数列求和Word格式文档下载.docx

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说出等比数列的前n项和公式？

Sn=　　Sn=　（教师板书）

条件q=1时，前n项和怎样计算？

Sn=na1

二、讲解新课：

今天我们将继续学习数列的求和问题。

（板书课题：

数列求和）

下面请同学们先看例1。

（出示投影）

例1

（1）求和：

　　　　　（新教材P131，例3）

（2）求和：

请同学们观察

（1）是否是等差数列或等比数列？

　（估计学生会用等差，等比数列的定义来判断）

否。

既然不是等差数列，也不是等比数列，那么就不能直接用等差，等比数列的求和公式，请

　同学们仔细观察一下此数列有何特征？

上面各个括号内的式子均由两项组成，其中各括号内的前一项与后一项分别组成等比数列，

分别求出这两个等比数列的和，就能得到所求式子的和。

（1）当x≠0,x≠1,y≠1时

　　原式=

　　　　=

（以上化简过程，实际上是繁分式的化简应强调结果的完整）

题中附加条件去掉，应该如何考虑？

请同学们课后思考。

下面我们一起来研究

（2）由上题启发，对于一个数列的一项可分成若干项，使其重新组合

　　成等差或等比，那么本小题又是怎样来解呢？

（学生相互讨论，老师巡视，启发学生）

我们可否通过对通项进行变形呢？

从而转化为等差或等比数列？

（2）令k=1，2，3，……n

则：

1=　,　　　

[引导学生自己归纳解法特点，养成学生解题后思考的良好习惯]

这类数列的求和法叫分解求和法，基本方法是根据数列的通项公式，将原数列分解为两个

　或两个以上的基本数列，然后再分别求和，

例2

（1）求和：

（2）求和：

将各项分母通分，显然是行不通的，能否通过通项的特点，将每一项拆成两项的差，使它

们之间能互相抵消许多。

（1）　　令k=1，2，3，…n

则原式=

　　=

　　==

请看第

（2）小题，此题形式与第

（1）小题相仿，哪位同学能大胆地试一试。

（2）（此步骤一开始学生会仿照上题将通项裂开，未考虑到

　　　令k=1，2，3，…n　　　　　系数，经启发可得出）

　　　则原式=

　　　　　　=

　　（做到此处，学生会发现与上题不同，互相抵消的项不在前后项，此时，教师应耐心地分析各项间的关系，可以假设n=6,n=7时的情形，得出一般规律）

这类数列求和的方法叫裂项相消求和法，基本方法是把数列各项拆成两项的差，使求和时

中间各项相互抵消。

[上例中，两个小题贯彻由浅入深的原则]

[讲完一个例题后，将例题引伸是教学中常做的一件事，它可以使学生的认识得到“升华”，

发展学生的思维，并起到触类旁通，举一反三的效果]

例3：

求数列：

1，，，的前n项和。

（启发学生，根据例1、例2的方法解决）

例1、例2我们都是对通项进行分解而得到解决。

那么例3是否也可用同样的方法呢？

例3

中的通项是什么呢？

=

在求数列的前n项和时，往往需要先将通项公式进行变形，然后再求和。

　例4：

已知数列[an]的前n项和为Sn=n2+2n，求和：

由例3可知，此题也应把通项公式求出来，才能解决问题，请同学们考虑，通项公式的求

法。

（稍作停止，让学生回忆求通项的方法）

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+2n-[（n-1）2+2（n-1）]

　　　　　　　　=n2+2n-（n2-2n+1+2n-2）

　　　　　　　　=2n+1

a1=S1=12+2·

1=3　满足上式.

∴[an]的通项公式为an==2n+1

很好！

那么有了数列的通项公式，这个问题就可以解决了。

原式=

　　　=

　　　==

三、小结归纳：

非等差（比）的特殊数列求和法。

1、设法转化为等差数列或等比数列，这一思考方法往往通过通项分解法来完成。

2、不能转化为等差（比）的特殊数列，往往通过裂项相消法求和。

四、课堂练习：

1、求和：

2、求和：

3、求和：

4、数列[an]的前n项和为Sn=n2,求

　（以上练习完全与例题相仿，对所学知识加以巩固）

五、作业：

1、求数列：

1，1+2，1+2+3，…（1+2+3+…+n）…的前n项的和。

2、求数列：

1，1+2，1+2+22，…,（1+2+22+…+2n-1）…的前n项的和。

3、求数列：

1，1+a,1+a+a2,…（1++a+a2+…+an-1）…的前n项的和.

4、求数列：

9，99，999，9999，……的前n项和。

教案说明

（1）本节课的教学内容在现行高中新教材中，所占篇幅极小，只通过一个例题（P131例3）一个练习（P132，3），一个习题（P133，6）反映这一内容，但其重要性却不容忽视，首先如等差数列前N项和公式的是用“逆序相加法”，等比数列的前N项和公式的推导是用“错位相减法”。

这些求和的方法本身在教材中有所体现，只是没有系统安排，其次，在实际应用中，会经常碰到非等差（等比）数列的求和问题，此外，对今后学习数列的极限打好基础。

（2）一节课的素材虽然准备得很充分，但若搭配布局安排不当，就可能降低学生对所教内容的理解水平，不能充分发挥教材在培养学生思维品质方面的作用，因此，在设计教案时应重视一节课各部分，各环节间相互联系的功能所形成的最佳结构。

本节课是非等差（等比）的特殊数列求和的第一节课，安排了四个例题，四个课堂练习和四个课外作业题，例题和习题的安排上贯彻了由浅入深的原则，例1是用“分解求和法”来解的，例2是“裂项求和法”解题，这两种方法都用了通项化归的数学思想方法，例3、例4是在例1、例2的基础上作了一些引伸。

在有了通项化归这种思想后，例3、例4就显得很容易了，此外课堂练习，基本与例题相仿，作为巩固练习。

而作业题中，有一点难度，让学生课余进行思考。

（3）利用课堂教学的机会，有意识地将数学研究的某些思想方法渗透到教学过程中，课堂教学不能单纯传授知识，应在传授知识的同时注重能力的培养、在上述思想的指导下，这堂课的教学过程中，每个例题都让学生体会到通项化归的思想方法。

（4）提高课堂教学的实效，加快学生的思维节秦，不拖泥带水，该说的话，要说到点上，要说透，能少说的，就决不多说，尽量挤出时间让学生多练。

在讲解例题时，重点不是讲怎样解，而是讲为什么这样解，从而达到会解一类题，提高创新思维的能力。

摘自数学教育网