学年高中数学第一章三角函数8函数yAsinωx+φ的图像与性质二学案北师大版必修4.docx
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学年高中数学第一章三角函数8函数yAsinωx+φ的图像与性质二学案北师大版必修4
§8 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像与性质
（二）
学习目标 1.会用“五点法”画函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像.2.能根据y＝Asin（ωx＋φ）的部分图像，确定其解析式.3.了解y＝Asin（ωx＋φ）的图像的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相.
知识点一 “五点法”作函数y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）的图像
思考1 用“五点法”作y＝sinx，x∈[0，2π]时，五个关键点的横坐标依次取哪几个值？
答案 依次为0，，π，，2π.
思考2 用“五点法”作y＝Asin（ωx＋φ）时，五个关键的横坐标取哪几个值？
答案 用“五点法”作函数y＝Asin（ωx＋φ）（x∈R）的简图，先令t＝ωx＋φ，再由t取0，，π，，2π即可得到所取五个关键点的横坐标依次为－，－＋，－＋，－＋，－＋.
梳理 用“五点法”作y＝Asin（ωx＋φ）的图像的步骤：
第一步：
列表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
－
－
－
－
－
y
0
A
0
－A
0
第二步：
在同一坐标系中描出各点.
第三步：
用光滑曲线连接这些点，形成图像.
知识点二 函数y＝Asin（ωx＋φ），A>0，ω>0的性质
名称
性质
定义域
R
值域
[－A，A]
周期性
T＝
对称性
对称中心（k∈Z）
对称轴
x＝＋（k∈Z）
奇偶性
当φ＝kπ（k∈Z）时是奇函数；
当φ＝kπ＋（k∈Z）时是偶函数
单调性
通过整体代换可求出其单调区间
知识点三 函数y＝Asin（ωx＋φ），A＞0，ω＞0中参数的物理意义
1.函数y＝－2sin的振幅是－2.（ × ）
提示 振幅是2.
2.函数y＝sin的初相是.（ × ）
提示 初相是－.
3.函数y＝sin的图像的对称轴方程是x＝＋kπ，k∈Z.（ √ ）
提示 令x＋＝＋kπ，k∈Z，解得x＝＋kπ，k∈Z，即f（x）的图像的对称轴方程是x＝＋kπ，k∈Z.
类型一 用“五点法”画y＝Asin（ωx＋φ）的图像
例1 利用五点法作出函数y＝3sin在一个周期内的图像.
考点 用“五点法”作三角函数的简图
题点 用“五点法”作三角函数的简图
解 依次令－＝0，，π，，2π，列出下表：
－
0
π
2π
x
y
0
3
0
－3
0
描点，连线，如图所示.
反思与感悟
（1）用“五点法”作图时，五点的确定，应先令ωx＋φ分别为0，，π，，2π，解出x，从而确定这五点.
（2）作给定区间上y＝Asin（ωx＋φ）的图像时，若x∈[m，n]，则应先求出ωx＋φ的相应范围，在求出的范围内确定关键点，再确定x，y的值，描点、连线并作出函数的图像.
跟踪训练1 已知f（x）＝1＋sin，画出f（x）在x∈上的图像.
考点 用“五点法”作三角函数的简图
题点 用“五点法”作三角函数的简图
解
（1）∵x∈，
∴2x－∈.
列表如下：
x
－
－π
－
π
2x－
－π
－π
－
0
π
f（x）
2
1
1－
1
1＋
2
（2）描点，连线，如图所示.
类型二 由图像求函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式
例2 如图是函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像，求A，ω，φ的值，并确定其函数解析式.
考点 由图像求函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式
题点 由图像求函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式
解 方法一 （逐一定参法）
由图像知振幅A＝3，
又T＝－＝π，
∴ω＝＝2.
由点可知，－×2＋φ＝0，
得φ＝，∴y＝3sin.
方法二 （待定系数法）
由图像知A＝3，又图像过点和，根据五点作图法原理（以上两点可判为“五点法”中的第三点和第五点），有解得
∴y＝3sin.
方法三 （图像变换法）
由T＝π，点，A＝3可知，
图像是由y＝3sin2x向左平移个单位长度而得到的，
∴y＝3sin，即y＝3sin.
反思与感悟 若设所求解析式为y＝Asin（ωx＋φ），则在观察函数图像的基础上，可按以下规律来确定A，ω，φ.
（1）由函数图像上的最大值、最小值来确定|A|.
（2）由函数图像与x轴的交点确定T，由T＝，确定ω.
（3）确定函数y＝Asin（ωx＋φ）的初相φ的值的两种方法
①代入法：
把图像上的一个最高点或最低点代入（此时A，ω已知）或代入图像与x轴的交点求解.（此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上）
②五点对应法：
确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口.“五点”的ωx＋φ的值具体如下：
“第一点”（即图像上升时与x轴的交点）为ωx＋φ＝0；
“第二点”（即图像的“峰点”）为ωx＋φ＝；
“第三点”（即图像下降时与x轴的交点）为ωx＋φ＝π；
“第四点”（即图像的“谷点”）为ωx＋φ＝；
“第五点”为ωx＋φ＝2π.
跟踪训练2 （2017·贵州贵阳一中期末考试）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω>0）的部分图像如图所示，则ω＝.
考点 求三角函数的解析式
题点 根据三角函数的图像求解析式
答案
解析 由图，知＝－＝，
∴T＝，又T＝＝，∴ω＝.
类型三 函数y＝Asin（ωx＋φ）性质的应用
例3 已知曲线y＝Asin（ωx＋φ）上最高点为（2，），该最高点与相邻的最低点间的曲线与x轴交于点（6，0）.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在x∈[－6，0]上的值域.
考点 三角函数图像的综合应用
题点 三角函数图像的综合应用
解
（1）由题意可知A＝，＝6－2＝4，
∴T＝16，即＝16，∴ω＝，
∴y＝sin.
又图像过最高点（2，），∴sin＝1，
故＋φ＝＋2kπ，k∈Z，φ＝＋2kπ，k∈Z，
由|φ|≤，得φ＝，∴y＝sin.
（2）∵－6≤x≤0，∴－≤x＋≤，
∴－≤sin≤1.
即函数在x∈[－6，0]上的值域为[－，1].
跟踪训练3 设函数f（x）＝sin（2x＋φ）（－π＜φ＜0），函数y＝f（x）的图像的一条对称轴是直线x＝.
（1）求φ的值；
（2）求函数y＝f（x）的单调区间及最值.
考点 函数y＝Asin（ωx＋φ）的性质
题点 函数y＝Asin（ωx＋φ）性质的应用
解
（1）由2x＋φ＝kπ＋，k∈Z，
得x＝＋－，令＋－＝，
得φ＝kπ＋，k∈Z.
∵－π＜φ＜0，∴φ＝－.
（2）由
（1）知，f（x）＝sin.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋（k∈Z），得kπ＋≤x≤kπ＋（k∈Z），
故函数的递增区间是（k∈Z）.
同理可得函数的递减区间是（k∈Z）
当2x－＝2kπ＋（k∈Z），即x＝kπ＋（k∈Z）时，函数取得最大值1；
当2x－＝2kπ－（k∈Z），即x＝kπ＋（k∈Z）时，函数取得最小值－1.
1.函数y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，0<φ<π）的图像的一段如图所示，它的解析式可以是（ ）
A.y＝sinB.y＝sin
C.y＝sinD.y＝sin
考点 由图像求函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式
题点 由图像求函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式
答案 A
解析 由图像可得A＝，＝－－＝，
所以T＝π，所以ω＝＝＝2，
所以y＝sin（2x＋φ）.
将点的坐标代入y＝sin（2x＋φ），
得＝sin，
则sin＝1，
所以－＋φ＝＋2kπ（k∈Z），
即φ＝＋2kπ（k∈Z）.
又0<φ<π，令k＝0，则φ＝.
所以解析式可以是y＝sin.
2.函数y＝Asin（ωx＋φ）＋k的图像如图，则它的振幅A与最小正周期T分别是（ ）
A.A＝3，T＝B.A＝3，T＝
C.A＝，T＝D.A＝，T＝
考点 三角函数图像的综合应用
题点 三角函数图像的综合应用
答案 D
解析 由题图可知A＝×（3－0）＝，
设周期为T，则T＝－＝，得T＝.
3.下列表示函数y＝sin在区间上的简图正确的是（ ）
考点 用“五点法”作三角函数的简图
题点 用“五点法”作三角函数的简图
答案 A
解析 将y＝sinx的图像上所有点的横坐标缩短为原来的，再将所有点向右平移个单位长度即可得到y＝sin的图像，依据此变换过程可得到A中图像是正确的.也可以分别令2x－＝0，，π，，2π得到五个关键点，描点连线即得函数y＝sin的图像.
4.已知函数f（x）＝sin（ω>0）的最小正周期为π，则该函数的图像（ ）
A.关于点对称B.关于直线x＝对称
C.关于点对称D.关于直线x＝对称
考点 函数y＝Asin（ωx＋φ）的性质
题点 函数y＝Asin（ωx＋φ）性质的应用
答案 A
解析 ω＝＝2，所以f（x）＝sin.
将x＝代入f（x）＝sin，
得f ＝0，故选A.
5.已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）的部分图像如图所示.
（1）求f（x）的解析式；
（2）写出f（x）的递增区间.
考点 三角函数y＝Asin（ωx＋φ）的综合问题
题点 三角函数y＝Asin（ωx＋φ）的综合问题
解
（1）易知A＝，T＝4×[2－（－2）]＝16，
∴ω＝＝，∴f（x）＝sin，
将点（－2，0）代入得sin＝0，
令－＋φ＝0，∴φ＝，
∴f（x）＝sin.
（2）由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得16k－6≤x≤16k＋2，k∈Z，
∴f（x）的递增区间为[16k－6，16k＋2]，k∈Z.
1.利用“五点”法作函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像时，要先令“ωx＋φ”这一个整体依次取0，，π，π，2π，再求出x的值，这样才能得到确定图像的五个关键点，而不是先确定x的值，后求“ωx＋φ”的值.
2.由函数y＝Asin（ωx＋φ）的部分图像确定解析式关键在于确定参数A，ω，φ的值.
（1）一般可由图像上的最大值、最小值来确定|A|.
（2）因为T＝，所以往往通过求得周期T来确定ω，可通过已知曲线与x轴的交点从而确定T，即相邻的最高点与最低点之间的距离为；相邻的两个最高点（或最低点）之间的距离为T.
（3）从寻找“五点法”中的第一个零点（也叫初始点）作为突破口，以y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）为例，位于递增区间上离y轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点.
3.在研究y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）的性质时，注意采用整体代换的思想，如函数在ωx＋φ＝＋2kπ（k∈Z）时取得最大值，在ωx＋φ＝＋2kπ（k∈Z）时取得最小值.
一、选择题
1.若函数f（x）＝3sin（ωx＋φ）对任意x都有f ＝f ，则有f 等于（ ）
A.3或0B.－3或0
C.0D.－3或3
考点 函数y＝Asin（ωx＋φ）的性质
题点 函数y＝Asin（ωx＋φ）性质的应用
答案 D
解析 由f ＝f 知，x＝是函数的对称轴，解得f ＝3或－3，故选D.
2.如图所示，函数的解析式为（ ）
A.y＝sinB.y＝sin
C.y＝cosD.y＝cos
考点 由图像求函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式
题点 由图像求函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式
答案 D
解析 由图知T＝4×＝π，∴ω＝＝2.
又当x＝时，y＝1，经验证，可得D项解析式符合题目要求.
3.函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）的部分图像如图所示，为了得到g（x）＝sin
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