXj

k时,

rixri1

DkJ=20

X3x

XkX

X3x3X1

XkXkx

k2

X3X3X1

XkXkX1

x2x1

x2x2x

x2x2x1

由数学归纳法可知，对任何正整数n,有等式成立.

6

11、D5

1212

60

50

16

19

301

1805

5701235.

12、

（1）

1行至第

行、第1列至第n列展开得证.

解一，按第

行、

第n+1行展开,

a

O

N

2n22n2

2n

解二,

按最简一行、最后一行展开得

a2

b2

b2n

a*

b,X3

c.

14、设fX

2ax

bx

则a

4a

2b

⑵,

⑶

⑵得2b

10,b

这时，

ac4

4ac7

（4）

⑸，

15、D

按第三行展开1-1-4-

⑸⑷得3a3,a1，故c3，即f

-4=1-

xx25x3.

2-5

1-

当1=0，2=1,

3=5时，Ax0有非零解.

习题二

1、

（1）

A+B

-3

3-2

+

2-1

1-5

1-2-2

BA=；

-420

2Y3A3B，Y=1AB

12

1-15

261212

152

2、A3B2C=0,

即:

亠、丄x

u

v3

x3u

03v

3ui

左边=

3x

024

2x

y9

2y

24

x12,y

9,u

6,v

30

12

347

32

50

96

150

3、

（1）

AB

258

29

47；

3AB

87

141

23

169

47

63v4

9y

0'

这时,

4、AB

10

512

ABC

206

424

20

6、从变量冷冷X3到变量召、zZ3的线性变换为1

611

231

144

7、各工厂的总收入和总利润为

8、设Z

a11

a21

a12

a22

1020

160

55

1510

51

208

56.

4.5

1.5

126

119

41

2a11a12

，即

a112a21

2a22

1a21a22

，PF

2a11a21

2a12

由AZB得

a112a214

2a11a218

0,a114，利用

a122a22

2a12a22

a121,a223，这时Z

03

9、设B

由AB

BA得

，即a21

0a11

0a21

故a210,a11a22，这时B

，其中a,b为常数.

10、

（1）ABAB

A2BAABB2,故ABBA;

2）

222

ABA2ABBAB2

A22ABB2，故ABBA.

a13

x1

a11x1

a12x2

a13x3

5、ABC

x1x2x

3a12

a23

x2

a12x1

a22x2

a23x3

a33

x3

a13x1

a23x2

a33x3

T

ATATA，根据反对称矩阵的性质：

12、

（1）根据对称矩阵的性质：

7

9

11、2A

B

11

28

64

40

99

66

AT

AATATATAAT；

T1

2）根据可逆对称矩阵的性质：

A1TAT1A

13、

（1）根据对称矩阵、反对称矩阵的性质：

TTTTTTT

ABBAABBABTATATBTBA

ABABBA；

2）先证必要性，若AB是反对称矩阵，则ABBA；

AB为反对称矩阵，

A为反对称

矩阵，B为对称矩阵，则ABTBTATBA

BAAB，即A,B可交换.

再证充分性，若AB

BA，则AB为反对称矩阵。

设A为反对称矩阵,

B为对称矩阵，

则ABTBTATBA

BAAB，即AB为反对称矩阵.

14、

MTNM

MTNT

MT

30