难题突破专题七 图形变换综合探究题Word文档格式.docx
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(3)根据点与直线上所有点的连线中垂线段最短,可得当NM⊥BD时,MN最小.根据线段的和差即可求得答案.
类型2 折叠问题
2[2015·
衢州]如图Z7-2①,将矩形ABCD沿DE折叠使顶点A落在点A′处,然后将矩形展平,沿EF折叠使顶点A落在折痕DE上的点G处,再将矩形ABCD沿CE折叠,此时顶点B恰好落在DE上的点H处,如图②.
(1)求证EG=CH;
(2)已知AF=,求AD和AB的长.
图Z7-2
(1)由折叠的性质及矩形的性质可知________=________=________,__________=________,再根据四边形ABCD是矩形,可得____________=________,等量代换即可证明EG=CH;
(2)由折叠的性质可知∠ADE=________°
,∠FGE=∠A=90°
,AF=,那么DG=________,利用勾股定理求出DF=________,于是可得AD=AF+DF=________;
再利用AAS证明△AEF≌△BCE,得到____________,于是AB=AE+BE=________.
解题方法点析
折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等.解决折叠问题要注意折叠前后对应点的位置;
掌握辅助线的作法;
折痕两边折叠部分是全等的;
折叠的某点与所落位置之间线段被折痕垂直平分.
类型3 旋转变换问题
3[2016·
成都]如图Z7-3①,△ABC中,∠ABC=45°
,AH⊥BC于点H,点D在AH上,且DH=CH,连结BD.
图Z7-3
(1)求证:
BD=AC;
(2)将△BHD绕点H旋转,得到△EHF(点B,D分别与点E,F对应),连结AE.
(ⅰ)如图②,当点F落在AC上时(F不与C重合),若BC=4,tanC=3,求AE的长;
(ⅱ)如图③,当△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°
得到时,设射线CF与AE相交于点G,连结GH,试探究线段GH与EF之间满足的等量关系,并说明理由.
(1)先判断出AH=BH,再证明△BHD≌△AHC即可;
(2)(ⅰ)在Rt△AHC中,tanC=________=3.由AH=BH及BC=4可求得AH=________,CH=________,过点H作HP⊥AE于P,然后根据△EHA∽△FHC,得到HP=________AP,AE=________AP,最后用勾股定理求解即可;
(ⅱ)设AH与CG交于点Q.先判断出△AGQ∽△CHQ,得到________,然后判断出△AQC∽△GQH,最后用相似比求解即可.
专题训练
1.[2017·
菏泽]如图Z7-4,将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°
,得到△A′B′C,连结AA′,若∠1=25°
,则∠BAA′的度数是( )
A.55°
B.60°
C.65°
D.70°
图Z7-4图Z7-5
2.[2017·
舟山]如图Z7-5,在平面直角坐标系xOy中,已知点A(,0),B(1,1).若平移点A到点C,使以点O,A,C,B为顶点的四边形是菱形,则正确的平移方法是( )
A.向左平移1个单位,在向下平移1个单位
B.向左平移(-1)个单位,再向上平移1个单位
C.向右平移(-1)个单位,再向上平移1个单位
D.向右平移1个单位,再向上平移1个单位
3.[2016·
聊城]如图Z7-6,把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后,点A落在CD边上的点A′处,点B落在点B′处,若∠2=40°
,则图中∠1的度数为( )
A.115°
B.120°
C.130°
D.140°
图Z7-6图Z7-7
4.[2016·
温州]如图Z7-7,一张三角形纸片ABC,其中∠C=90°
,AC=4,BC=3.现小林将纸片做三次折叠:
第一次使点A落在C处,将纸片展平做第二次折叠,使点B落在C处,再将纸片展平做第三次折叠,使点A落在B处.这三次折叠的折痕长依次记为a,b,c,则a,b,c的大小关系是( )
A.c>
a>
bB.b>
cC.c>
b>
aD.b>
c>
a
5.[2017·
贵港]如图Z7-8,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C,M是BC的中点,P是A′B′的中点,连结PM.若BC=2,∠BAC=30°
,则线段PM的最大值是( )
图Z7-8
A.4B.3C.2D.1
6.如图Z7-9,折叠矩形纸片ABCD,使B点落在AD上一点E处,折痕的两端点分别在AB,BC上(含端点),且AB=6,BC=10.设AE=x,则x的取值范围是________.
图Z7-9
7.[2017·
武汉]如图Z7-10,在△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=120°
,点D,E都在边BC上,∠DAE=60°
.若BD=2CE,则DE的长为________.
图Z7-10
8.如图Z7-11,是两块完全一样的含30°
角的三角板,分别记作△ABC和△A1B1C1,现将两块三角板重叠在一起,设较长直角边的中点为M,绕中点M转动上面的三角板ABC,使其直角顶点C恰好落在三角板A1B1C1的斜边A1B1上.当∠A=30°
,AC=10时,两直角顶点C,C1的距离是________.
图Z7-11图Z7-12
9.[2017·
德阳]如图Z7-12,将△ABC沿BC翻折得到△DBC,再将△DBC绕点C逆时针旋转60°
得到△FEC,延长BD交EF于H,已知∠ABC=30°
,∠BAC=90°
,AC=1,则四边形CDHF的面积为________.
10.[2017·
舟山]一副含30°
和45°
角的三角板ABC和DEF叠合在一起,边BC与EF重合,BC=EF=12cm(如图Z7-13①),点G为边BC(EF)的中点,边FD与AB相交于点H,现将三角板DEF绕点G按顺时针方向旋转(如图Z7-13②),在∠CGF从0°
到60°
的变化过程中,观察点H的位置变化,点H相应移动的路径长共为________.(结果保留根号)
图Z7-13
11.[2017·
自贡]如图Z7-14①,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A(-1,0),点B(0,).
(1)求∠BAO的度数.
(2)如图①,将△AOB绕点O顺时针旋转得△A′OB′,当点A′恰好落在AB边上时,设△AB′O的面积为S1,△BA′O的面积为S2,S1与S2有何关系?
为什么?
(3)若将△AOB绕点O顺时针旋转到如图Z7-14②所示的位置,S1与S2的关系发生变化了吗?
证明你的判断.
图Z7-14
12.[2017·
赤峰]△OPA和△OQB分别是以OP,OQ为直角边的等腰直角三角形,点C,D,E分别是OA,OB,AB的中点.
(1)当∠AOB=90°
时,如图Z7-15①,连结PE,QE,直接写出EP与EQ的大小关系;
(2)将△OQB绕点O逆时针方向旋转,当∠AOB是锐角时,如图Z7-15②,
(1)中的结论是否成立?
若成立,请给出证明;
若不成立,请加以说明.
(3)仍将△OQB绕点O旋转,当∠AOB为钝角时,延长PC,QD交于点G,使△ABG为等边三角形,如图Z7-15③,求∠AOB的度数.
图Z7-15
参考答案
例1 【例题分层分析】
(1)3 15
解:
(1)在Rt△ABC中,∠ABC=30°
,
则∠BAC=60°
,AB=2AC=12cm,BC=6cm.
如图①,当点C在EF上时,∠C′A′E=60°
,则A′E=A′C′=3cm,
所以AA′=AE-A′E=15cm.故x=15cm.
(2)如图②,当0≤x≤6时,BD=x,DG=x,
则BG=x,所以y=DG·
BG=x2.
如图③,当6<
x≤12时,BD=x,BE=x-6,
则DG=x,BG=x,EH=(x-6),
所以y=DG·
BG-EH·
BE=x2-(x-6)2=-x2+2x-6.
如图④,当12<
x≤15时,BE=x-6,
则EH=(x-6),
则y=AC·
BC-EH·
BE=18-(x-6)2=-x2+2x+12.
(3)当NM⊥BD时,MN最小.
如图⑤,由题意可知DN=FN=DF=6cm,DP=DN=3cm,则PN=3cm.
BM=CM=BC=3cm,则PM=cm,
所以MN=PN-PM=cm.
故点M,N之间距离的最小值为cm.
例2 【例题分层分析】
(1)AE AD EG BC CH AD BC
(2)45 2 +2 AF=BE 2+2
(1)证明:
由折叠知AE=AD=EG,BC=CH,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC,∴EG=CH.
(2)∵∠ADE=45°
,AF=,
∴DG=FG=,DF=2,
∴AD=AF+DF=+2.
由折叠知∠AEF=∠GEF,∠BEC=∠HEC,
∴∠GEF+∠HEC=90°
,∠AEF+∠BEC=90°
.
∵∠AEF+∠AFE=90°
∴∠BEC=∠AFE.
在△AEF与△BCE中,
∴△AEF≌△BCE,∴AF=BE,
∴AB=AE+BE=+2+=2+2.
例3 【例题分层分析】
(2)(ⅰ) 3 1 3 2 (ⅱ)=
在Rt△AHB中,∠ABH=45°
∴AH=BH.
在△BHD和△AHC中,
∴△BHD≌△AHC,∴BD=AC.
(2)(ⅰ)如图,
在Rt△AHC中,
∵tanC=3,∴=3.
设CH=x,则BH=AH=3x,
∵BC=4,∴3x+x=4,
∴x=1,
∴AH=3,CH=1.
由旋转知,∠EHF=∠BHD=∠AHC=90°
,EH=AH=3,CH=DH=FH=1,
∴∠EHA=∠FHC,==1,
∴△EHA∽△FHC,∴∠EAH=∠C,
∴tan∠EAH=tanC=3.
过点H作HP⊥AE于点P,
则HP=3A