中考数学一轮复习 第7讲一元二次方程知识归纳+真题解析Word文档下载推荐.docx

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0一元二次方程有两个实数根，即.

（2）=0一元二次方程有相等的实数根，即.

（3）<

0一元二次方程实数根.

4．一元二次方程根与系数的关系

若关于x的一元二次方程有两根分别为，，那么，.

【知识归纳答案】

两、2、.、、bx、c、a、b.

、

①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；

②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为的形式，⑤如果是非负数，即，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n＜0，则原方程无解.

.

①将方程的右边化为0；

②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；

（1）不等、.

（2）两个、.

（3）没有

4．一元二次方程根与系数的关系，.

真题解析

1．若1﹣是方程x2﹣2x+c=0的一个根，则c的值为（　　）

A．﹣2B．4﹣2C．3﹣D．1+

【考点】A3：

一元二次方程的解．

【分析】把x=1﹣代入已知方程，可以列出关于c的新方程，通过解新方程即可求得c的值．

【解答】解：

∵关于x的方程x2﹣2x+c=0的一个根是1﹣，

∴（1﹣）2﹣2（1﹣）+c=0，

解得，c=﹣2．

故选：

A．

　学科网

2．我们知道方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，现给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0，它的解是（　　）

A．x1=1，x2=3B．x1=1，x2=﹣3C．x1=﹣1，x2=3D．x1=﹣1，x2=﹣3

【分析】先把方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0看作关于2x+3的一元二次方程，利用题中的解得到2x+3=1或2x+3=﹣3，然后解两个一元一次方程即可．

把方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0看作关于2x+3的一元二次方程，

所以2x+3=1或2x+3=﹣3，

所以x1=﹣1，x2=﹣3．

故选D．

3．若|x2﹣4x+4|与互为相反数，则x+y的值为（　　）

A．3B．4C．6D．9

【考点】A6：

解一元二次方程﹣配方法；

16：

非负数的性质：

绝对值；

23：

算术平方根．

【分析】根据相反数的定义得到|x2﹣4x+4|+=0，再根据非负数的性质得x2﹣4x+4=0，2x﹣y﹣3=0，然后利用配方法求出x，再求出y，最后计算它们的和即可．

根据题意得|x2﹣4x+4|+=0，

所以|x2﹣4x+4|=0，=0，

即（x﹣2）2=0，2x﹣y﹣3=0，

所以x=2，y=1，

所以x+y=3．

故选A．

4．三角形的两边a、b的夹角为60°

且满足方程x2﹣3x+4=0，则第三边的长是（　　）

A．B．2C．2D．3

【考点】A8：

解一元二次方程﹣因式分解法；

T7：

解直角三角形．

【分析】先利用因式分解法解方程x2﹣3x+4=0得到a=2，b=，如图，△ABC中，a=2，b=，∠C=60°

，作AH⊥BC于H，再在Rt△ACH中，利用含30度的直角三角形三边的关系得到CH=，AH=，则BH=，然后在Rt△ABH中利用勾股定理计算AB的长即可．

x2﹣3x+4=0，

（x﹣2）（x﹣）=0，

所以x1=2，x2=，

即a=2，b=，

如图，△ABC中，a=2，b=，∠C=60°

，

作AH⊥BC于H，

在Rt△ACH中，∵∠C=60°

∴CH=AC=，AH=CH=，

∴BH=2﹣=，

在Rt△ABH中，AB==，

即三角形的第三边的长是．

5．已知a、b、c为常数，点P（a，c）在第二象限，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（　　）

A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根

C．没有实数根D．无法判断

【考点】AA：

根的判别式；

D1：

点的坐标．

【分析】先利用第二象限点的坐标特征得到ac＜0，则判断△＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．

∵点P（a，c）在第二象限，

∴a＜0，c＞0，

∴ac＜0，

∴△=b2﹣4ac＞0，

∴方程有两个不相等的实数根．

故选B．

6．下列方程中，没有实数根的是（　　）

A．x2﹣2x=0B．x2﹣2x﹣1=0C．x2﹣2x+1=0D．x2﹣2x+2=0

根的判别式．

【分析】分别计算各方程的判别式的值，然后根据判别式的意义判定方程根的情况即可．

A、△=（﹣2）2﹣4×

1×

0=4＞0，方程有两个不相等的实数根，所以A选项错误；

B、△=（﹣2）2﹣4×

（﹣1）=8＞0，方程有两个不相等的实数根，所以B选项错误；

C、△=（﹣2）2﹣4×

1=0，方程有两个相等的实数根，所以C选项错误；

D、△=（﹣2）2﹣4×

2=﹣4＜0，方程没有实数根，所以D选项正确．

二．填空题（共5小题）

7．已知x=1是关于x的方程ax2﹣2x+3=0的一个根，则a=　﹣1　．

【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得到关于a的一次方程，然后解一次方程即可．

把x=1代入方程，得a﹣2+3=0，

解得a=﹣1．

故答案为﹣1．

8．关于x的方程x2+2x+c=0有两个不相等的实数根，则c的取值范围为　c＜1　．

【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于c的一元一次不等式，解之即可得出结论．

∵关于x的方程x2+2x+c=0有两个不相等的实数根，

∴△=22﹣4c=4﹣4c＞0，

解得：

c＜1．

故答案为：

9．在△ABC中BC=2，AB=2，AC=b，且关于x的方程x2﹣4x+b=0有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为　2　．

KP：

直角三角形斜边上的中线；

KS：

勾股定理的逆定理．

【分析】由根的判别式求出AC=b=4，由勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论．

∵关于x的方程x2﹣4x+b=0有两个相等的实数根，

∴△=16﹣4b=0，

∴AC=b=4，

∵BC=2，AB=2，

∴BC2+AB2=AC2，

∴△ABC是直角三角形，AC是斜边，

∴AC边上的中线长=AC=2；

2．

10．经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是　50（1﹣x）2=32　．

【考点】AC：

由实际问题抽象出一元二次方程．

【分析】根据某药品经过连续两次降价，销售单价由原来50元降到32元，平均每次降价的百分率为x，可以列出相应的方程即可．

由题意可得，

50（1﹣x）2=32，

50（1﹣x）2=32．

11．原价100元的某商品，连续两次降价后售价为81元，若每次降低的百分率相同，则降低的百分率为　10%　．

【考点】AD：

一元二次方程的应用．

【分析】先设平均每次降价的百分率为x，得出第一次降价后的售价是原来的（1﹣x），第二次降价后的售价是原来的（1﹣x）2，再根据题意列出方程解答即可．

设这两次的百分率是x，根据题意列方程得

100×

（1﹣x）2=81，

解得x1=0.1=10%，x2=1.9（不符合题意，舍去）．

答：

这两次的百分率是10%．

10%．

三．解答题（共8小题）

12．根据要求，解答下列问题：

①方程x2﹣2x+1=0的解为　x1=x2=1　；

②方程x2﹣3x+2=0的解为　x1=1，x2=2　；

③方程x2﹣4x+3=0的解为　x1=1，x2=3　；

…

（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：

①方程x2﹣9x+8=0的解为　1、8　；

②关于x的方程　x2﹣（1+n）x+n=0　的解为x1=1，x2=n．

（3）请用配方法解方程x2﹣9x+8=0，以验证猜想结论的正确性．

A3：

一元二次方程的解；

A8：

解一元二次方程﹣因式分解法．

【分析】

（1）利用因式分解法解各方程即可；

（2）根据以上方程特征及其解的特征，可判定方程x2﹣9x+8=0的解为1和8；

②关于x的方程的解为x1=1，x2=n，则此一元二次方程的二次项系数为1，则一次项系数为1和n的和的相反数，常数项为1和n的积．

（3）利用配方法解方程x2﹣9x+8=0可判断猜想结论的正确．

（1）①（x﹣1）2=0，解得x1=x2=1，即方程x2﹣2x+1=0的解为x1=x2=1，；

②（x﹣1）（x﹣2）=0，解得x1=1，x2=2，所以方程x2﹣3x+2=0的解为x1=1，x2=2，；

③（x﹣1）（x﹣3）=0，解得x1=1，x2=3，方程x2﹣4x+3=0的解为x1=1，x2=3；

①方程x2﹣9x+8=0的解为x1=1，x2=8；

②关于x的方程x2﹣（1+n）x+n=0的解为x1=1，x2=n．

（3）x2﹣9x=﹣8，

x2﹣9x+=﹣8+，

（x﹣）2=

x﹣=±

所以x1=1，x2=8；

所以猜想正确．

故答案为x1=x2=1；

x1=1，x2=2；

x1=1，x2=3；

x2﹣（1+n）x+n=0；

13．由多项式乘法：

（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：

x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）

示例：

分解因式：

x2+5x+6=x2+（2+3）x+2×

3=（x+2）（x+3）

（1）尝试：

x2+6x+8=（x+　2　）（x+　4　）；

（2）应用：

请用上述方法解方程：

x2﹣3x﹣4=0．

57：

因式分解﹣十字相乘法等．

（1）类比题干因式分解方法求解可得；

（2）利用十字相乘法将左边因式分解后求解可得．

（1）x2+6x+8=x2+（2+4）x=2×

4=（x+2）（x+4），

2，4；

（2）∵x2﹣3x﹣4=0，

∴（x+1）（x﹣4）=0，

则x+1=0或x﹣4=0，

x=﹣1或x=4．

14．已知关于x