matlab实现插值法和曲线拟合电子教案Word文档格式.docx
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x1<
…<
xn=b,已知函数y=f（x）在这些插值结点的函数值为yk=f（xk）（k=0,1,…,n）求一个分段函数Ih（x）,使其满足：
（1）Ih（xk）=yk，（k=0,1,…,n）;
（2）在每个区间[xk,xk+1]上,Ih（x）是个一次函数。
易知,Ih（x）是个折线函数,在每个区间[xk,xk+1]上,（k=0,1,…,n），于是,Ih（x）在[a,b]上是连续的，但其一阶导数是不连续的。
3拉格朗日插值多项式算法
输入，令。
对，计算
4分段线性插值算法
输入（x,y）,k=0,1,…,n;
计算
5插值法和分段线性插值程序
按下列数据分别作五次插值和分段线性插值，画出两条插值曲线以及给定数据点。
求x1=0.32,x2=0.55,x3=0.68时的函数近似值，并比较两种方法的插值余项。
0.30
0.42
0.50
0.58
0.66
0.72
1.04403
1.08462
1.11803
1.15603
1.19817
1,23223
拉格朗日插值程序：
functionlagrint
xi=[0.32,0.55,0.68];
%xi=[0.2:
0.001:
0.8];
x=[0.3,0.42,0.50,0.58,0.66,0.72];
y=[1.04403,1.08462,1.11803,1.15603,1.19817,1.23223];
L=zeros（size（y））;
m=length（xi）;
fori=1:
m
dxi=xi（i）-x;
L
（1）=prod（dxi（2:
6））/prod（x
（1）-x（2:
6））;
L（6）=prod（dxi（1:
6-1））/prod（x（6）-x（1:
6-1））;
forj=2:
6-1
num=prod（dxi（1:
j-1））*prod（dxi（j+1:
den=prod（x（j）-x（1:
j-1））*prod（x（j）-x（j+1:
L（j）=num/den;
end
yi（i）=sum（y.*L）;
fprintf（'
x=%f,y=%f\n'
xi（i）,yi（i））;
plot（xi,yi,'
r'
）;
axis（[0.20.81.031.24]）;
holdon
plot（x,y,'
b.'
'
markersize'
20）
gridon
分段线性插值算法程序：
function[y]=div
%xi=[0.3:
0.72];
x0=[0.3,0.42,0.50,0.58,0.66,0.72];
y0=[1.04403,1.08462,1.11803,1.15603,1.19817,1.23223];
k=1;
forj=1:
3
fori=1:
5
ifxi（j）>
=x0（i）&
&
xi（j）<
=x0（i+1）&
k<
=3
lx
（1）=（xi（j）-x0（i+1））/（x0（i）-x0（i+1））;
lx
（2）=（xi（j）-x0（i））/（x0（i+1）-x0（i））;
y（k）=lx
（1）*y0（i）+lx
（2）*y0（i+1）;
k=k+1;
end
plot（xi,y,'
plot（x0,y0,'
6运算结果
拉格朗日插值结果
x=0.320000,y=1.049958
x=0.550000,y=1.141271
x=0.680000,y=1.209300
拉格朗日插值余项：
分段插值结果
ans=
1.05081.14181.2095
分段线性插值余项：
由于拉格朗日插值的余项比分段线性插值的余项要求更为严格，点少、区间小的时候，拉格朗日插值要更好。
但在区间较大、节点较多的时候，分段线性插值要更好。
二、牛顿前插
1牛顿前插原理
次牛顿前插公式：
插值余项：
，
阶差分记作。
阶差商是
差分和差商之间的关系是
2牛顿前插算法
输入。
对，计算各阶差分
计算函数值3牛顿前插程序：
编写一个用牛顿前插公式计算函数值的程序，要求先输出差分表，再计算x点的函数值
0.125
0.250
0.375
0.500
0.625
0.750
0.796
0.773
0.744
0.704
0.656
0.602
分别求x=0.158和x=0.636的三次插值的值，并比较二者的插值余项。
这里以x=0.636为例
function[P]=newtoncha
x0=0.636;
X=[0.1250.2500.3750.5000.6250.750];
Y=[0.7960.7730.7440.7040.6560.602];
h=abs（X
（2）-X
（1））;
n=find（abs（x0-X）<
3*h）;
X=X（n
（1）:
n（end））;
Y=Y（n
（1）:
w=length（X）;
R=zeros（w,w）;
R（:
1）=Y（:
fork=2:
w
forj=k:
R（j,k）=R（j,k-1）-R（j-1,k-1）;
t=（x0-X
（1））/h;
T=1;
form=1:
w-1
T=T*（t-m+1）;
N（m）=R（m+1,m+1）*T/factorial（m）;
P=R（1,1）+sum（N）;
4运行结果：
差分表
0.796000000000000
0.773000000000000
.023*********
0.744000000000000
.029*********
-0.006000000000000
0.704000000000000
-0.040000000000000
-0.011000000000000
-0.005000000000000
0.656000000000000
-0.048000000000000
-0.008000000000000
0.003000000000000
0.008000000000000
0.602000000000000
-0.054000000000000
0.002000000000000
-0.001000000000000
-0.009000000000000
X=0.636时ans=0.651459661824000x=0,158时ans=0.790229818880000
三、曲线拟合
1曲线拟合原理：
给定数据。
记拟合函数的形式为（1.1），
其中为已知的线性无关函数。
求系数使得
（1.2）
取最小值。
称
（1.3）为拟合函数或经验公式。
如果，则（1.3）为次最小二乘拟合多项式
2曲线拟合算法：
已知数据对，求多项式，使得为最小。
注意到此时，
多项式系数满足下面的线性方程组：
其中
然后只要调用线性方程组的函数程序即可
3曲线拟合程序：
试分别用抛物线y=a+bx2和指数曲线y=aebx拟合下列数据
1
2.5
3.5
4
3.8
1.50
26.0
33.0
画出数据点和两条拟合曲线，并通过计算2个拟合函数残差向量的2范数来比较拟合优劣。
用抛物线y=a+bx拟合程序：
functionZXE
x=[12.5^23.5^24^2];
y=[3.81.5026.033.0];
m=1;
S=zeros（1,2*m+1）;
T=zeros（m+1,1）;
fork=1:
2*m+1
S（k）=sum（x.^（k-1））;
m+1
T（k）=sum（x.^（k-1）.*y）;
A=zeros（m+1,m+1）;
a=zeros（m+1,1）;
forj=1:
A（i,j）=S（i+j-1）;
a=A\T;
a[%d]=%f\n'
k,a（k））;
p=polyfit（x,y,1）;
u=polyval（p,x）;
plot（sqrt（x）,u,'
b'
）
holdon
plot（sqrt（x）,y,'
指数曲线y=aebx拟合程序：
functionZXE2
x=[12.53.54];
y=log（y）;
plot（x,exp（u）,'
plot（x,exp（y）,'
拟合曲线：
a[1]=-0.168731
a[2]=0.833636
结论：
求解散点函数的时候，点少、区间小的时候，拉格朗日插值要更好。
但在区间较大，节点较多的时候，分段线性插
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