最新集合知识点与题型归纳Word文档下载推荐.docx
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自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
表示法
N
N*或N＋
Z
Q
R
4、集合有三种表示方法：
列举法、描述法、图示法
还可以用区间来表示集合．
5、集合的分类：
按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、空集
知识点二集合间的基本关系
知识点三集合的基本运算及性质
1.集合的基本运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号
表示
A∪B
A∩B
若全集为U，则集合A的补集为∁UA
图形
意义
{x|x∈A或x∈B}
{x|x∈A且x∈B}
∁UA＝{x|x∈U且x∉A}
注意补集的相对性
2.集合的运算性质
并集的性质：
A∪＝A；
A∪A＝A；
A∪B＝B∪A；
A∪B＝A⇔B⊆A
交集的性质：
A∩＝；
A∩A＝A；
A∩B＝B∩A；
A∩B＝A⇔A⊆B
补集的性质：
A∪（∁UA）＝U；
A∩（∁UA）＝；
∁U（∁UA）＝A
二、例题分析：
（一）元素与集合之间的关系
例1.
（1）《名师一号》P1对点自测2
已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{（x，y）|y＝x}，则A∩B＝________.
答案：
注意：
《名师一号》P2高频考点例1规律方法
（1）
用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，
再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合．
《名师一号》P2问题探究问题2
、{}与{0}有什么区别与联系？
是空集，不含任何元素．{}不是空集，它含有一个元素；
同样，{0}也不是空集，它含有一个元素0.
由于空集是任何集合的子集，故{0}，{}；
又根据是{}的一个元素，也可以得到∈{}．另外，{}∩{0}＝.
例1.
（2）（补充）,,
，，，
则（）
D
练习:
《名师一号》P2高频考点变式思考1
（1）
已知集合A＝{（x，y）|x，y∈R，且x2＋y2＝1}，
B＝{（x，y）|x，y∈R，且y＝x}，则A∩B的元素个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
2
集合与解析几何
集合与平面解析几何结合是高考的又一热点，
这类题型一般以集合为载体考查解析几何基本图形的性质
及相互之间的关系，解题关键是抓住表达式的几何意义．
练习1：
已知集合M＝{（x，y）|y－1＝k（x－1），x，y∈R}，
集合N＝{（x，y）|x2＋y2－2y＝0，x，y∈R}，那么M∩N中（）
A．不可能有两个元素B．至多有一个元素
C．不可能只有一个元素D．必含无数个元素
解析：
y－1＝k（x－1）表示经过定点（1,1），斜率为k的直线，
不包括通过（1,1）与x轴垂直的直线即x＝1.
x2＋y2－2y＝0，可化为x2＋（y－1）2＝1，表示圆心在（0,1），
半径等于1的圆，又（1,1）是圆上的点，
∴直线与圆有两个交点，故选C.
练习2：
已知集合，
，
若，则实数的取值范围是（）
A．B．
C．D．
B
例2．
（1）《名师一号》P1对点自测3
已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，则m的值为________．
解析:
因为5∈{1，m＋2，m2＋4}，所以m＋2＝5或m2＋4＝5，
即m＝3或m＝±
1.
当m＝3时，M＝{1,5,13}；
当m＝1时，M＝{1,3,5}；
当m＝－1时，M＝{1,1,5}不满足互异性．
所以m的值为3或1.
《名师一号》P2问题探究问题1
如何正确认识集合的三大特性？
集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到．
解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化．
例2．
（2）《名师一号》P2高频考点例1
已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x－y∈A}，
则B中所含元素的个数为（ ）
A．3B．6C．8D．10
由x－y∈A，及A＝{1,2,3,4,5}得x>
y，
当y＝1时，x可取2,3,4,5，有4个；
当y＝2时，x可取3,4,5，有3个；
当y＝3时，x可取4,5，有2个；
当y＝4时，x可取5，有1个．
故共有1＋2＋3＋4＝10（个），选D.
《名师一号》P2高频考点例1规律方法
（2）
集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．
分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．
例2．（3）《名师一号》P2高频考点例1
（2）
（07全国Ⅰ）设,集合
则（）
A．1B．C．2D．
因为{1，a＋b，a}＝，a≠0，
所以a＋b＝0，得＝－1，
所以a＝－1，b＝1.所以b－a＝2.
利用互异性解题
练习：
（补充）
设P、Q为两个非空实数集合，定义集合
P*Q＝{x|x＝a·
b，“·
”为通常的乘法运算，a∈P，b∈Q}，
若P＝{0,2,4}，Q＝{1,2,6}，则P*Q中元素的个数是（ ）
A．9B．8C．7D．6
由题意可知P*Q＝{0,2,4,8,12,24}．故选D.
本题易形成错解：
从P中选取元素a有3种选法，
对于它的每一种选法，在Q中选取b有3种选法，
∴共有3×
3＝9种，∴选A.
例3．（补充）
在集合M＝{0，，1,2,3}的所有非空子集中任取一个集合，
该集合恰满足条件“对∀x∈A，有∈A”的概率是________．
集合M的非空子集有25－1＝31个，而满足条件
“对∀x∈A，则∈A”的集合A中的元素为1、或2，
且，2要同时出现，故这样的集合有3个：
{1}，{，2}，{1，，2}．因此，所求的概率为.
1、一般地，若，则元素一定满足集合
中元素的共同特征
2、《名师一号》P2对点自测4
（2）
含有n个元素的集合的子集个数是2n，
真子集个数是2n－1，非空真子集的个数是2n－2.
《名师一号》P2高频考点例1变式思考1
（2）
若集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}的子集只有两个，则实数a＝________.
∵集合A的子集只有两个，∴A中只有一个元素．
当a＝0时，x＝符合要求．
当a≠0时，Δ＝（－3）2－4a×
2＝0，∴a＝.
故a＝0或.
设集合，
，则点的
充要条件是
且
（二）集合与集合之间的关系
例1．
（1）《名师一号》P2高频考点例2
（1）
已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<
x<
2m－1}，
若BA，求实数m的取值范围．
当B＝时，有m＋1≥2m－1，则m≤2.
当B≠时，若BA，如图．
则解得2<
m≤4.
综上，m的取值范围是（－∞，4]．
例1．
（2）《名师一号》P2高频考点例2
（2）
设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，
B＝{x|x2＋（m＋1）x＋m＝0}．
若（∁UA）∩B＝，求m的值．
A＝{－2，－1}，由（∁UA）∩B＝，得BA.
∵方程x2＋（m＋1）x＋m＝0的判别式Δ＝（m＋1）2－4m＝（m－1）2≥0，
∴B≠.
∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}．
①若B＝{－1}，则m＝1；
②若B＝{－2}，则应有－（m＋1）＝（－2）＋（－2）＝－4，
且m＝（－2）·
（－2）＝4，这两式不能同时成立，
∴B≠{－2}；
③若B＝{－1，－2}，则应有－（m＋1）＝（－1）＋（－2）＝－3，
且m＝（－1）·
（－2）＝2，由这两式得m＝2.
经检验知m＝1和m＝2符合条件．∴m＝1或2.
《名师一号》P2高频考点例2规律方法
（1）已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，
对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解．
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
如AB时，A有两种情况：
与
（2）在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是
合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式（或方程）时，
要对参数进行讨论．
解含参数的问题，要有讨论的意识，分类讨论时要注意空集
（3）区分“包含于”、“包含”、“真包含”、“不包含”
关注区间端点值是否取到—具体检验！
（4）方程与不等式的解集
《名师一号》P3高频考点例3变式思考3
（1）
已知全集为R，集合A＝，
B＝{x|x2－6x＋8≤0}，则A∩∁RB＝（ ）
A．{x|x≤0}B．{x|2≤x≤4}
C．{x|0≤x<
2，或x>
4}D．{x|0<
x≤2，或x≥4}
A＝＝{x|x≥0}，B＝{x|2≤x≤4}，
所以∁RB＝{x|x<
4}，此时A∩∁RB＝{x|0≤x<
4}．
练习2:
（补充）设集合，，
则（）
（三）集合的运算
例1．《名师一号》P2高频考点例3
（2）
已知R是实数集，集合P＝{x|y＝ln（x2＋2014x－2015）}，
Q＝{y|y＝}，则（∁RP）∪Q＝（ ）
A．（0,1]B．[0,1]C．（－2015,1]D．[－2015,2]
集合P表示函数y＝ln（x2＋2014x－2015）的定义域，
由x2＋2014x－2015>
0，即（x－1）（x＋2015）>
0，
解得x<
－2015或x>
1.故P＝（－∞，－2015）∪（1，＋∞），
∁RP＝[－2015,1]．
集合Q表示函数y＝的值域，
设t＝－x2＋2x＋3，则y＝.
因为t＝－x2＋2x＋3＝－（x－1）2＋4≤4，
所以y＝∈[0,2]，即Q＝[0,2]．
所以（∁RP）∪Q＝[－2015,2]，故选D.
1、正确解读集合语言
集合的运算问题要依据交、并、补运算的定义求解
同时关注区间端点值是否取到
2、《名师一号》P2问题探究问题4
数轴和Venn图是进行交、并、补集运算的有力工具，
数形结合是解集合问题的常用方法，解题时要先把集合中
各种形式的元素化简，使之明确化，尽可能地借助
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