江苏省南京市届高三数学学情调研测试试题2含答案Word文件下载.docx

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5．若函数f（x）＝a＋是奇函数，则实数a的值为▲．

6．在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y2＝4x的准线与双曲线

－＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的交点的纵坐标为2，则

该双曲线的离心率是▲．

7．不透明的盒子中有大小、形状和质地都相同的5只球，其中2只白球，3只红球，现从中随机取出2只球，则取出的这2只球颜色相同的概率是▲．

8．已知函数f（x）＝2sin（2x＋φ）（－＜φ＜）的图象关于直线x＝对称，则f（0）的值为▲．

9．如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝2，AA1＝3，则四棱锥A1－B1C1CB的体积是▲．

10．在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝an＋（n∈N*），则a10的值

为▲．

11．已知△ABC的面积为3，且AC－AB＝2，cosA＝－，则BC的长

12．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°

，E为边BC上一点，且·

＝6，

·

＝，则·

的值为▲．

13．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（1，－1），点P为圆（x－4）2＋y2＝4上任意一点，记△OAP和△OBP的面积分别为S1和S2，则的最小值是▲．

14．若函数f（x）＝ax2－ex＋1在x＝x1和x＝x2两处取到极值，且≥2，则实数a的取值范围

是▲．

二、解答题：

本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

如图，已知四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面BCE，BC＝EC，F是BE的中点．

（1）求证：

DE∥平面ACF；

（2）求证：

平面AFC⊥平面ABE．

16．（本小题满分14分）

已知α，β为钝角，且sinα＝，cos2β＝－．

（1）求tanβ的值；

（2）求cos（2α＋β）的值．

17．（本小题满分14分）

销售甲种商品所得利润是P万元，它与投入资金t万元的关系有经验公式P＝，销售乙种商品所得利润是Q万元，它与投入资金t万元的关系有经验公式Q＝bt，其中a，b为常数．现将3万元资金全部投入甲、乙两种商品的销售：

若全部投入甲种商品，所得利润为万元；

若全部投入乙种商品，所得利润为1万元．若将3万元资金中的x万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售，则所得利润总和为f（x）万元．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）怎样将3万元资金分配给甲、乙两种商品，才能使所得利润总和最大，并求最大值．

18．（本小题满分16分）

在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：

＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，且直线l：

x＝2被椭圆E截得的弦长为2．与坐标轴不垂直的直线交椭圆E于P，Q两点，且PQ的中点R在直线l上．点M（1，0）．

（1）求椭圆E的方程；

MR⊥PQ．

19．（本小题满分16分）

已知函数f（x）＝lnx，g（x）＝x2．

（1）求过原点（0，0），且与函数f（x）的图象相切的直线l的方程；

（2）若a＞0，求函数φ（x）＝|g（x）－2a2f（x）|在区间[1，＋∞）上的最小值．

20．（本小题满分16分）

如果数列{an}共有k（k∈N*，k≥4）项，且满足条件：

①a1＋a2＋…＋ak＝0；

②|a1|＋|a2|＋…＋|ak|＝1，

则称数列{an}为P（k）数列．

（1）若等比数列{an}为P（4）数列，求a1的值；

（2）已知m为给定的正整数，且m≥2．

①若公差为正数的等差数列{an}是P（2m＋3）数列，求数列{an}的公差；

②若an＝其中q为常数，q＜－1．判断数列{an}是否为P（2m）数列，说明理由．

南京市2019届高三年级学情调研

数学参考答案及评分标准2018.09

说明：

1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；

如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，填空题不给中间分数．

本大题共14小题，每小题5分，计70分．

1．22．－23．64．85．

6．7．8．19．210．

11．812．－13．2－14．[，＋∞）

本大题共6小题，共90分．

15．证明：

（1）连结BD，交AC于点O，连结OF．

因为四边形ABCD是矩形，O是矩形ABCD对角线的交点，

所以O为BD的中点．

又因为F是BE的中点，

所以在△BED中，OF∥DE．………………4分

因为OF平面AFC，DE平面AFC，

所以DE∥平面AFC．………………6分

（2）因为四边形ABCD是矩形，所以AB⊥BC．

又因为平面ABCD⊥平面BCE，且平面ABCD∩平面BCE＝BC，AB面ABCD，

所以AB⊥平面BCE．……………………9分

因为CF平面BCE，所以AB⊥CF．

在△BCE中，因为CE＝CB，F是BE的中点，

所以CF⊥BE．……………………11分

因为AB平面ABE，BE平面ABE，AB∩BE＝B，所以CF⊥面ABE．

又CF平面AFC，所以平面AFC⊥平面ABE．……………………14分

16．解：

（1）因为cos2β＝－，cos2β＝2cos2β－1，

所以2cos2β－1＝－，解得cos2β＝．……………………2分

因为β为钝角，所以cosβ＝－．

从而sinβ＝＝＝．……………………5分

所以tanβ＝＝＝－2．……………………7分

（2）因为α为钝角，sinα＝，

所以cosα＝－＝－＝－．……………………9分

所以sin2α＝2sinαcosα＝2×

×

（－）＝－，

cos2α＝1－2sin2α＝1－2×

（）2＝．……………………11分

从而cos（2α＋β）＝cos2αcosβ－sin2αsinβ

＝×

（－）－（－）×

＝．……………………14分

17．解：

（1）由题意，P＝，Q＝bt，

故当t＝3时，P＝＝，Q＝3b＝1．……………………3分

解得a＝3，b＝．……………………5分

所以P＝，Q＝t．

从而f（x）＝＋，x∈[0，3]．……………………7分

（2）由

（1）可得：

f（x）＝＋＝－（＋）．

……………………9分

因为x∈[0，3]，所以x＋1∈[1，4]，

故＋≥2，

从而f（x）≤－2＝．……………………11分

当且仅当＝，即x＝2时取等号．

所以f（x）的最大值为．

答：

分别投入2万元、1万元销售甲、乙两种商品时，所得利润总和最大，最大利润是万元．……………………14分

18．解：

（1）因为椭圆＋＝1（a＞b＞0）的离心率e＝，

所以e2＝＝1－＝，即a2＝2b2．……………………2分

因为直线l：

x＝2被椭圆E截得的弦长为2，

所以点（2，1）在椭圆上，即＋＝1．

解得a2＝6，b2＝3，

所以椭圆E的方程为＋＝1．……………………6分

（2）解法一：

因为直线PQ与坐标轴不垂直，故设PQ所在直线的方程为y＝kx＋m．

设P（x1，y1），Q（x2，y2）．

因为PQ的中点R在直线l：

x＝2上，故R（2，2k＋m）．

联立方程组

消去y，并化简得（1＋2k2）x2＋4kmx＋2m2－6＝0，……………………9分

所以x1＋x2＝．（*）

由x1＋x2＝＝4，得1＋2k2＝－km．①…………………12分

因为M（1，0），故kMR＝＝2k＋m，

所以kMR·

kPQ＝（2k＋m）k＝2k2＋km＝2k2－（1＋2k2）＝－1，

所以MR⊥PQ．……………………16分

解法二：

设P（x1，y1），Q（x2，y2）．

x＝2上，故设R（2，t）．

因为点P，Q在椭圆E：

＋＝1上，所以

两式相减得（x1＋x2）（x1－x2）＋2（y1＋y2）（y1－y2）＝0．…………………9分

因为线段PQ的中点为R，所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝2t．

代入上式并化简得（x1－x2）＋t（y1－y2）＝0．……………………12分

又M（1，0），

所以·

＝（2－1）×

（x2－x1）＋（t－0）×

（y2－y1）＝0，

因此MR⊥PQ．……………………16分

19．解：

（1）因为f（x）＝lnx，所以f′（x）＝（x＞0）．

设直线l与函数f（x）的图象相切于点（x0，y0），

则直线l的方程为y－y0＝（x－x0），即y－lnx0＝（x－x0）．

……………………3分

因为直线l经过点（0，0），

所以0－lnx0＝（0－x0），即lnx0＝1，解得x0＝e．

因此直线l的方程为y＝x，即x－ey＝0．……………………6分

（2）考察函数H（x）＝g（x）－2a2f（x）＝x2－2a2lnx．

H′（x）＝2x－＝（x＞0）．

因为a＞0，故由H′（x）＝0，解得x＝a．……………………8分

①当0＜a≤1时，H′（x）≥0在[1，＋∞）上恒成立，H（x）在区间[1，＋∞）上递增，

所以H（x）min＝H

（1）＝1＞0，所以φ（x）min＝1．……………………11分

②当a＞1时，H（x）在区间[1，a]上递减，在区间[a，＋∞）上递增，

所以H（x）min＝H（a）＝a2（1－2lna）．

（ⅰ）当1－2lna≤0，即a∈[，＋∞）时，H（x）min＝a2（1－2lna）≤0，

又H

（1）＝1＞0，所以φ（x）min＝0．

（ⅱ）当1－2lna＞0，a∈（1，）时，H（x）min＝a2（1－2lna）＞0，

所以φ（x）min＝a2（1－2lna）．

综上φ（x）min＝……………………16分

20．解：

（1）设等比数列{an}的公比为q．

因为数列{an}为P（4）数列，所以a1＋a2＋a3＋a4＝0，

从而1＋q＋q2＋q3＝0，即（1＋q）（1＋q2）＝0．

所以q＝－1．

又因为|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|