高中数学必修4导学案.doc

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1.1.1任意角

课前预习学案

一、预习目标

1、认识角扩充的必要性，了解任意角的概念，与过去学习过的一些容易混淆的概念相区分；

2、能用集合和数学符号表示终边相同的角，体会终边相同角的周期性；

3、能用集合和数学符号表示象限角；

4、能用集合和数学符号表示终边满足一定条件的角.

二、预习内容

1．回忆：

初中是任何定义角的？

一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角α。

旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫α的顶点。

在体操比赛中我们经常听到这样的术语：

“转体720o”（即转体2周），“转体1080o”（即转体3周）；再如时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？

如果慢了5分钟，又该如何校正？

2.角的概念的推广：



3．正角、负角、零角概念

4.象限角

思考三个问题：

1.定义中说：

角的始边与x轴的非负半轴重合，如果改为与x轴的正半轴重合行不行，为什么？

2.定义中有个小括号，内容是：

除端点外，请问课本为什么要加这四个字？

3.是不是任意角都可以归结为是象限角，为什么？

4.已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？

（1）4200；

（2）-750； （3）8550； （4）-5100.

5.终边相同的角的表示

课内探究学案

一、学习目标

（1）推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义；

（2）理解任意角以及象限角的概念；

（3）掌握所有与角a终边相同的角（包括角a）的表示方法；

学习重难点：

重点：

理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角的表示方法及判断。

难点:

把终边相同的角用集合和数学符号语言表示出来。

二、学习过程

例1.例1在范围内，找出与角终边相同的角，并判定它是第几象限角.（注：

是指）

例2.写出终边在轴上的角的集合.

例3.写出终边直线在上的角的集合,并把中适合不等式

的元素写出来.

（三）【回顾小结】

1.尝试练习

（1）教材第3、4、5题.

（2）补充：

时针经过3小时20分，则时针转过的角度为，分针转过的角度为。

注意:

（1）；

（2）是任意角（正角、负角、零角）；（3）终边相同的角不一定相等；但相等的角，终边一定相同；终边相同的角有无数多个，它们相差的整数倍.

2.学习小结

（1）你知道角是如何推广的吗?

（2）象限角是如何定义的呢?

（3）你熟练掌握具有相同终边角a的表示了吗?

（四）当堂检测

1．设，，那么有（ ）．

　　A．　　　B．　　C．（）　　D．

2．用集合表示：

（1）各象限的角组成的集合．　　

（2）终边落在轴右侧的角的集合．

3．在～间，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角

（1）；

（2）；（3）．

3.解：

（1）∵

　　　　∴与角终边相同的角是角，它是第三象限的角；

（2）∵

　　　　∴与终边相同的角是，它是第四象限的角；

　　（3）

　　所以与角终边相同的角是，它是第二象限角．

课后练习与提高

1.若时针走过2小时40分，则分针走过的角是多少？

2.下列命题正确的是：

（）

（A）终边相同的角一定相等。

（B）第一象限的角都是锐角。

（C）锐角都是第一象限的角。

（D）小于的角都是锐角。

3.若a是第一象限的角，则是第象限角。

4.一角为，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为__．

5.集合M＝{α=k，k∈Z}中，各角的终边都在（  ）

　　A．轴正半轴上，　　　　　B．轴正半轴上，

　　C．轴或轴上，　　　　　D．轴正半轴或轴正半轴上

6.设，　　　　　

　　　　C＝{α|α=k180o+45o,k∈Z}，　　　　　

则相等的角集合为__．

参考答案

1.解：

2小时40分=小时，

故分针走过的角为480。

2.C3.一或三4.5.C6._B＝D，C＝E

1.1.2弧度制

课前预习学案

一、预习目标：

1.了解弧度制的表示方法；

2.知道弧长公式和扇形面积公式.

二、预习内容

初中学习中我们知道角的度量单位是度、分、秒，它们是60进制，角是否可以用其它单位度量，是否可以采用10进制？

自学课本第7、8页.通过自学回答以下问题：

1、角的弧度制是如何引入的？

2、为什么要引入弧度制？

好处是什么？

3、弧度是如何定义的？

4、角度制与弧度制的区别与联系?

三、提出疑惑

1、平角、周角的弧度数？

2、角的弧度制与角的大小有关，与角所在圆的半径的大小是否有关？

3、角的弧度与角所在圆的半径、角所对的弧长有何关系？

课内探究学案

一、学习目标

1.理解弧度制的意义；

2.能正确的应用弧度与角度之间的换算；

3.记住公式（为以.作为圆心角时所对圆弧的长，为圆半径）；

4．熟练掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用。

二、重点、难点

弧度与角度之间的换算；

弧长公式、扇形面积公式的应用。

三、学习过程

（一）复习：

初中时所学的角度制，是怎么规定角的？

角度制的单位有哪些，是多少进制的？

（二）为了使用方便，我们经常会用到一种十进制的度量角的单位制——弧度制。

<我们规定>叫做1弧度的角，用符号表示，读作。

练习：

圆的半径为，圆弧长为、、的弧所对的圆心角分别为多少？

<思考>：

圆心角的弧度数与半径的大小有关吗？

由上可知：

如果半径为r的园的圆心角所对的弧长为,那么，角的弧度数的绝对值是：

，的正负由决定。

正角的弧度数是一个，负角的弧度数是一个，零角的弧度数是。

<说明>：

我们用弧度制表示角的时候，“弧度”或经常省略，即只写一实数表示角的度量。

例如：

当弧长且所对的圆心角表示负角时，这个圆心角的弧度数是

．

（三）角度与弧度的换算

rad1=

归纳：

把角从弧度化为度的方法是：

把角从度化为弧度的方法是：

<试一试>：

一些特殊角的度数与弧度数的互相转化,请补充完整

30°

90°

120°

150°

270°

0

例1、把下列各角从度化为弧度：

（1）

（2）（3）（4）

变式练习：

把下列各角从度化为弧度：

（1）22º30′

（2）—210º（3）1200º

例2、把下列各角从弧度化为度：

（1）

（2）3.5（3）2（4）

变式练习：

把下列各角从弧度化为度：

（1）

（2）—（3）

（四）弧度数表示弧长与半径的比,是一个实数,这样在角集合与实数集之间就建立了一个一一对应关系.

正角

零角

负角

正实数

零

负实数

（五）弧度下的弧长公式和扇形面积公式

弧长公式：

因为（其中表示所对的弧长），所以，弧长公式为．

扇形面积公式：

．

说明：

以上公式中的必须为弧度单位．

例3、知扇形的周长为8，圆心角为2rad，，求该扇形的面积。

变式练习1、半径为120mm的圆上，有一条弧的长是144mm，求该弧所对的圆心角的弧度数。

2、半径变为原来的，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来的　　　倍。

3、若2弧度的圆心角所对的弧长是，则这个圆心角所在的扇形面积是　　　　　．

4、以原点为圆心，半径为１的圆中，一条弦的长度为，所对的圆心角

的弧度数为　　　．

（六）课堂小结：

1、弧度制的定义；

2、弧度制与角度制的转换与区别；

3、牢记弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，并灵活运用；

（七）作业布置习题1.1A组第7，8，9题。

课后练习与提高

1．在中，若，求A，B，C弧度数。

2．直径为20cm的滑轮，每秒钟旋转，则滑轮上一点经过5秒钟转过的弧长是多少？

3．选做题

如图，扇形的面积是，它的周长是，求扇形的中心角及弦的长。

1.21任意角的三角函数

课前预习学案

一、预习目标：

1.了解三角函数的两种定义方法；

2.知道三角函数线的基本做法.

二、预习内容：

根据课本本节内容，完成预习目标，完成以下各个概念的填空.

课内探究学案

一、学习目标

（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；

（2）理解任意角的三角函数不同的定义方法；

（3）了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；

（4）掌握并能初步运用公式一；

（5）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.

二、重点、难点

重点:

任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）.

难点:

任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解.

三、学习过程

（一）复习：

1、初中锐角的三角函数______________________________________________________

2、在Rt△ABC中，设A对边为a，B对边为b，C对边为c，锐角A的正弦、余弦、正切依次为_______________________________________________

（二）新课：

1．三角函数定义

在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点（除了原点）的坐标为，它与原点的距离为，那么

（1）比值_______叫做α的正弦，记作_______，即________

（2）比值_______叫做α的余弦，记作_______，即_________

（3）比值_______叫做α的正切，记作_______，即_________；

2．三角函数的定义域、值域

函数

定义域

值域

3．