1994考研数学一真题及答案解析Word文档下载推荐.docx
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(B)、、、线性无关
(C)、、、线性无关
(D)、、、线性无关
三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分.)
(1)设求、在的值.
(2)将函数展开成的幂级数.
(3)求.
四、(本题满分6分)
计算曲面积分,其中是由曲面及两平面
所围成立体表面的外侧.
五、(本题满分9分)
设具有二阶连续导数,,且
为一全微分方程,求及此全微分方程的通解.
六、(本题满分8分)
设在点的某一领域内具有二阶连续导数,且,证明级数
绝对收敛.
七、(本题满分6分)
已知点与的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段绕轴旋转一周所围成的旋转曲面为.求由及两平面所围成的立体体积.
八、(本题满分8分)
设四元线性齐次方程组为又已知某线性齐次方程组的通解为
.
(1)求线性方程组的基础解系;
(2)问线性方程组和是否有非零公共解?
若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.
九、(本题满分6分)
设为阶非零方阵,是的伴随矩阵,是的转置矩阵,当时,证明
十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.)
(1)已知、两个事件满足条件,且,则__________.
(2)设相互独立的两个随机变量、具有同一分布律,且的分布律为
则随机变量的分布律为_______.
十一、(本题满分6分)
已知随机变量服从二维正态分布,且和分别服从正态分布和
与的相关系数,设,
(1)求的数学期望和方差;
(2)求与的相关系数;
(3)问与是否相互独立?
为什么?
1994年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
(1)
【答案】
【解析】原式变形后为“”型的极限未定式,又分子分母在点处导数都存在,所以连续应用两次洛必达法则,有
原式
.(由重要极限)
(2)
【解析】所求平面的法向量为平行于所给曲面在点处法线方向的方向向量,取,又平面过已知点.
已知平面的法向量和过已知点可唯一确定这个平面:
因点在曲面上.曲面方程.
曲面在该点的法向量
故切平面方程为,即.
(3)
【解析】由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,为了简化运算,所以本题可以先求,再求.
(可边代值边计算,这样可以简化运算量.)
【相关知识点】多元复合函数求导法则:
如果函数都在点具有对及对的偏导数,函数在对应点具有连续偏导数,则复合函数
在点的两个偏导数存在,且有
;
(4)
【解析】很显然,根据此题的特征用极坐标变换来计算:
原式.
注意:
则原式.
(5)
【解析】由矩阵乘法有结合律,注意是一个数,
而,(是一个三阶矩阵)
于是,
(D)
【解析】对于关于原点对称的区间上的积分,应该关注被积函数的奇偶性.
由对称区间上奇偶函数积分的性质,被积函数是奇函数,积分区间关于原点对称,则积分为0,故,且
由定积分的性质,如果在区间上,被积函数,则.
所以,.
因而,应选(D).
【解析】在点连续不能保证在点存在偏导数
.反之,在点存在这两个偏导数也不能保证在点连续,因此应选(D).
二元函数在点处两个偏导数存在和在点处连续并没有相关性.
(C)
【解析】考查取绝对值后的级数.因
(第一个不等式是由得到的.)
又收敛,收敛,(此为级数:
当时收敛;
当时发散.)
所以收敛,由比较判别法,得收敛.
故原级数绝对收敛,因此选(C).
【解析】因为,
故,
因此,原式左边原式右边,.
当时,极限为0;
当时,极限为,均与题设矛盾,应选(D).
【相关知识点】1.无穷小的比较:
设在同一个极限过程中,为无穷小且存在极限
(1)若称在该极限过程中为同阶无穷小;
(2)若称在该极限过程中为等价无穷小,记为;
(3)若称在该极限过程中是的高阶无穷小,记为
若不存在(不为),称不可比较.
2.无穷小量的性质:
当时,为无穷小,则
【解析】这一类题目应当用观察法.若不易用观察法时可转为计算行列式.
(A):
由于,所以(A)线性相关.
(B):
由于,所以(B)线性相关.
对于(C),实验几组数据不能得到0时,应立即计算由的系数构成的行列式,即
由行列式不为0,知道(C)线性无关.故应选(C).
当然,在处理(C)有困难时,也可来看(D),由
知(D)线性相关,于是用排除法可确定选(C).
【相关知识点】线性相关的充分必要条件是存在某可以由
线性表出.
线性无关的充分必要条件是任意一个均不能由
【解析】
同理,
代入参数值,
则,.
【相关知识点】1.复合函数求导法则:
如果在点可导,而在点可导,则复合函数在点可导,且其导数为
或.
2.对积分上限的函数的求导公式:
若,,均一阶可导,则
【解析】.
先求的展开式.将微分后,可得简单的展开式,再积分即得原函数的幂级数展开.所以由
该级数在端点处的收敛性,视而定.特别地,当时,有
得
积分,由牛顿-莱布尼茨公式得
【解析】方法1:
利用三角函数的二倍角公式,并利用换元积分,结合拆项法求积分,得
()
其中为任意常数.
方法2:
换元后,有
用待定系数法将被积函数分解:
【解析】求第二类曲面积分的基本方法:
套公式将第二类曲面积分化为第一类曲面积分,再化为二重积分,或用高斯公式转化为求相应的三重积分或简单的曲面积分.
这里曲面块的个数不多,积分项也不多,某些积分取零值,如若垂直平面,则
.化为二重积分时要选择投影平面,注意利用对称性与奇偶性.
先把积分化简后利用高斯公式也很方便的.
方法1:
注意,(因为关于平面对称,被积函数关于轴对称)
所以.
由上下底圆及圆柱面组成.分别记为.与平面垂直
在上将代入被积表达式.
在平面上投影区域为,在上,,关于平面对称,被积函数对为奇函数,可以推出
是封闭曲面,它围成的区域记为,记.
再用高斯公式得
(先一后二的求三重积分方法)
其中是圆域:
.
【相关知识点】高斯公式:
设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围成,函数
、、在上具有一阶连续偏导数,则有
或
这里是的整个边界曲面的外侧,、、是在点处的法向量的方向余弦.上述两个公式叫做高斯公式.
【解析】由全微分方程的条件,有
即,亦即.
因而是初值问题的解,此方程为常系数二阶线性非齐次方程,对应的齐次方程的特征方程为的根为,原方程右端中的,不同于两个特征根,所以方程有特解形如.
代入方程可求得,则特解为.
由题给,解得.
的解析式代入原方程,则有
先用凑微分法求左端微分式的原函数:
其通解为其中为任意常数.
【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构:
设是二阶线性非齐次方程
的一个特解.是与之对应的齐次方程
的通解,则是非齐次方程的通解.
2.二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法:
对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解,可用特征方程法求解:
即中的、均是常数,方程变为.其特征方程写为,在复数域内解出两个特征根;
分三种情况:
(1)两个不相等的实数根,则通解为
(2)两个相等的实数根,则通解为
(3)一对共轭复根,则通解为其中为常数.
3.对于求解二阶线性非齐次方程的一个特解,可用待定系数法,有结论如下:
如果则二阶常系数线性非齐次方程具有形如
的特解,其中是与相同次数的多项式,而按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.
如果,则二阶常系数非齐次线性微分方程的特解可设为
其中与是次多项式,,而按(或)不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为或.
【解析】表明时是比高阶的无穷小,若能进一步确定是的阶或高于阶的无穷小,从而也是的阶或高于阶的无穷小,这就证明了级数绝对收敛.
方法一:
由及的连续性得知,再由在点的某一领域内具有二阶连续导数以及洛必达法则,为“”型的极限未定式,又分子分母在点处导数都存在,连续运用两次洛必达法则,有
由函数极限与数列极限的关系.
因收敛收敛,即绝对收敛.
方法二:
由得知,可用泰勒公式来实现估计.在点有泰勒公式:
因在点的某一领域内具有二阶连续导数,
在有界,即,有
对此,时,.
又收敛收敛,即绝对收敛.
【相关知识点】正项级数的比较判别法:
设和都是正项级数,且则
1当时,和同时收敛或同时发散;
2当时,若收敛,则收敛;
若发散,则发散;
3当时,若收敛,则收敛;
若发散,则发散.
用定积分.
设高度为处的截面的面积为,则所求体积.
所在的直线的方向向量为,且过点,
所以所在的直线方程为或.
截面是个圆形,其半径的平方,则面积
由此.
用三重积分.
或者
(1)由已知,的系数矩阵,.
由于所以解空间的维数是2.
取为自由变量,分别令,求出的解.
故的基础解系可取为.
(2)方程组和有非零公共解.
将的通解代入方程组,则有
那么当时,向量是与的非零公共解.
【解析】证法一:
由于,根据的定义有
其中是行列式中的代数余子式.
由于,不妨设,那么
故.
证法二:
(反证法)若,则.
设的行向量为,则.
于是.
进而有,这与是非零矩阵相矛盾.故.
【解析】利用随机事件的概率运算性质进行化简.由概率的基本公式(广义加法公式),有
因题目已知,故有
.
【解析】由于、相互独立且同分布,