第一章 第2节Word格式.docx
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[常用结论与微点提醒]
1.否命题与命题的否定:
否命题是既否定条件,又否定结论,而命题的否定是只否定命题的结论.
2.区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且BA),与A的充分不必要条件是B(B⇒A且AB)两者的不同.
3.A是B的充分不必要条件⇔綈B是綈A的充分不必要条件.
4.充要关系与集合的子集之间的关系,设A={x|p(x)},B={x|q(x)},
(1)若A⊆B,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.
(2)若AB,则p是q的充分不必要条件,q是p的必要不充分条件.
(3)若A=B,则p是q的充要条件.
诊断自测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×
”)
(1)“x2+2x-3<
0”是命题.( )
(2)命题“若p,则q”的否命题是“若p,则綈q”.( )
(3)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.( )
(4)“若p不成立,则q不成立”等价于“若q成立,则p成立”.( )
解析
(1)错误.该语句不能判断真假,故该说法是错误的.
(2)错误.否命题既否定条件,又否定结论.
答案
(1)×
(2)×
(3)√ (4)√
2.(选修2-1P6练习引申)命题“若α=,则tanα=1”的逆否命题是( )
A.若α≠,则tanα≠1B.若α=,则tanα≠1
C.若tanα≠1,则α≠D.若tanα≠1,则α=
解析 命题“若p,则q”的逆否命题是“若綈q,则綈p”,显然綈q:
tanα≠1,綈p:
α≠,所以该命题的逆否命题是“若tanα≠1,则α≠”.
答案 C
3.(2017·
天津卷)设x∈R,则“2-x≥0”是“|x-1|≤1”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析 由2-x≥0,得x≤2,由|x-1|≤1,得0≤x≤2.
当x≤2时不一定有x≥0,而当0≤x≤2时一定有x≤2,
∴“2-x≥0”是“|x-1|≤1”的必要而不充分条件.
答案 B
4.(2017·
北京卷)能够说明“设a,b,c是任意实数.若a>
b>
c,则a+b>
c”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为________.
解析 a>
c,取a=-2,b=-4,c=-5,
则a+b=-6<
c.
答案 -2,-4,-5(答案不唯一)
5.(2018·
安徽江南十校联考)“a=0”是“函数f(x)=sinx-+a为奇函数”的________条件.
解析 显然a=0时,f(x)=sinx-为奇函数;
当f(x)为奇函数时,f(-x)+f(x)=0.
又f(-x)+f(x)=sin(-x)-+a+sinx-+a=0.
因此2a=0,故a=0.
所以“a=0”是“函数f(x)为奇函数”的充要条件.
答案 充要
考点一 命题及其相互关系
【例1】以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号).
①“若log2a>
0,则函数f(x)=logax(a>
0,a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题;
②命题“若a=0,则ab=0”的否命题是“若a≠0,则ab≠0”;
③命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆命题为真命题;
④命题“若a∈M,则b∉M”与命题“若b∈M,则a∉M”等价.
解析 ①不正确.由log2a>
0,得a>
1,∴f(x)=logax在其定义域内是增函数.
②正确.由命题的否命题定义知,该说法正确.
③不正确,原命题的逆命题为:
“若x+y是偶数,则x,y都是偶数”,是假命题,如1+3=4为偶数,但1和3均为奇数.④正确.两者互为逆否命题,因此两命题等价.
答案 ②④
规律方法 1.写一个命题的其他三种命题时,需注意:
(1)对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写;
(2)若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提.
2.
(1)判断一个命题为真命题,要给出推理证明;
判断一个命题是假命题,只需举出反例.
(2)根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易时,可间接判断.
【训练1】
(1)原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( )
A.真、假、真B.假、假、真
C.真、真、假D.假、假、假
(2)(2018·
广东广雅中学联考)给出下列命题:
①“∃x0∈R,x-x0+1≤0”的否定;
②“若x2+x-6≥0,则x>
2”的否命题;
③命题“若x2-5x+6=0,则x=2”的逆否命题.
其中真命题的个数是( )
A.0B.1C.2D.3
解析
(1)由共轭复数的性质,|z1|=|z2|,∴原命题为真,因此其逆否命题为真;
取z1=1,z2=i,满足|z1|=|z2|,但是z1,z2不互为共轭复数,∴其逆命题为假,故其否命题也为假.
(2)①的否定是“∀x∈R,x2-x+1>
0”是真命题,①正确;
②的否命题是“若x2+x-6<
0,则x≤2”,由x2+x-6<
0,得-3<
x<
2,∴x≤2成立,②正确;
③由x2-5x+6=0,得x=2或x=3,原命题是假命题,因此可知逆否命题为假命题,③错误.综上可知,真命题是①,②.
答案
(1)B
(2)C
考点二 充分条件与必要条件的判定
【例2】
(1)(2017·
北京卷)设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·
n<
0”的( )
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
(2)设x>
0,y∈R,则“x>
y”是“x>
|y|”的( )
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
解析
(1)存在负数λ,使得m=λn,则m·
n=λn·
n=λ|n|2<
0,因而是充分条件,反之m·
0,不能推出m,n方向相反,则不是必要条件.
(2)x>
yx>
|y|(如x=1,y=-2).
但x>
|y|时,能有x>
|y|≥y.
∴“x>
|y|”的必要不充分条件.
答案
(1)A
(2)C
规律方法 充要条件的三种判断方法
(1)定义法:
根据p⇒q,q⇒p进行判断.
(2)集合法:
根据使p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.
(3)等价转化法:
根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题.
【训练2】
(1)(2018·
江西九江十校联考)已知函数f(x)=则“x=0”是“f(x)=1”的( )
(2)(2017·
浙江卷)已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,则“d>0”是“S4+S6>2S5”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
解析
(1)若x=0,则f(0)=e0=1;
若f(x)=1,则ex=1或ln(-x)=1,解得x=0或x=-e.故“x=0”是“f(x)=1”的充分不必要条件.
(2)由S4+S6-2S5=S6-S5-(S5-S4)=a6-a5=d,
当d>0时,则S4+S6-2S5>0,即S4+S6>2S5;
反之,S4+S6>2S5,可得d>0.所以“d>0”是“S4+S6>2S5”的充要条件.
考点三 充分条件、必要条件的应用(典例迁移)
【例3】(经典母题)已知P={x|x2-8x-20≤0},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.若x∈P是x∈S的必要条件,求m的取值范围.
解 由x2-8x-20≤0,得-2≤x≤10,
∴P={x|-2≤x≤10}.
∵x∈P是x∈S的必要条件,则S⊆P.
∴解得m≤3.
又∵S为非空集合,∴1-m≤1+m,解得m≥0.
综上,可知当0≤m≤3时,x∈P是x∈S的必要条件.
【迁移探究1】本例条件不变,问是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件?
并说明理由.
解 由例题知P={x|-2≤x≤10}.
若x∈P是x∈S的充要条件,则P=S,
∴∴
这样的m不存在.
【迁移探究2】本例条件不变,若綈P是綈S的必要不充分条件,求实数m的取值范围.
∵綈P是綈S的必要不充分条件,
∴P是S的充分不必要条件,
∴P⇒S且SP.
∴[-2,10][1-m,1+m].
∴或
∴m≥9,则m的取值范围是[9,+∞).
规律方法 充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意:
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.
(2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象.
【训练3】(2018·
长郡中学联考)若x>
2m2-3是-1<
4的必要不充分条件,则实数m的取值范围是( )
A.[-3,3]B.(-∞,-3]∪[3,+∞)
C.(-∞,-1]∪[1,+∞)D.[-1,1]
解析 ∵“x>
2m2-3”是“-1<
4”的必要不充分条件,∴(-1,4)(2m2-3,+∞),因此2m2-3≤-1,解之得-1≤m≤1.
答案 D
基础巩固题组
(建议用时:
25分钟)
一、选择题
1.(2018·
河南八市联考)命题“若a>
b,则a+c>
b+c”的否命题是( )
A.若a≤b,则a+c≤b+cB.若a+c≤b+c,则a≤b
C.若a+c>
b+c,则a>
bD.若a>
b,则a+c≤b+c
解析 将条件、结论都否定.命题的否命题是“若a≤b,则a+c≤b+c”.
答案 A
2.函数f(x)在x=x0处导数存在.若p:
f′(x0)=0;
q:
x=x0是f(x)的极值点,则( )
A.p是q的充分必要条件
B.p是q的充分条件,但不是q的必要条件
C.p是q的必要条件,但不是q的充分条件
D.p既不是q的充分要件,也不是q的必要条件
解析 由极值的定义,q⇒p,但pq.例如f(x)=x3,在x=0处f′(0)=0,f(x)=x3是增函数,x=0不是函数f(x)=x3的极值点.
因此p是q的必要不充分条件.
3.(2016·
山东卷)已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )
解析 由题意知a⊂α,b⊂β