版高中数学第三章三角恒等变换313二倍角的正弦余弦正切公式导学案新人教A版docWord下载.docx
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α＝1，你能否只用sinα或cosα
表示cos2α？
答案cos2α＝cosα－sin
α＝cos
α－（1－cos
22
α）＝2cosα－1；
或cos2α＝cosα－sin
α＝（1－sin
α）－sin
α＝1－2sin
α.
知识点二二倍角公式的变形
1.公式的逆用
1
2sinαcosα＝sin2α，sinαcosα＝sin2α，
cos
α＝cos2α，
＝tan2α.
2.二倍角公式的重要变形——升幂公式和降幂公式
升幂公式
1＋cos2α＝2cosα，1－cos2α＝2sin
α，
1＋cosα＝2cos
2α
，1－cosα＝2sin
降幂公式
α＝
1＋cos2α
，sin
1－cos2α
类型一给角求值
例1求下列各式的值：
（1）cos72°
cos36°
；
（2）
3
－
215°
（3）
275°
tan75°
；
（4）
sin10°
cos10°
解
（1）cos36°
cos72°
＝
2sin36°
2sin72°
4sin36°
＝
sin144°
4sin36°
4
（2）
12
33
15°
＝－
（2cos
－1）＝－
cos30°
6
75°
＝2·
2tan75°
tan150°
＝－23.
－3sin10°
sin10°
cos10°
321
－sin10°
22＝
4sin30°
－cos30°
2sin10°
4sin20°
sin20°
＝4.
反思与感悟对于给角求值问题，一般有两类：
（1）直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转
化，一般可以化为特殊角.
（2）若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，
需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的
形式.
跟踪训练1求下列各式的值：
（1）cos
2π
7
4π
6π
sin50°
＋
cos50°
解
（1）原式＝
2sin
sin
8π
4sin
π
8sin
7
8
（2）原式＝
＋3sin50°
cos50°
13
＋sin50°
×
2sin50°
2sin80°
sin100°
2sin80°
sin80°
类型二给值求值
例2
（1）若sinα－cosα＝
，则sin2α＝.
答案
9
解析（sinα－cosα）
＝sin
α－2sinαcosα
＝1－sin2α＝
?
sin2α＝1－
（2）若tanα＝，则cos
α＋2sin2α等于（）
A.
64
25
B.
48
C.1D.
16
答案A
解析cos
α＋2sin2α＝
cosα＋4sinαcosα
cosα＋sin
1＋4tanα
1＋tan
把tanα＝
代入，得
3
1＋4×
44
＝＝
1＋
故选A.
引申探究
在本例
（1）中，若改为sinα＋cosα＝
，求sin2α.
解由题意，得（sinα＋cosα）
＝，
∴1＋2sinαcosα＝
，
即1＋sin2α＝
∴sin2α＝－
反思与感悟
（1）条件求值问题常有两种解题途径：
①对题设条件变形，把条件中的角、函数
名向结论中的角、函数名靠拢；
②对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、
函数名靠拢，以便将题设条件代入结论.
（2）一个重要结论：
（sinθ±
cosθ）
＝1±
sin2θ.
跟踪训练2已知tanα＝2.
（1）求tanα＋
的值；
（2）求
sin2α
的值.
α＋sinαcosα－cos2α－1
解
（1）tanα＋
tantanα＋
1－tanαtan
2＋1
1－2×
1
＝－3.
2sinαcosα
α＋sinαcosα－2cos
tan
α＋tanα－2
2×
2
＝1.
4＋2－2
类型三利用倍角公式化简
例3化简
2tan
2cos
α－1
－αsin
2π
＋α
解方法一原式＝
2·
－α
2cosα－1
－2α
c
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