高等代数经典课件Word格式文档下载.doc

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在多项式

（1）中，称为次项，称为次项的系数.以后用或等来表示多项式.

注意：

这里定义的多项式是符号或文字的形式表达式.

定义3如果在多项式与中，除去系数为零的项外，同次项的系数全相等，那么与就称为相等，记为.

系数全为零的多项式称为零多项式，记为0.

在

（1）中，如果，那么称为多项式

（1）的首项，称为首项系数，称为多项式

（1）的次数.零多项式是唯一不定义次数的多项式.多项式的次数记为.

二、多项式的运算

设

是数域上两个多项式，那么可以写成

在表示多项式与的和时，如，为了方便起见，在中令，那么与的和为

而与的乘积为

其中次项的系数是

所以可表成

.

显然，数域上的两个多项式经过加、减、乘运算后，所得结果仍然是数域上的多项式.

对于多项式的加减法，不难看出

对于多项式的乘法，可以证明，若，则，并且

由以上证明看出，多项式乘积的首项系数就等于因子首项系数的乘积.

显然上面的结果都可以推广到多个多项式的情形.

多项式的运算满足以下的一些规律：

1.加法交换律：

2.加法结合律：

3.乘法交换律：

.

4.乘法结合律：

5.乘法对加法的分配律：

6.乘法消去律：

若且，则.

定义4所有系数在数域中的一元多项式的全体，称为数域上的一元多项式环，记为，称为的系数域.

3整除的概念

在一元多项式环中，可以作加、减、乘三种运算，但是乘法的逆运算—除法—并不是普遍可以做的.因之整除就成了两个多项式之间的一种特殊的关系.

一、整除的概念

带余除法对于中任意两个多项式与，其中，一定有中的多项式存在，使

（1）

成立，其中或者，并且这样的是唯一决定的.

带余除法中所得的通常称为除的商，称为除的余式.

定义5数域上的多项式称为整除，如果有数域上的多项式使等式

成立.用“”表示整除，用“”表示不能整除.

当时，就称为的因式，称为的倍式.

当时，带余除法给出了整除性的一个判别条件.

定理1对于数域上的任意两个多项式，，其中，的充要条件是除的余式为零.

带余除法中必须不为零.但中，可以为零.这时.

当时，如，除的商有时也用

来表示.

二、整除的性质

1.任一多项式一定整除它自身.

2.任一多项式都能整除零多项式0.

3.零次多项式，即非零常数，能整除任一个多项式.

4.若，则,其中为非零常数.

5.若，则（整除的传递性）.

6.若，则

其中是数域上任意的多项式.

通常，称为的一个组合.

由以上性质可以看出，与它的任一个非零常数倍有相同的因式，也有相同的倍式.因之，在多项式整除性的讨论中，常常可以用来代替.

最后，两个多项式之间的整除关系不因系数域的扩大而改变.即若，是中两个多项式，是包含的一个较大的数域.当然，，也可以看成是中的多项式.从带余除法可以看出，不论把，看成是中或者是中的多项式，用去除所得的商式及余式都是一样的.因此，若在中不能整除，则在中，也不能整除.

例1证明若，则

例2求，使.

例3若，则.

4多项式的最大公因式

一、多项式的最大公因式

如果多项式既是的因式，又是的因式，那么就称为与的一个公因式.

定义6设与是中两个多项式.中多项式称为，的一个公因式,如果它满足下面两个条件：

1）是与的公因式；

2），的公因式全是的因式.

例如，对于任意多项式，就是与0的一个最大公因式.特别地，根据定义，两个零多项式的最大公因式就是0.

引理如果有等式

（1）

成立，那么，和，有相同的公因式.

定理2对于的任意两个多项式，，在中存在一个最大公因式，且可以表成，的一个组合，即有中多项式使

.

（2）

由最大公因式的定义不难看出，如果是，的两个最大公因式，那么一定有与，也就是说.这就是说，两个多项式的最大公因式在可以相差一个非零常数倍的意义下是唯一确定的.两个不全为零的多项式的最大公因式总是一个非零多项式.在这个情形，我们约定，用

（，）

来表示首项系数是1的那个最大公因式.

定理证明中用来求最大公因式的方法通常称为辗转相除法（divisionalgorithm）.

例设

求（，），并求使

注：

定理2的逆不成立.例如令

则

但显然不是与的最大公因式.

但是当

（2）式成立，而是与的一个公因式，则一定是与的一个最大公因式.

二、多项式互素

定义7中两个多项式，称为互素（也称为互质）的，如果

显然,两个多项式互素,那么它们除去零次多项式外没有其他的公因式，反之亦然.

定理3中两个多项式，互素的充要条件是有中多项式使

定理4如果，且,那么

推论1如果，且,那么

推论2如果,,那么

推广：

对于任意多个多项式，称为的一个最大公因式，如果具有下面的性质：

1）;

2）如果，那么.

我们仍用符号来表示首项系数为1的最大公因式.不难证明的最大公因式存在，而且当全不为零时，

就是的最大公因式，即

=

同样，利用以上这个关系可以证明，存在多项式,使

如果，那么就称为互素的.同样有类似定理3的结论.

注意1）当一个多项式整除两个多项式之积时,若没有互素的条件,这个多项式一般不能整除积的因式之一.例如,但,且.

2）推论1中没有互素的条件,则不成立.如,,

则,但.

注意:

个多项式互素时,它们并不一定两两互素.例如,多项式

是互素的,但.

令是含的一个数域,是的多项式与在中的首项系数为1的最大公因式,而是与在中首项系数为1的最大公因式,那么.

即从数域过渡到数域时,与的最大公因式本质上没有改变.

互素多项式的性质可以推广到多个多项式的情形：

1）若多项式与

互素，则.

2）若多项式都整除，且两两互素，则.

3）若多项式都与互素，则

5因式分解定理

一、不可约多项式

定义8数域上次数的多项式称为域上的不可约多项式（irreduciblepolynomical），如果它不能表成数域上的两个次数比的次数低的多项式的乘积.

根据定义，一次多项式总是不可约多项式.

一个多项式是否可约是依赖于系数域的.

显然，不可约多项式的因式只有非零常数与它自身的非零常数倍这两种，此外就没有了.反过来，具有这个性质的次数的多项式一定是不可约的.由此可知，不可约多项式与任一多项式之间只可能有两种关系，或者或者.

定理5如果是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式，由一定推出或者.

如果不可约多项式整除一些多项式的乘积，那么一定整除这些多项式之中的一个.

二、因式分解定理

因式分解及唯一性定理数域上次数的多项式都可以唯一地分解成数域上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说，如果有两个分解式

那么必有，并且适当排列因式的次序后有

其中是一些非零常数.

应该指出，因式分解定理虽然在理论上有其基本重要性，但是它并没有给出一个具体的分解多项式的方法.实际上，对于一般的情形，普遍可行的分解多项式的方法是不存在的.

在多项式的分解式中，可以把每一个不可约因式的首项系数提出来，使它们成为首项系数为1的多项式，再把相同的不可约因式合并.于是的分解式成为

其中是的首项系数，是不同的首项系数为1的不可约多项式，而是正整数.这种分解式称为标准分解式.

如果已经有了两个多项式的标准分解，就可以直接写出两个多项式的最大公因式.多项式与的最大公因式就是那些同时在与的标准分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积，所带的方幂的指数等于它在与中所带的方幂中较小的一个.

由以上讨论可以看出，带余除法是一元多项式因式分解理论的基础.

若与的标准分解式中没有共同的不可约多项式，则与互素.

上述求最大公因式的方法不能代替辗转相除法，因为在一般情况下，没有实际分解多项式为不可约多项式的乘积的方法，即使要判断数域上一个多项式是否可约一般都是很困难的.

例在有理数域上分解多项式为不可约多项式的乘积.

6重因式

一、重因式的定义

定义9不可约多项式称为多项式的重因式,如果,但.

如果，那么根本不是的因式；

如果，那么称为的单因式；

如果，那么称为的重因式.

注意.重因式和重因式是两个不同的概念,不要混淆.

显然，如果的标准分解式为

那么分别是的重，重，…,重因式.指数的那些不可约因式是单因式；

指数的那些不可约因式是重因式.

不可约多项式是多项式的重因式的充要条件是存在多项式,使得,且.

二、重因式的判别

设有多项式

规定它的微商（也称导数或一阶导数）是

通过直接验证,可以得出关于多项式微商的基本公式:

同样可以定义高阶微商的概念.微商称为的一阶微商；

的微商称为的二阶微商；

等等.的阶微商记为.

一个次多项式的微商是一个次多项式；

它的阶微商是一个常数；

它的阶微商等于0.

定理6如果不可约多项式是多项式的一个重因式,那么是微商的重因式.

分析:

要证是微商的重因式,须证,但.

定理6的逆定理不成立.如

,

是的2重因式,但根本不是是因式.当然更不是三重因式.

推论1如果不可约多项式是多项式的一个重因式,那么是，,…,的因式,但不是的因式.

推论2不可约多项式是多项式的重因式的充要条件是是与的公因式.

推论3多项式没有重因式

这个推论表明，判别一个多项式有无重因式可以通过代数运算——辗转相除法来解决，这个方法甚至是机械的.由于多项式的导数以及两个多项式互素与否的事实在由数域过渡到含的数域时都无改变,所以由定理6有以下结论:

若多项式在中没有重因式,那么把看成含的某一数域上的多项式时,也没有重因式.

例1判断多项式

有无重因式

三、去掉重因式的方法

设有重因式,其标准分解式为

那么由定理5

此处不能被任何整除.于是

用去除所得的商为

这样得到一