高中数学必修2第二章知识点+习题+答案高中课件精选Word格式.docx

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有且只有一个平面α，

使A∈α、B∈α、C∈α。

公理2作用：

确定一个平面的依据。

（3）公理3：

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

P∈α∩β=>

α∩β=L，且P∈L

公理3作用：

判定两个平面是否相交的依据

2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系

1空间的两条直线有如下三种关系：

共面直线

相交直线：

同一平面内，有且只有一个公共点；

平行直线：

同一平面内，没有公共点；

异面直线：

不同在任何一个平面内，没有公共点。

2公理4：

平行于同一条直线的两条直线互相平行。

设a、b、c是三条直线

a∥b

c∥b

强调：

公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。

公理4作用：

判断空间两条直线平行的依据。

3等角定理：

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补

4注意点：

①a'

与b'

所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为了简便，点O一般取在两直线中的一条上；

②两条异面直线所成的角θ∈（0，）；

③当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；

④两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；

⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

2.1.3—2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系

1、直线与平面有三种位置关系：

（1）直线在平面内——有无数个公共点

（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点

（3）直线在平面平行——没有公共点

指出：

直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用aα来表示

aαa∩α=Aa∥α

2.2.直线、平面平行的判定及其性质

2.2.1直线与平面平行的判定

1、直线与平面平行的判定定理：

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

简记为：

线线平行，则线面平行。

符号表示：

aα

bβ=>

a∥α

2.2.2平面与平面平行的判定

1、两个平面平行的判定定理：

一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

aβ

bβ

a∩b=Pβ∥α

a∥α

b∥α

2、判断两平面平行的方法有三种：

（1）用定义；

（2）判定定理；

（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。

2.2.3—2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质

1、定理：

一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

线面平行则线线平行。

aβa∥b

α∩β=b

作用：

利用该定理可解决直线间的平行问题。

2、定理：

如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

α∥β

α∩γ=aa∥b

β∩γ=b

可以由平面与平面平行得出直线与直线平行

2.3直线、平面垂直的判定及其性质

2.3.1直线与平面垂直的判定

1、定义

如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。

如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。

L

p

α

2、判定定理：

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

注意点：

a）定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；

b）定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。

2.3.2平面与平面垂直的判定

1、二面角的概念：

表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形

A

梭lβ

B

　　α

2、二面角的记法：

二面角α-l-β或α-AB-β

3、两个平面互相垂直的判定定理：

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

2.3.3—2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质

垂直于同一个平面的两条直线平行。

2性质定理：

两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

第二章点、直线、平面之间的位置关系

A组

一、选择题

1．设，为两个不同的平面，l，m为两条不同的直线，且l，m，有如下的两个命题：

①若∥，则l∥m；

②若l⊥m，则⊥．那么（）．

A．①是真命题，②是假命题B．①是假命题，②是真命题

C．①②都是真命题D．①②都是假命题

2．如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（）．

A．BD∥平面CB1D1

B．AC1⊥BD

C．AC1⊥平面CB1D1

D．异面直线AD与CB1角为60°

3．关于直线m，n与平面，，有下列四个命题：

①m∥，n∥且∥，则m∥n；

②m⊥，n⊥且⊥，则m⊥n；

③m⊥，n∥且∥，则m⊥n；

④m∥，n⊥且⊥，则m∥n．

其中真命题的序号是（）．

A．①②B．③④C．①④D．②③

4．给出下列四个命题：

①垂直于同一直线的两条直线互相平行

②垂直于同一平面的两个平面互相平行

③若直线l1，l2与同一平面所成的角相等，则l1，l2互相平行

④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线

其中假命题的个数是（）．

A．1B．2C．3D．4

5．下列命题中正确的个数是（）．

①若直线l上有无数个点不在平面内，则l∥

②若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行

③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行

④若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都没有公共点

A．0个B．1个C．2个D．3个

6．两直线l1与l2异面，过l1作平面与l2平行，这样的平面（）．

A．不存在B．有唯一的一个C．有无数个D．只有两个

7．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为（）．

A．90°

B．60°

C．45°

D．30°

8．下列说法中不正确的是（）．

A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形

B．同一平面的两条垂线一定共面

C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内

D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直

9．给出以下四个命题：

①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行

②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面

③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行

④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么些两个平面互相垂直

其中真命题的个数是（）．

A．4B．3C．2D．1

10．异面直线a，b所成的角60°

，直线a⊥c，则直线b与c所成的角的范围为（　）．

A．[30°

，90°

]B．[60°

]C．[30°

，60°

]D．[30°

，120°

]

二、填空题

11．已知三棱锥P－ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为S1，S2，S3，则这个三棱锥的体积为．

12．P是△ABC所在平面外一点，过P作PO⊥平面，垂足是O，连PA，PB，PC．

（1）若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的心；

（2）PA⊥PB，PA⊥PC，PC⊥PB，则O是△ABC的心；

（3）若点P到三边AB，BC，CA的距离相等，则O是△ABC的心；

（4）若PA＝PB＝PC，∠C＝90º

，则O是AB边的点；

（5）若PA＝PB＝PC，AB＝AC，则点O在△ABC的线上．

13．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点，将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为．

14．直线l与平面所成角为30°

，l∩＝A，直线m∈，则m与l所成角的取值范围

是．

15．棱长为1的正四面体内有一点P，由点P向各面引垂线，垂线段长度分别为d1，d2，d3，d4，则d1＋d2＋d3＋d4的值为．

16．直二面角－l－的棱上有一点A，在平面，内各有一条射线AB，AC与l成45°

，AB，AC，则∠BAC＝．

三、解答题

17．在四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形．

（1）求证：

BC⊥AD；

（2）若点D到平面ABC的距离等于3，求二面角A－BC－D的正弦值；

（3）设二面角A－BC－D的大小为，猜想为何值时，四面体A－BCD的体积最大．（不要求证明）

18．如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点，连结ED，EC，EB和DB．

平面EDB⊥平面EBC；

（2）求二面角E－DB－C的正切值.

（第18题）

19*．如图，在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°

，

SA⊥面ABCD，SA＝AB＝BC＝１，AD＝．

（1）求四棱锥S—ABCD的体积；

（2）求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值．

（提示：

延长BA，CD相交于点E，则直线SE是

所求二面角的棱.）

（第19题）

20*．斜三棱柱的一个侧面的面积为10，这个侧面与它所对棱的距离等于6，求这个棱柱的体积．（提示：

在AA1上取一点P，过P作棱柱的截面，使AA1垂直于这个截面.）

（第20题）

参考答案

1．D解析：

命题②有反例，如图中平面∩平面＝直线n，

l，m，

且l∥n，m⊥n，则m⊥l，显然平面不垂直平面，（第1题）

故②是假命题；

命题①显然也是假命题，

2．D解析：

异面直线AD与CB1角为45°

．

3．D解析：

在①、④的条件下，m，n的位置关系不确定．

4．D解析：

利用特殊图形正方体我们不难发现①②③④均不正确，故选择答案D．

5．B解析：

学会用长方体模型分析问题，A1A有无数点在平面ABCD外，但AA1与平面ABCD相交，①不正确；

A1B1∥平面ABCD，显然A1B1不平行于BD