3份高考数学人教A版理复习教案第一章 集合与常用逻辑用语Word文档格式.docx

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2.集合间的基本关系

关系

自然语言

符号语言

Venn图

子集

集合A中所有元素都在集合B中（即若x∈A，则x∈B）

A⊆B（或B⊇A）

真子集

集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中

AB（或BA）

集合相等

集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集

A＝B

3.集合的运算

集合的并集

集合的交集

集合的补集

图形

A∪B＝{x|x∈A或x∈B}

A∩B＝{x|x∈A且x∈B}

∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}

4.集合关系与运算的常用结论

（1）若有限集A中有n个元素，则A的子集个数为2n个，非空子集个数为2n－1个，真子集有2n－1个．

（2）A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.

【思考辨析】

判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×

”）

（1）{x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{（x，y）|y＝x2＋1}．（　×

　）

（2）若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.（　×

（3）对于任意两个集合A，B，关系（A∩B）⊆（A∪B）恒成立．（　√　）

（4）若A∩B＝A∩C，则B＝C.（　×

（5）已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{2,3}，则M∩N＝N.（　√　）

（6）若全集U＝{－1,0,1,2}，P＝{x∈Z|x2<

4}，则∁UP＝{2}．（　√　）

1．（2014·

课标全国Ⅰ）已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x<

2}，则A∩B等于（　　）

A．[－2，－1]B．[－1,2）

C．[－1,1]D．[1,2）

答案　A

【详细分析】∵A＝{x|x≥3或x≤－1}，B＝{x|－2≤x<

2}，

∴A∩B＝{x|－2≤x≤－1}＝[－2，－1]，故选A.

2．（2014·

四川）已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，集合B为整数集，则A∩B等于（　　）

A．{－1,0,1,2}B．{－2，－1,0,1}

C．{0,1}D．{－1,0}

【详细分析】因为A＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，又因为集合B为整数集，所以集合A∩B＝{－1,0,1,2}，故选A.

3．（2013·

山东）已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是（　　）

A．1B．3C．5D．9

答案　C

【详细分析】x－y∈.

4．设集合A＝{x|x2＋2x－3>

0}，集合B＝{x|x2－2ax－1≤0，a>

0}．若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是________．

答案　

【详细分析】A＝{x|x2＋2x－3>

0}＝{x|x>

1或x<

－3}，

因为函数y＝f（x）＝x2－2ax－1的对称轴为x＝a>

0，f（0）＝－1<

0，

根据对称性可知要使A∩B中恰含有一个整数，

则这个整数为2，

所以有f

（2）≤0且f（3）>

即所以

即≤a<

.

题型一　集合的基本概念

例1　

（1）（2013·

江西）若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a等于（　　）

A．4B．2

C．0D．0或4

（2）设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝________.

思维点拨　不要忽视集合中元素的互异性．

答案　

（1）A　

（2）2

【详细分析】

（1）当a＝0时，方程化为1＝0，无解，集合A为空集，不符合题意；

当a≠0时，由Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4.

（2）因为{1，a＋b，a}＝，a≠0，

所以a＋b＝0，得＝－1，

所以a＝－1，b＝1.所以b－a＝2.

思维升华　

（1）用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合；

（2）集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．

（1）设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中的元素个数为（　　）

A．3B．4

C．5D．6

（2）已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．

答案　

（1）B　

（2）－

（1）因为集合M中的元素x＝a＋b，a∈A，b∈B，所以当b＝4时，a＝1,2,3，此时x＝5,6,7.

当b＝5时，a＝1,2,3，此时x＝6,7,8.

所以根据集合元素的互异性可知，x＝5,6,7,8.

即M＝{5,6,7,8}，共有4个元素．

（2）因为3∈A，

所以m＋2＝3或2m2＋m＝3.

当m＋2＝3，即m＝1时，2m2＋m＝3，

此时集合A中有重复元素3，

所以m＝1不符合题意，舍去；

当2m2＋m＝3时，

解得m＝－或m＝1（舍去），

此时当m＝－时，m＋2＝≠3符合题意，

所以m＝－.

题型二　集合间的基本关系

例2　

（1）已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<

x<

5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为（　　）

A．1B．2C．3D．4

（2）已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<

2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是________．

答案　

（1）D　

（2）（－∞，4]

（1）由x2－3x＋2＝0得A＝{1,2}．

又B＝{1,2,3,4}．

∴满足A⊆C⊆B的集合C可以是{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}共4个．

（2）当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2.

当B≠∅时，若B⊆A，如图．

则，解得2<

m≤4.

综上，m的取值范围为m≤4.

思维升华　

（1）空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解；

（2）已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系．常用数轴、Venn图来直观解决这类问题．

（1）设M为非空的数集，M⊆{1,2,3}，且M中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M共有（　　）

A．6个B．5个C．4个D．3个

（2）已知集合A＝{x|y＝lg（x－x2）}，B＝{x|x2－cx<

0，c>

0}，若A⊆B，则实数c的取值范围是（　　）

A．（0,1]B．[1，＋∞）

C．（0,1）D．（1，＋∞）

答案　

（1）A　

（2）B

（1）集合{1,2,3}的所有子集共有23＝8（个），集合{2}的所有子集共有2个，故满足要求的集合M共有8－2＝6（个）．

（2）A＝{x|y＝lg（x－x2）}＝{x|x－x2>

0}＝（0,1），B＝{x|x2－cx<

0}＝（0，c），因为A⊆B，画出数轴，如图所示，得c≥1.

题型三　集合的基本运算

例3　

（1）（2014·

辽宁）已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U（A∪B）等于（　　）

A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}

C．{x|0≤x≤1}D．{x|0<

1}

（2）设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋（m＋1）x＋m＝0}．若（∁UA）∩B＝∅，则m的值是________．

答案　

（1）D　

（2）1或2

（1）∵A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，

∴A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，

在数轴上表示如图．

∴∁U（A∪B）＝{x|0<

1}．

（2）A＝{－2，－1}，由（∁UA）∩B＝∅，得B⊆A，

∵方程x2＋（m＋1）x＋m＝0的判别式Δ＝（m＋1）2－4m＝（m－1）2≥0，∴B≠∅.

∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}．

①若B＝{－1}，则m＝1；

②若B＝{－2}，则应有－（m＋1）＝（－2）＋（－2）＝－4，且m＝（－2）×

（－2）＝4，这两式不能同时成立，∴B≠{－2}；

③若B＝{－1，－2}，则应有－（m＋1）＝（－1）＋（－2）＝－3，且m＝（－1）×

（－2）＝2，由这两式得m＝2.

经检验知m＝1和m＝2符合条件．

∴m＝1或2.

思维升华　

（1）一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；

集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．

（2）运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．

（1）（2014·

浙江）设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则∁UA等于（　　）

A．∅B．{2}C．{5}D．{2,5}

（2）设集合M＝{x|－1≤x<

2}，N＝{y|y<

a}，若M∩N≠∅，则实数a的取值范围一定是（　　）

A．－1≤a<

2B．a≤2

C．a≥－1D．a>

－1

答案　

（1）B　

（2）D

（1）因为A＝{x∈N|x≤－或x≥}，

所以∁UA＝{x∈N|2≤x<

}，故∁UA＝{2}．

（2）∵M＝{x|－1≤x<

a}，且M∩N≠∅，如图只要a>

－1即可．

题型四　集合中的新定义问题

例4　若集合A具有以下性质：

（Ⅰ）0∈A,1∈A；

（Ⅱ）若x∈A，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，∈A.

则称集合A是“好集”．下列命题正确的个数是（　　）

（1）集合B＝{－1,0,1}是“好集”；

（2）有理数集Q是“好集”；

（3）设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x＋y∈A.

A．0B．1

C．2D．3

（1）集合B不是“好集”，假设集合B是“好集”，因为

－1∈B,1∈B，所以－1－1＝－2∈B，这与－2∉B矛盾．

（2）有理数集Q是“好集”，因为0∈Q,1∈Q，对任意的x∈Q，y∈Q，有x－y∈Q，且x≠0时，∈Q，所以有理数集Q是“好集”．（3）因为集合A是“好集”，所以0∈A，若x∈A，y∈A，则0－y∈A，即－y∈A，所以x－（－y）∈A，即x＋y∈A.

思维升华　解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：

（1）紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；

（2）用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．

　设U为全集，对集合X，Y，定义运算“”，满足XY＝（∁UX）∪Y，则对于任意集合X，Y，Z，X（YZ）等于（　　）

A．（X∪Y）∪（∁UZ）

B．（X∩Y）∪（∁UZ）

C．[（∁UX）∪（∁UY）]∩Z

D．（∁UX）∪（∁UY）∪Z

答案　D

【详细分析】因为XY＝（∁UX）∪Y，

所以YZ＝（∁UY）∪Z，

所以X（YZ）＝（∁UX）∪（YZ）

＝（∁UX）∪（∁UY）∪Z，故选D.

遗忘空集致误

典例：

设集合A＝{0，－4}，B＝{x|x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0，x∈R}．若B⊆A，则实数a的取值范围是________．

易错分析　集合B为方程x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0的实数根所构成的集合，由B⊆A