线性系统的时域分析法Word下载.docx

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（6）正确理解稳态误差的定义并能熟练掌握误差系数和稳态误差的计算。

（7）掌握改善系统动态性能和提高系统控制精度的措施。

三、内容提要

1、时域性能指标

（1）典型输入信号

名称

时域表达式

复域表达式

单位脉冲函数

1

单位阶跃函数

1（t）

1/s

单位斜坡函数

t1（t）

1/s2

单位加速度函数

1/s3

正弦函数

A

（2）时域性能指标

为了定量表示控制系统暂态和稳态响应的性能，在工程上一般以单位阶跃信号作为输入试验信号来定义系统的暂态和稳态性能指标。

★上升时间：

系统阶跃响应从零开始第一次上升到稳态值的时间（有时取响应的稳态值得10%到90%所对应的时间）。

★延迟时间：

系统阶跃响应从零开始第一次上升到稳态值50%的时间。

★峰值时间：

系统阶跃响应从零开始第一次超过稳态值达到第一个峰值的时间。

★调节时间：

系统阶跃响应曲线进入规定允许的误差带范围，并且以后不再超出这个误差带所需的时间。

★超调量:

系统阶跃响应的最大峰值与稳态值的差值与稳态值之比的百分数，即，误差带可取：

或。

★稳态误差：

当时间时，系统期望输出与实际输出之差。

2、一阶系统的时域分析

（1）数学模型

系统的微分方程：

；

系统的传递函数：

，式中为时间常数。

（2）时域响应

★单位阶跃响应：

；

★单位脉冲响应：

★单位斜坡响应：

。

（3）性能指标

当输入时性能指标为：

，，，，、不存在。

3、二阶系统的时域分析

开环传递函数：

闭环传递函数：

式中，为无阻尼振荡频率或自然振荡频率，为时间常数，为阻尼比。

（2）单位阶跃响应

★时，响应是发散的，系统不能正常工作；

★时，响应与一阶系统相似，没有超调，但调节速度慢；

★时，响应为等幅振荡；

★时，响应为衰减振荡，虽然有超调，但上升速度比较快，调节时间也比较短，合理选择阻尼比，可以使系统具有比较好的响应快速性和平稳性。

（3）欠阻尼二阶系统性能指标

★上升时间；

★峰值时间；

★超调量；

★调节时间。

（4）单位脉冲响应

★无阻尼，，；

★欠阻尼，，；

★临界阻尼，，；

★过阻尼，，。

（5）二阶欠阻尼系统的斜坡响应

，，其中，。

稳态误差：

（6）二阶系统性能的改善

①误差信号的比例微分控制（PI控制）

★系统的等效阻尼比增加了，将会有效地抑制系统的振荡，减小超调量；

★系统变成附加有一个零点的二阶系统。

这个附加的零点，具有微分作用，可以使系统的暂态响应速度加快。

②输出量的速度反馈控制（速度反馈校正）

★带速度反馈的二阶系统仍然是典型二阶系统，其无阻尼振荡频率没有改变；

★提高了系统的阻尼比，则系统的超调量可以明显减小；

★由于保持不变，而阻尼比增大，从而系统的调节时间变小，则系统的响应速度得到加快。

4、高阶系统的时域分析

（1）单位阶跃响应

在单位阶跃输入信号作用下，其输出响应：

系统的响应是由一系列指数函数（运动模态）的和构成，其中每一项所占的“比重”就由留数的大小决定，而的大小由零点和极点共同来决定，那些远离坐标原点的极点所对应的运动形态对阶跃响应的影响很小。

（2）闭环主导极点

在稳定的高阶系统中，对于其时间响应其主导作用的闭环极点称为闭环主导极点。

闭环主导极点和主导极点的条件：

★在S左半平面上离虚轴最近，且其周围没有零点的极点；

★其实部离虚轴的距离是其它极点离虚轴的距离5倍以上。

5、线性系统的稳定性分析

（1）系统稳定的充要条件

系统微分方程的特征根的全部根都是都负实数或实部为负的复数，也即，系统闭环传递函数的极点均位于S平面的左半平面。

（2）代数稳定判据——劳斯判据

劳斯判据：

根据闭环特征方程的各项系数构造劳斯表，若劳斯表第一列的所有元素符号不改变，则系统稳定，且符号改变的次数为特征根位于S右半平面的个数。

在构造劳斯表的时候，可能会遇到2种特殊的情况：

①劳斯表中第一列的某一行元素出现零元素，而该行的其余元素不为零或不全为零。

处理方法：

可以用一个小正数来代替那个零元素，然后继续构造下去，并令，判别第一列元素符号改变的次数。

②劳斯表中出现某一行元素全为零。

利用全零行上一行的元素及相应的阶次构造辅助多项式，并以各系数代替全零行元素，然后继续构造劳斯表的其余部分。

6、控制系统的稳态误差分析

（1）误差的定义

或

（2）稳态误差

系统的稳态误差可以写为。

（3）稳态误差计算

（4）静态误差系数

★单位阶跃输入——静态位置误差系数

★单位斜坡输入——静态速度误差系数

★单位匀加速输入——静态加速度误差系数

（5）扰动作用下的稳态误差

（6）减小或消除稳态误差的措施

①比例积分（PI）控制

采用比例积分控制后，系统在扰动作用下的误差减小了。

②复合控制

复合控制分为输入补偿控制和扰动补偿控制两种形式。

3.1引言

对于线性控制系统工程上常用的分析方法有时域分析法、根轨迹分析法、频域分析法等。

本章重点介绍时域分析法，所谓时域分析法，是指控制系统在一定的输入信号作用下，根据系统输出量的时域表达式，分析系统的稳定性、暂态和稳态性能，时域分析法是一种在实践域中对系统分析的方法，具有直观和准确的优点。

1．典型输入信号

控制系统的性能指标可以通过在输入信号作用下系统输出变量的暂态和稳态过程来评价，系统地暂态和稳态性能不仅取决于系统本身的特性，还与外加的输入信号的形式有关。

（1）单位冲击（脉冲）信号

定义：

，，Laplace变换：

（2）单位阶跃信号

，Laplace变换：

（3）单位斜坡（速度）信号

（4）单位加速度（抛物线）信号

（5）正弦（余弦）信号

2．暂态响应和稳态响应

任何一个控制系统的时间响应都可以分为暂态响应和稳态响应两部分。

（1）暂态响应

暂态响应又称为暂态过程或过渡过程。

它是指在输入信号或扰动信号作用下，系统地输出量从初始状态到最终状态的响应过程。

过程可以表现为响应曲线的单调减、单调增、衰减振荡、等幅振荡、发散等多种形式，其形式由系统的基本运动模态决定。

显然一个实际可行的控制系统其响应地暂态过程必须是单调减或衰减振荡的，也即表现为系统的暂态过程是随时间逐渐消失的，这样的系统才是稳定的。

（2）稳态响应

稳态响应由称为稳态过程。

它是指系统在输入信号或扰动信号作用下，当时间趋近于无穷大时，系统的输出响应的状态。

稳态过程反映了系统输出量复现输入量的程度，常常用稳态精度或稳态误差来衡量。

3．暂态和稳态性能指标

为了定量表示控制系统暂态和稳态响应的性能，在工程上一般以单位阶跃信号作为输入试验信号来定义系统的暂态和稳态性能指标。

（1）上升时间（risetime）：

系统阶跃响应从零开始第一次上升到稳态值的时间（有时可取响应的稳态值得10%到90%所对应的时间）。

（2）延迟时间（delaytime）：

（3）峰值时间（peaktime）：

（4）调节时间（settingtime）：

（5）超调量（overshoot）:

系统阶跃响应的最大峰值与稳态值的差值与稳态值之比的百分数，即

误差带可取：

（6）振荡次数N：

在时间内，系统阶跃响应曲线穿越其稳态值次数的一半（穿越2次相当于振荡1次）。

（7）稳态误差（steadystateerror）：

当时间时，系统期望输出与实际输出之差，即

小结：

上述性能指标中反应了系统暂态响应的快速性，其中总体反应了系统响应的快速性，所以一般认为在之前为暂态响应，之后为稳态响应。

反应了系统暂态过程的振荡性，其本质反应了系统的相对稳定性。

反应了系统的稳态精度。

3.2一阶系统的时域分析

1．一阶系统的数学模型

一阶系统的微分方程：

一阶系统的传递函数：

式中为时间常数

系统结构图：

例一阶RC充电路：

2．一阶系统的单位阶跃响应

输入

输出

（1）延迟时间：

（2）上升时间：

（3）调节时间：

（4）响应曲线呈单调上升，无超调，无振荡。

响应速度与时间常数成反比，即越小，响应速度越快，在处最大，并随时间增大而变小，直至为零。

（5）稳态误差：

3．一阶系统单位脉冲响应

（1）响应曲线呈单调下降，无超调，无振荡，在处下降速率最大，之后速率变小，且下降速率与时间常数成反比，即越小，下降速率越快。