中考数学专题训练二次函数的综合题分类附答案Word下载.docx

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解：

（1）∵A、B两点关于对称轴对称，且A点的坐标为（－3，0），

∴点B的坐标为（1，0）.

（2）①∵抛物线，对称轴为，经过点A（－3，0），

∴，解得.

∴抛物线的解析式为.

∴B点的坐标为（0，－3）.∴OB=1，OC=3.∴.

设点P的坐标为（p,p2+2p-3），则.

∵，∴，解得.

当时；

当时，，

∴点P的坐标为（4，21）或（－4，5）.

②设直线AC的解析式为，将点A，C的坐标代入，得：

，解得：

.

∴直线AC的解析式为.

∵点Q在线段AC上，∴设点Q的坐标为（q,-q-3）.

又∵QD⊥x轴交抛物线于点D，∴点D的坐标为（q,q2+2q-3）.

∴.

∵，

∴线段QD长度的最大值为.

2．某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．

设每个房间每天的定价增加x元．求：

（1）房间每天的入住量y（间）关于x（元）的函数关系式；

（2）该宾馆每天的房间收费p（元）关于x（元）的函数关系式；

（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式；

当每个房间的定价为每天多少元时，w有最大值？

最大值是多少？

（1）y=60-；

（2）z=-x2+40x+12000；

（3）w=-x2+42x+10800，当每个房间的定价为每天410元时，w有最大值，且最大值是15210元．

试题分析：

（1）根据题意可得房间每天的入住量=60个房间﹣每个房间每天的定价增加的钱数÷

10；

（2）已知每天定价增加为x元，则每天要（200+x）元．则宾馆每天的房间收费=每天的实际定价×

房间每天的入住量；

（3）支出费用为20×

（60﹣），则利润w=（200+x）（60﹣）﹣20×

（60﹣），利用配方法化简可求最大值．

试题解析：

（1）由题意得：

y=60﹣

（2）p=（200+x）（60﹣）=﹣+40x+12000

（3）w=（200+x）（60﹣）﹣20×

（60﹣）

=﹣+42x+10800

=﹣（x﹣210）2+15210

当x=210时，w有最大值．

此时，x+200=410，就是说，当每个房间的定价为每天410元时，w有最大值，且最大值是15210元．

点睛：

求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．本题主要考查的是二次函数的应用，难度一般．

3．如图，过、作x轴的垂线，分别交直线于C、D两点抛物线经过O、C、D三点．

求抛物线的表达式；

点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？

若存在，求此时点M的横坐标；

若不存在，请说明理由；

若沿CD方向平移点C在线段CD上，且不与点D重合，在平移的过程中与重叠部分的面积记为S，试求S的最大值．

（1）；

（2）或或；

（3）．

（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；

（2）由题意，可知MN∥AC，因为以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，则有MN=AC=3．设点M的横坐标为x，则求出MN=|x2﹣4x|；

解方程|x2﹣4x|=3，求出x的值，即点M横坐标的值；

（3）设水平方向的平移距离为t（0≤t＜2），利用平移性质求出S的表达式：

S（t﹣1）2；

当t=1时，s有最大值为．

（1）由题意，可得C（1，3），D（3，1）．

∵抛物线过原点，∴设抛物线的解析式为：

y=ax2+bx，∴，解得，∴抛物线的表达式为：

yx2x．

（2）存在．

设直线OD解析式为y=kx，将D（3，1）代入，求得k，∴直线OD解析式为yx．

设点M的横坐标为x，则M（x，x），N（x，x2x），∴MN=|yM﹣yN|=|x﹣（x2x）|=|x2﹣4x|．

由题意，可知MN∥AC，因为以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，则有MN=AC=3，∴|x2﹣4x|=3．

若x2﹣4x=3，整理得：

4x2﹣12x﹣9=0，解得：

x或x；

若x2﹣4x=﹣3，整理得：

4x2﹣12x+9=0，解得：

x，∴存在满足条件的点M，点M的横坐标为：

或或．

（3）∵C（1，3），D（3，1），∴易得直线OC的解析式为y=3x，直线OD的解析式为yx．

如解答图所示，设平移中的三角形为△A'

O'

C'

，点C'

在线段CD上．

设O'

与x轴交于点E，与直线OD交于点P；

设A'

与x轴交于点F，与直线OD交于点Q．

设水平方向的平移距离为t（0≤t＜2），则图中AF=t，F（1+t，0），Q（1+t，t），C'

（1+t，3﹣t）．

设直线O'

的解析式为y=3x+b，将C'

（1+t，3﹣t）代入得：

b=﹣4t，∴直线O'

的解析式为y=3x﹣4t，∴E（t，0）．

联立y=3x﹣4t与yx，解得：

xt，∴P（t，t）．

过点P作PG⊥x轴于点G，则PGt，∴S=S△OFQ﹣S△OEPOF•FQOE•PG

（1+t）（t）•t•t

（t﹣1）2

当t=1时，S有最大值为，∴S的最大值为．

【点睛】

本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、函数图象上点的坐标特征、平行四边形、平移变换、图形面积计算等知识点，有一定的难度．第

（2）问中，解题的关键是根据平行四边形定义，得到MN=AC=3，由此列出方程求解；

第（3）问中，解题的关键是求出S的表达式，注意图形面积的计算方法．

4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；

（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；

（3）试探究：

在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？

若存在，请求出符合条件的点P的坐标；

若不存在，请说明理由．

（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；

直线AC的解析式为y=3x+3；

（2）点M的坐标为（0，3）；

（3）符合条件的点P的坐标为（，）或（，﹣），

分析：

（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；

再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；

（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；

（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=-x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=-x+3，再解方程组得此时P点坐标；

当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．

详解：

（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），

即y=ax2﹣2ax﹣3a，

∴﹣2a=2，解得a=﹣1，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；

当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），

设直线AC的解析式为y=px+q，

把A（﹣1，0），C（0，3）代入得，解得，

∴直线AC的解析式为y=3x+3；

（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴顶点D的坐标为（1，4），

作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），

∵MB=MB′，

∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，

而BD的值不变，

∴此时△BDM的周长最小，

易得直线DB′的解析式为y=x+3，

当x=0时，y=x+3=3，

∴点M的坐标为（0，3）；

（3）存在．

过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，

∵直线AC的解析式为y=3x+3，

∴直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，

把C（0，3）代入得b=3，

∴直线PC的解析式为y=﹣x+3，

解方程组，解得或，则此时P点坐标为（，）；

过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，

把A（﹣1，0）代入得+b=0，解得b=﹣，

∴直线PC的解析式为y=﹣x﹣，

解方程组，解得或，则此时P点坐标为（，﹣）.

综上所述，符合条件的点P的坐标为（，）或（，﹣）.

本题考查了二次函数的综合题：

熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；

会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；

理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；

会运用分类讨论的思想解决数学问题．

5．如图，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，D为抛物线对称轴上一动点，求D运动到什么位置时△DAC的周长最小；

（3）如图2，点E在第一象限抛物线上，AE与BC交于点F，若AF：

FE＝2：

1，求E点坐标；

（4）点M、N同时从B点出发，分别沿BA、BC方向运动，它们的运动速度都是1个单位/秒，当点M运动到点A时，点N停止运动，则当点N停止运动后，在x轴上是否存在点P，使得△PBN是等腰三角形？

若存在，直接写出点P的坐标；

（1）

（2）（3）点P的坐标P1（﹣1，0）或P2（7，0）或P3（﹣，0）或P4（，0）．

（1）直接待定系数法代入求解即可

（2）找到D点在对称轴时是△DAC周长最小的点，先求出直线BC，然后D点横坐标是1，直接代入直线BC求出纵坐标即可（3）作EH∥AB交BC于H，则∠FAB＝∠FEH，∠FBA＝∠FHE，易证△ABF∽△EHF，得,得EH=2，设E（x，），则H（x﹣2，），yE＝yH，解出方程x＝1或x＝2，得到E点坐标（4）△PBN是等腰三角形，分成三种情况，①BP＝BC时，利用等腰三角性质直接得到P1（﹣1，0）或P2（7，0），②当NB＝NP时，作NH⊥x轴，易得△NHB∽△COB，利用比例式得到NH、BH从而得到PH＝BH，BP，进而得到OP，即得到P点坐标，③当PN＝PB时，取NB中点K，作KP⊥BN，交x轴于点P，易得△NOB∽△PKB，利用比例式求出PB，进而得到OP，即求出P点