实验Z变换零极点分析电子教案.docx
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实验Z变换零极点分析电子教案
实验Z变换、分析
零极点
实验二Z变换、离散系统零极点
分布和频率分析
f
实验目的
\」
1.学会运用MATLAB求离散时间信号的z变换和z反变换；
2•学会运用MATLAB分析离散时间系统的系统函数的零极点；
3.学会运用MATLAB分析系统函数的零极点分布与其时域特性的关系；
4.学会运用MATLAB进行离散时间系统的频率特性分析。
f\
实验内容
解：
利用MATLAB计算部分分式展开式程序为
%部分分式展开式的实现程序
num=[18];
den=[183-4-1];
[r,p,k]=residuez（num,den）
2.Z变换和Z反变换
【实例1】利用MATLAB计算F（z）—
18
18
12
3z*14z2
的部分分式展开式
MATLAB的符号数学工具箱提供了计算Z变换的函数ztrans（）和Z反变换的函数iztrans（），其调用形式为
Fztrans（f）fiztrans（F）
上面两式中，右端的f和F分别为时域表示式和z域表示式的符号表示，可应用函数sym来实现，其调用格式为
SsymA
式中，A为待分析的表示式的字符串，S为符号化的数字或变量。
【实例2】求
（1）指数序列anun的Z变换;
（2）Fzaz2的Z反变换。
za
解
（1）Z变换的MATLAB程序
%Z变换的程序实现
f=sym（'aAn）;
F=ztrans（f）
程序运行结果为：
z/a/（z/a-1）
可以用simplify（）化简得到：
-z/（-z+a）
（2）Z反变换的MATLAB程序
%Z反变换实现程序
F=sym（'a*z/（z-a）A2'）;
f=iztrans（F）
程序运行结果为
aM*n
（2）系统函数的零极点分析
1.系统函数的零极点分布
离散时间系统的系统函数定义为系统零状态响应的z变换与激励的z变换
之比，即
如果系统函数H（z）的有理函数表示式为:
那么，在MATLAB中系统函数的零极点就可通过函数roots得到，也可借助函
数tf2zp得到，tf2zp的语句格式为：
[Z,P,K]=tf2zp（B,A）
其中，B与A分别表示H（z）的分子与分母多项式的系数向量。
它的作用是将
H（z）的有理分式表示式转换为零极点增益形式，即:
H（z）
z0.32
z2z0.16
【实例3】已知一离散因果LTI系统的系统函数为
试用MATLAB命令求该系统的零极点。
解：
用tf2zp函数求系统的零极点，MATLAB源程序为
B=[1,0.32];
A=[1,1,0.16];
[R,P,K]=tf2zp（B,A）
R=
-0.3200
P=
-0.8000
-0.2000
K=
1
因此，零点为z0.32，极点为pi0.8与P20.2。
若要获得系统函数H（z）的零极点分布图，可直接应用zplane函数，其语句
格式为：
zplane（B,A）
其中，B与A分别表示H（z）的分子和分母多项式的系数向量。
它的作用是
【实例4】已知一离散因果LTI系统的系统函数为H⑵
z20.36
z21.52z0.68
，试
在Z平面上画出单位圆、零点与极点
用MATLAB命令绘出该系统的零极点分布图
解：
用zplane函数求系统的零极点，MATLAB源程序为
B=[1,0,-0.36];
A=[1,-1.52,0.68];
zplane（B,A）,gridonlegend（零点','极点'）
title（'零极点分布图'）
程序运行结果如图3-1所示。
可见，该因果系统的极点全部在单位圆内，故系统是稳定的
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图3-1零极点分布图
2、系统函数的零极点分布与其时域特性的关系
与拉氏变换在连续系统中的作用类似，在离散系统中，z变换建立了时域
函数h（n）与z域函数H（z）之间的对应关系。
因此，z变换的函数H（z）从形式可以反映h（n）的部分内在性质。
我们仍旧通过讨论H（z）的一阶极点情况，来说明系统函数的零极点分布与系统时域特性的关系。
【实例5】试用MATLAB命令画出现下列系统函数的零极点分布图、以及对
应的时域单位取样响应h（n）的波形，并分析系统函数的极点对时域波形的影响。
（1）H3（z）2-
z1.2z0.72
解：
MATLAB源程序为
b3=[1,0];
a3=[1,-1.2,0.72];
subplot（1,2,1）
zplane（b3,a3）
title（'极点在单位圆内的共轭复数'）
subplot（1,2,2）
impz（b3,a3,30）;gridon;
RbaIParin（sarriples）
（a）
图3-2系统函数的零极点分布与其时域特性的关系
当极点位于单位圆内时，h（n）为衰减序列；当极点位于单位圆上时，h（n）为等幅序列；当极点位于单位圆外时，h（n）为增幅序列。
若h（n）有一阶实数极点，则h（n）为指数序列；若h（n）有一阶共轭极点，贝Uh（n）为指数振荡序列；若h（n）的极点位于虚轴左边，则h（n）序列按一正一负的规律交替变化。
（3）离散时间LTI系统的频率特性分析
对于因果稳定的离散时间系统，如果激励序列为正弦序列
x（n）Asin（n）u（n），则系统的稳态响应为
yss（n）A|H（ej）|sin[n（）]u（n）。
其中，H（ej）通常是复数。
离散时间系
统的频率响应定义为
H（ej）|H（ej）|ej（}（3-4）
其中，IH（ej）|称为离散时间系统的幅频特性；（）称为离散时间系统的相频
2
特性；H（ej）是以s（s—，若零T1，s2）为周期的周期函数。
因此，只要分析H（ej）在||范围内的情况，便可分析出系统的整个频率特
性。
MATLAB提供了求离散时间系统频响特性的函数freqz，调用freqz的格式
主要有两种。
一种形式为
[H,w]=freqz（B,A,N）
其中，B与A分别表示H（z）的分子和分母多项式的系数向量；N为正整数，默认值为512；返回值w包含[0,]范围内的N个频率等分点；返回值H则是离散时间系统频率响应H（ej）在0~范围内N个频率处的值。
另一种形式为
[H,w]=freqz（B,A,N,'whole'
与第一种方式不同之处在于角频率的范围由[0,]扩展到[0,2]。
2
【实例6】用MATLAB命令绘制系统H（z）z20.96z0.9028的频率响应曲z1.56z0.8109
线。
解：
利用函数freqz计算出H（ej），然后利用函数abs和angle分别求出幅频特性与相频特性，最后利用plot命令绘出曲线。
MATLAB源程序为
b=[1-0.960.9028];
a=[1-1.560.8109];
[H,w]=freqz（b,a,400,'whole'）;
Hm=abs（H）;
Hp=angle（H）;
subplot（211）
plot（w,Hm）,gridon
xlabel（'\omega（rad/s）'）,ylabel（'Magnitude'）
title（'离散系统幅频特性曲线'）
subplot（212）
plot（w,Hp）,gridonxlabel（'\omega（rad/s）'）,ylabel（'Phase'）
title（'离散系统相频特性曲线'）
1、计算X（z）
1
（10.9z1）2（10.9z1））
|z|0.9的Z反变换
程序运行结果如图3-3所示。
图3-3离散系统频响特性曲线
提示：
b=1;a=poly（[0.90.9-0.9]）;
[r,p,k]=residuez（b,a）
汽詁|Z|O'9
02505
因此得到X（z）0.251
10.9z1（10.9z1）2
51
相应的x（n）0.25（0.9）nu（n）（n1）（0.9）u（n1）0.25（0.9）nu（n）
9
2、已知某离散系统的系统函数为
2z1
32
z0.5z0.005z0.3
试用MATLAB求出该系统的零极点，并画出零极点分布图，求系统的单位冲激响应和幅频响应，并判断系统的是否稳定
思考题
1、讨论极点与系统稳定性的关系？
根据程序运行结果判断该系统的稳定性。
2、根据实验程序的运行结果写出z反变换x（n）。
一、实验原理及实例分析
（1）离散时间信号的Z变换
1•利用MATLAB实现Z域的部分分式展开式
MATLAB的信号处理工具箱提供了一个对F（Z）进行部分分式展开的函数
residuez（）,其调用形式为：
[r,p,k]=residuez（num,den）
式中，num和den分别为F（Z）的分子多项式和分母多项式的系数向量，r为部分分式的系数向量，p为极点向量，k为多项式的系数向量。
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