武警院校招生统考部队士兵考军校数学军考真题详解.docx
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武警院校招生统考部队士兵考军校数学军考真题详解
二〇一五年武警部队院校招生统一考试
士兵本科数学真题与详解
一、选择题：
本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．已知全集为R，集合，则等于（）
A．B．C．D．
2．在等比数列中，已知，则（）
A．B．C．D．
3．设，则的大小关系是（）
A．B．C．D．
4．不等式的解集是（）
A．B．
C．D．
5．复数满足，则复数在复平面内对应的点在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（）
A．B．C．D．
7．若、、是互不相同的空间直线，、是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，，则
8．将边长为的正方形ABCD沿对角线AC折起，使，则三棱锥D-ABC的体积为（）
A．B．C．D．
9．过坐标原点且与点的距离都等于的两条直线的夹角为（）
A．B．C．D．
10．已知点在抛物线的准线上，记的焦点为F，则直线AF的斜率为（）
A．B．C．D．
二、填空题：
本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．若函数的定义域为R，则实数的取值范围是_______．
12．已知向量、满足，，则_______．
13．若，则_______．
14．在的展开式中，含的项的系数是_______．
15．椭圆长轴上一个顶点为A，以A为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是_______．
三、解答题：
本大题共7小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分10分，
（1）和
（2）分别为6分和4分）
已知函数的反函数为，
（1）用定义证明在定义域上的单调性；
（2）若，求的取值集合D．
17．（本小题满分10分，其中
（1）和
（2）各5分）
在中，内角所对的边分别为，已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
18．（本小题满分10分，其中
（1）和
（2）分别为4分和6分）
已知是递增的等差数列，是方程的根．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
19．（本小题满分10分，
（1）和
（2）分别为4分和6分）
已知向量．
（1）若，求证：
；
（2）设，若，求和的值．
20．（本小题满分10分，
（1）和
（2）分别为4分和6分）
骰子（六个面上分别标以数1,2,3,4,5,6）每抛掷一次，各个面上的概率均等．
（1）连续抛掷2次，求向上的数之和为6的概率；
（2）连续抛掷5次，求向上的数为奇数恰好出现3次的概率．
21．（本小题满分12分，
（1）和
（2）分别为5分和7分）
如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，是的中点．
（1）求证：
平面；
（2）若于点，求证平面．
22．（本小题满分13分，其中
（1）和
（2）分别为5分和8分）
双曲线的中心在坐标原点，右焦点为，渐近线为．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设直线与双曲线交于两点，则当为何值时，以为直径的圆过原点？
〖答案与详解〗
一、选择题
1.【答案】A
【详解】集合，则．
【点评】考查集合的交集运算．（详见《军考突破》中1-1-10）
2.【答案】B
【详解】根据等比数列性质，由，得，，
则．
【点评】考查等比数列的性质．（详见《军考突破》中3-3-4）
3.【答案】D
【详解】由为减函数且，得，再由为增函数且，得，所以的大小关系是．
另法：
将，同时5次方，
得，显然有
则的大小关系是．
【点评】考查函数的单调性．（详见《军考突破》中2-5-5）
4.【答案】A
【详解】不等式的零点为，用根轴法（零点分段法）如图：
解集是．
【点评】考查分式不等式解法，涉及序轴标根法．（详见《军考突破》中6-3-1）
5.【答案】A
【详解】复数满足，即，则复数对应点为，是在复平面内的一象限．
【点评】考查复数的运算．（详见《军考突破》中9-2-3）
6.【答案】C
【详解】第一步，分别将每一家捆绑，有种方法；第二步，再将三个全排列，有种方法．所以每家人坐在一起，则不同的做法为．
【点评】考查排列问题的基本计算方法—捆绑法．（（详见《军考突破》中7-1-4）中）
7.【答案】A
【详解】根据两平面垂直的判定定理，由，，能够推出．
【点评】考查平面与平面垂直的判定．（详见《军考突破》中10-2-3）．
8.【答案】D
【详解】由题意，如图在三棱锥中，側棱长，，从而可知高为,底面积，则三棱锥D-ABC的体积为．
【点评】考查三棱锥的体积的求法．（详见《军考突破》中10-4-2）
9．【答案】D
【详解】如下图,过坐标原点且与点的距离都等于的两条直线的夹角为．
【点评】考查从圆外一点出发的圆的两条切线的夹角．（详见《军考突破》中11-2-3）
10．【答案】C
【详解】由题意，抛物线的准线方程为：
，所以的焦点为，直线AF的斜率为．
【点评】考查抛物线的准线方程与焦点坐标，以及过两点的斜率公式．（详见《军考突破》中12-3-3）
二、填空题
11．【答案】
【详解】∵函数的定义域为R，∴或，
∴．
【点评】考查函数的定义域的求法．（详见《军考突破》中2-5-1）
12．【答案】
【详解】∵向量、满足，，∴．
【点评】考查向量模的求法．（详见《军考突破》中5-1-6）
13．【答案】
【详解】由，∴，∴．
【点评】考查三角恒等式的应用变形．（详见《军考突破》中4-2-2）
14．【答案】
【详解】展开式中含有的项为：
，∴含的项的系数为．
【点评】考查二项展开式的通项．（详见《军考突破》中7-2-2）
15．【答案】
【详解】如图，设等腰直角三角形的底边，则椭圆上点的坐标为，从而有，解得，所以的面积是．
【点评】考查椭圆的标准方程及顶点坐标，以及三角形的面积公式．（详见《军考突破》中12-1-4）
三、解答题
16．【详解】
（1）函数的值域为，
由，解得，
∴．
任取，
．
∵
∴，
∴．
∴，可得，
故在定义域上为单调增函数．
（2）∵，即，即
∴，解之得，
∴的取值集合为．
【点评】考查反函数和函数的单调性及对数不等的解法．（详见《军考突破》中2-5-5，2-5-7，6-3-4）
17．【详解】
（1）在中，由正弦定理，及已知条件
可得
又∵
∴
由余弦定理．
（2）在中，由
（1）知，可得．
又．
∴
．
【点评】考查正弦定理与余弦定理．（详见《军考突破》中4-5-1、4-5-2）
18．【详解】
（1）方程的两根为
由题意得
设等差数列的公差为，则
∴．
（2）设数列的前项和为，由
（1）知．
①-②得
∴．
【点评】考查由求和裂项相消法求数列的前项的和．（详见《军考突破》中3-4-1、3-4-7）
19．【详解】
（1）由题意，即
∴
∵向量．
∴
∴，∴．
（2）∵
∴
∴
∵
∴
∴．
【点评】考查向量平行及向量的数量积的运算．（详见《军考突破》中5-1-6、5-1-8）
20．【详解】
（1）设A表示事件“抛掷2次，求向上的数之和为6”
向上的数之和为6的结果有（1，5）、（2，4）、（3，3）、（4，2）、（5，1）5种
连续抛掷2次总的结果共有6×6=36种，
∴．
（2）设B表示事件“抛掷5次，求向上的数为奇数恰好出现3次”．
每次抛掷向上的数为奇数和偶数的概率都是
可看作5次独立重复试验中，事件“向上的数为奇数”恰好出现3次．
则．
∴连续抛掷5次，向上的数为奇数恰好出现3次的概率为．
【点评】考查独立重复试验的概率．（详见《军考突破》中8-1-6）
21．【详解】
（1）在正方形中，连接AC交BD于O，连接EO.
因为是正方形，所以O为AC的中点.
又因为E为PC的中点，所以EO//PA.
∵平面，平面，∴平面．
（2）∵平面平面，且平面平面，
在平面中，
∴平面，
又∵平面，
答：
说明米饭不是甜的，但米饭含有淀粉，在我们咀嚼的过程中发生了变化，变得有甜味了。
∴
又∵，E是PC的中点，
∴
在平面中，
∴平面，
∴
8、我们把铁钉一半浸在水里，一半暴露在空气中，过几天我们发现铁钉在空气中的部分已经生锈，在水中的部分没有生锈。
通过实验，我们得出铁生锈与空气有关。
又∵，且在平面中，
∴平面．
【点评】考查平面与平面平行和直线与平面垂直的判定．（详见《军考突破》中10-2-2、10-2-3）
22．【详解】
（1）由题意可知
∵
14、大我数地区的自来水水源取自水库、湖泊或河流。
自来水是主要的饮用水，饮用水源受到污染，会直接影响我们的身体健康。
∴，
17、近年来，我国积极推广“无车日”活动，以节约能源和保护环境。
科学家也正在研制太阳能汽车和燃料电池汽车，减少对空气的污染。
∴双曲线的标准方程为．
第二单元物质的变化
（2）由
一、填空：
得
由且，得且，
一、填空：
设
∵以AB为直径的圆过原点，
∴，
∴，即
又∵
答：
火柴燃烧、铁钉生锈、白糖加热等。
∴
二、问答：
∴，解得．
9、在17世纪，人们发现把两个凸透镜组合起来明显提高了放大能力，这就是早期的显微镜。
故当时，以为直径的圆过原点．
【点评】考查双曲线的标准方程和直线与双曲线相交的问题．（详见《军考突破》中12-2-4、12-4-5）
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