全等三角形证明经典题含答案Word文件下载.docx

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连接BF和EF

∵BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF∴三角形BCF全等于三角形EDF（边角边）∴BF=EF,∠CBF=∠DEF连接BE在三角形BEF中,BF=EF∴∠EBF=∠BEF。

∵∠ABC=∠AED。

∴∠ABE=∠AEB。

∴AB=AE。

在三角形ABF和三角形AEF中

AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF∴三角形ABF和三角形AEF全等。

∴∠BAF=∠EAF（∠1=∠2）。

6.已知：

∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：

EF=AC

过C作CG∥EF交AD的延长线于点GCG∥EF，可得，∠EFD＝CGD

DE＝DC∠FDE＝∠GDC（对顶角）∴△EFD≌△CGD

EF＝CG∠CGD＝∠EFD又EF∥AB∴∠EFD＝∠1∠1=∠2

∴∠CGD＝∠2∴△AGC为等腰三角形，AC＝CG又EF＝CG∴EF＝AC

7.已知：

AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：

∠B=2∠C

A

证明：

延长AB取点E，使AE＝AC，连接DE

∵AD平分∠BAC∴∠EAD＝∠CAD∵AE＝AC，AD＝AD∴△AED≌△ACD（SAS）

∴∠E＝∠C∵AC＝AB+BD∴AE＝AB+BD∵AE＝AB+BE∴BD＝BE∴∠BDE＝∠E

∵∠ABC＝∠E+∠BDE∴∠ABC＝2∠E∴∠ABC＝2∠C

8.已知：

AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°

AE=AD+BE

在AE上取F，使EF＝EB，连接CF

∵CE⊥AB∴∠CEB＝∠CEF＝90°

∵EB＝EF，CE＝CE，∴△CEB≌△CEF

∴∠B＝∠CFE∵∠B＋∠D＝180°

，∠CFE＋∠CFA＝180°

∴∠D＝∠CFA∵AC平分∠BAD∴∠DAC＝∠FAC

∵AC＝AC∴△ADC≌△AFC（SAS）

∴AD＝AF

∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE

9.如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。

求证：

BC=AB+DC。

在BC上截取BF=AB，连接EF

∵BE平分∠ABC∴∠ABE=∠FBE又∵BE=BE∴⊿ABE≌⊿FBE（SAS）

∴∠A=∠BFE∵AB//CD∴∠A+∠D=180º

∵∠BFE+∠CFE=180º

∴∠D=∠CFE又∵∠DCE=∠FCECE平分∠BCDCE=CE

∴⊿DCE≌⊿FCE（AAS）∴CD=CF

∴BC=BF+CF=AB+CD

10.已知：

AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，求证：

∠F=∠C

AB‖ED，得：

∠EAB+∠AED=∠BDE+∠ABD=180度，

∵∠EAB=∠BDE，

∴∠AED=∠ABD，

∴四边形ABDE是平行四边形。

∴得：

AE=BD，

∵AF=CD,EF=BC，

∴三角形AEF全等于三角形DBC，

∴∠F=∠C。

11.已知：

AB=CD，∠A=∠D，求证：

∠B=∠C

设线段AB,CD所在的直线交于E，（当AD<

BC时，E点是射线BA,CD的交点，当AD>

BC时，E点是射线AB,DC的交点）。

则：

△AED是等腰三角形。

∴AE=DE而AB=CD

∴BE=CE（等量加等量，或等量减等量）

∴△BEC是等腰三角形∴∠B=∠C.

12.P是∠BAC平分线AD上一点，AC>

AB，求证：

PC-PB<

AC-AB

在AC上取点E，使AE＝AB。

∵AE＝ABAP＝AP∠EAP＝∠BAE，∴△EAP≌△BAP

∴PE＝PB。

PC＜EC＋PE∴PC＜（AC－AE）＋PB∴PC－PB＜AC－AB。

13.已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：

AC-AB=2BE

在AC上取一点D，使得角DBC=角C

∵∠ABC=3∠C∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=3∠C-∠C=2∠C；

∵∠ADB=∠C+∠DBC=2∠C;

∴AB=AD

∴AC–AB=AC-AD=CD=BD在等腰三角形ABD中，AE是角BAD的角平分线，

∴AE垂直BD∵BE⊥AE∴点E一定在直线BD上，在等腰三角形ABD中，AB=AD，AE垂直BD∴点E也是BD的中点∴BD=2BE∵BD=CD=AC-AB∴AC-AB=2BE

14.已知，E是AB中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求DC

∵作AG∥BD交DE延长线于G∴AGE全等BDE∴AG=BD=5∴AGF∽CDF

AF=AG=5∴DC=CF=2

15.如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：

AD⊥BC．

16.解：

延长AD至BC于点E,

17.∵BD=DC∴△BDC是等腰三角形

18.∴∠DBC=∠DCB又∵∠1=∠2∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2

19.即∠ABC=∠ACB∴△ABC是等腰三角形∴AB=AC

在△ABD和△ACD中AB=AC∠1=∠2BD=DC

∴△ABD和△ACD是全等三角形（边角边）

∴∠BAD=∠CAD∴AE是△ABC的中垂线

∴AE⊥BC∴AD⊥BC

20.如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．

∠OAB=∠OBA

∵OM平分∠POQ∴∠POM＝∠QOM∵MA⊥OP，MB⊥OQ

∴∠MAO＝∠MBO＝90

∵OM＝OM∴△AOM≌△BOM（AAS）∴OA＝OB∵ON＝ON

∴△AON≌△BON（SAS）∴∠OAB=∠OBA，∠ONA=∠ONB

∵∠ONA+∠ONB＝180∴∠ONA＝∠ONB＝90∴OM⊥AB

21.（5分）如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：

AD+BC=AB．

做BE的延长线，与AP相交于F点，∵PA//BC

∴∠PAB+∠CBA=180°

，又∵，AE，BE均为∠PAB和∠CBA的角平分线∴∠EAB+∠EBA=90°

∴∠AEB=90°

，EAB为直角三角形

在三角形ABF中，AE⊥BF，且AE为∠FAB的角平分线

∴三角形FAB为等腰三角形，AB=AF,BE=EF

在三角形DEF与三角形BEC中，

∠EBC=∠DFE,且BE=EF，∠DEF=∠CEB，

∴三角形DEF与三角形BEC为全等三角形，∴DF=BC

∴AB=AF=AD+DF=AD+BC

22.如图：

DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。

△AED≌△BFC。

∵DF=CE，∴DF-EF=CE-EF，即DE=CF，在△AED和△BFC中，∵AD=BC，∠D=∠C，DE=CF∴△AED≌△BFC（SAS）

23.如图：

AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF。

AM是△ABC的中线。

∵BE‖CF∴∠E=∠CFM，∠EBM=∠FCM∵BE=CF∴△BEM≌△CFM∴BM=CM

∴AM是△ABC的中线.

24.（10分）如图：

在△ABC中，BA=BC，D是AC的中点。

BD⊥AC。

∵△ABD和△BCD的三条边都相等∴△ABD=△BCD∴∠ADB=∠CD∴∠ADB=∠CDB=90°

∴BD⊥AC

25.（10分）AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。

BF=CF

在△ABD与△ACD中AB=ACBD=DCAD=AD△ABD≌△ACD∴∠ADB=∠ADC∴∠BDF=∠FDC

在△BDF与△FDC中BD=DC∠BDF=∠FDCDF=DF∴△FBD≌△FCD∴BF=FC

26.（12分）如图：

AB=CD，AE=DF，CE=FB。

AF=DE。

∵AB=DCAE=DF,CE=FBCE+EF=EF+FB∴△ABE=△CDF∵∠DCB=∠ABFAB=DCBF=CE△ABF=△CDE∴AF=DE

27.公园里有一条“Z”字形道路ABCD，如图所示，其中AB∥CD，在AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳E，F，M，且BE＝CF，M在BC的中点，试说明三只石凳E，F，M恰好在一条直线上.

连接EF∵AB∥CD∴∠B=∠C∵M是BC中点∴BM=CM在△BEM和△CFM中BE=CF∠B=∠CBM=CM∴△BEM≌△CFM（SAS）∴CF=BE

28.已知：

点A、F、E、C在同一条直线上，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．求证：

△ABE≌△CDF．

∵AF=CE,FE=EF.∴AE=CF.∵DF//BE,∴∠AEB=∠CFD（两直线平行，内错角相等）

∵BE=DF∴：

△ABE≌△CDF（SAS）

29.已知：

如图所示，AB＝AD，BC＝DC，E、F分别是DC、BC的中点，求证：

AE＝AF。

连接BD；

∵AB=ADBC=D∴∠ADB=∠ABD∠CDB=∠ABD;

两角相加，∠ADC=∠ABC；

∵BC=DCE\F是中点∴DE=BF；

∵AB=ADDE=BF∠ADC=∠ABC∴AE=AF。

30.如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证:

∠5=∠6．

在△ADC，△ABC中∵AC=AC，∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA

∴△ADC≌△ABC（两角加一边）∵AB=AD，BC=CD

在△DEC与△BEC中∠BCA=∠DCA，CE=CE，BC=CD

∴△DEC≌△BEC（两边夹一角）∴∠DEC=∠BEC

31.已知AB∥DE，BC∥EF，D，C在AF上，且AD＝CF，求证：

△ABC≌△DEF．

∵AD=DF∴AC=DF∵AB//DE∴∠A=∠EDF又∵BC//EF∴∠F=∠BCA

∴△ABC≌△DEF（ASA）

32.已知：

如图，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，求证：

BE=CD．

∵BD⊥AC∴∠BDC=90°

∵CE⊥AB∴∠BEC=90°

∴∠BDC=∠BEC=90°

∵AB=AC∴∠DCB=∠EBC∴BC=BC∴Rt△BDC≌Rt△BEC（AAS）∴BE=CD

33.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。

DE=DF．

∵AD是∠BAC的平分线∴∠EAD=∠FAD∵DE⊥AB，DF⊥AC

∴∠BFD=∠CFD=90°

∴∠AED与∠AFD=90°

在△AED与△AFD中

∠EAD=∠FADAD=AD∠AED=∠AFD

∴△AED≌△AFD（AAS）∴AE=AF在△AEO与△AFO中

∠EAO=∠FAOAO=AOAE=AF∴△AEO≌△AFO（SAS）

∴∠AOE=∠AOF=90°

∴AD⊥EF

34.已知：

如图,ACBC于C,DEAC于E,ADAB于A