实验一微分学基础文档格式.docx
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一、实验目的：
学习使用Mathematica的一些基本功能来验证或观察得出微积分学的几个基本理论。
1、函数应用及图像
2、数e
3、积分与自然对数
4、调和数列
5、双曲函数
2、实验环境
基于Windows环境下的Mathematica7.0软件。
3、实验的基本理论与方法
使用Mathematica4.0软件可绘制函数图像。
4、实验的容和步骤及得到的结果和分析
实验1函数及其图像
1.1Taylor级数
1.1.1
（1）实验容：
在同一坐标系中画出同一个区间上的函数图像的图像，观察哪一条与正弦函数的图像最接近。
（2）实验步骤：
在Mathematica7.0输入语句如下：
Plot[{Sin[x],0.8x,x,1.2x},{x,-Pi,Pi}]
（3）实验结果：
（4）结果分析：
在具有不同斜率k的过原点的直线中，时的直线与正弦曲线在原点附近最接近；
且从原点出发沿直线前进与沿正弦曲线前进的方向是一致的，在原点附近很小的一段旅程两条线路几乎看不出任何差别，但继续下去，两条线路就分道扬镳了：
直线沿原来的方向继续前进，而正弦曲线则开始转弯，两条线路越离越远。
1.1.2
（1）实验容：
在同一坐标系中做出区间上正弦函数图像及多项式的图像，观察这些多项式函数的图像逼近正弦曲线的情况。
Plot[{Sin[x],x-x3/6,x-x3/6+x5/120,x-x3/3!
+x5/5!
-x7/7!
},{x,-Pi,Pi}]
curve1=Plot[Sin[x],{x,-Pi,Pi},PlotStyle{RGBColor[1,0,0]}];
curve2=Plot[x-x3/6+x5/120,{x,-Pi,Pi},PlotStyle{RGBColor[1,0,1]}];
curve3=Plot[x-x3/3!
{x,-Pi,Pi}];
Show[curve1,curve2,curve3]
通过图像可以看出，次数越来越高的多项式函数的图像越来越好的逼近正弦函数的图像，这些多项式是的泰勒级数
的前若干项组成的。
1.2函数的升降、零点和极值
1.2.1
（1）实验容：
在同一坐标系中做出函数及其导数的图像，观察（ⅰ）当时y的图像的升降情况及当时，y是否有极大值或极小值；
（ⅱ）观察得出方程的根的近似值a,比如a=2.5,最后求出在x=2.5附近的根的更精确的近似值。
Plot[{x-x3/6,1-x2/2},{x,-4,4}]；
FindRoot[x-x^3/6,{x,2.5}]
{x2.44949}
当时，y的图像在区间上升，在区间上下降；
当，在区间上上升，在区间上下降。
观察得出的根近似的有。
通过编程得出，在x=2.5附近的根的更精确的近似值为2.44949.
1.2.2
（1）实验容：
设对n=3，4，5，6，7依次求出在x=3附近的零点，观察：
随着n的增加，所求出的零点有何变化趋势？
有何道理？
f[x_,n_]:
=Sum[（-1）^k*x^（2*k+1）/（（2*k+1）!
）,{k,0,n}];
Do[Print[FindRoot[f[x,n],{x,3.0}]],{n,3,7}]
{x3.07864}
{x3.14869}
{x3.14115}
{x3.14161}
{x3.14159}
随着n的增加，所求出的零点越来月稳定于3.141附近，因为随着n的增加的图像越来越接近于的图像，因此由求得的根也就越来越接近与的根。
1.3正弦函数的叠加
1.3.1
（1）实验容：
分别画出区间上的函数
其中2m-1可以试验从小到大不同的值。
比如2m-1=9,19,519等。
分别观察所得的函数图像随着这个n值的增加的变化情况和变化趋势。
=Sum[Sin[k*x]/k,{k,1,n,2}]；
‘f[x_,n_]:
=表示定义一个以x,n为自变量的函数。
Plot[f[x,9],{x,-2Pi,Pi}]
=Sum[Sin[k*x]/k,{k,1,n,2}];
Plot[f[x,519],{x,-2Pi,Pi}]
由于每一项都是以为周期，经过求和之后的函数当然还是以为周期。
观察图像可知，当n值很大时，图像越来越接近于“方形”的波。
一般的，由于函数都以为周期，他们的实系数线性组合（也就是实数倍之和）
仍以为周期。
改变各个系数就得到各种不同形状的图像，只要不要太连续，就能得到所有的以为周期的函数的图像。
1.3.2
（1）实验容：
分别取n=30,300,3000,在同一坐标系中画出区间上函数的图像。
观察当n增加时向逼近的现象。
fgsin=Plot[Sin[x],{x,-4Pi,4Pi},PlotStyle->
{RGBColor[1,0,0]}];
p[x_,n_]:
=x*Product[1-x^2/（（k*Pi）^2）,{k,1,n}];
fgproduct=Plot[p[x,30],{x,-4Pi,4Pi}];
Show[fgsin,fgproduct]
可得的实验结果.
fgproduct=Plot[p[x,300],{x,-4Pi,4Pi}];
fgproduct=Plot[p[x,3000],{x,-4Pi,4Pi}];
n=30
n=300
n=3000
由图像可知：
当增加时，向逐渐逼近，当足够大时，的图像与完全重合.
1.4无极限的函数列
1.4.1
（1）实验容：
在区间[-1,1]上做出函数的图像，观察图像当时的变化情况。
在的附近仍然看不清楚，可以再放大，将区间改为[-0.01,0.01]甚至[-0.001，0.001]。
Plot[Sin[1/x],{x,-1,1}]
Plot[Sin[1/x],{x,-0.01,0.01}]
看得出当时曲线在和之间振荡，越接近于0就振荡的越快，越“疯狂”。
在的附近仍然看不清楚，可以再放大，将区间改为[-0.01,0.01]甚至[-0.001，0.001]，可以看出区间越小，曲线震荡的越“疯狂”，图像更加一塌糊涂。
1.4.2
（1）实验容：
从以上曲线中取一部分点，比如令，则当k增加时x向0趋近，相应的y值分别是，
。
这样就在曲线上取出了3000个点。
将这3000个点画在同一个坐标系中，看它们组成的图形是什么样子？
能否辨别出哪些点组成一条曲线？
T=Table[{1/k,Sin[k]},{k,1,3000}];
P=ListPlot[T]
d=44;
T1=Table[{1/k,Sin[k]},{k,3,3000,d}];
T2=Table[{1/k,Sin[k]},{k,6,3000,d}];
P1=ListPlot[T1,PlotJoinedTrue,PlotStyle{RGBColor[1,0,0]}];
P2=ListPlot[T2,PlotJoinedTrue,PlotStyle{RGBColor[1,0,0]}];
Show[P,P1,P2]
图一
图二
图一不但不是一塌糊涂、杂乱无章，反而很有规律，呈现出一些美丽的图案组成的网。
通过利用祖冲之说的近似值（约率），从而44约等于的7倍，接近，从某一个开始的一连串点组成图一的曲线中的一条。
实验2数e
2.1.1
（1）实验容：
观察当n趋于无穷大时数列的变化趋势。
Do[Print[{（1.0+1/10^n）^（10^n）,（1.0+1/10^n）^（10^n+1）}],{n,1,7}]
{2.59374,2.85312}
{2.70481,2.73186}
{2.71692,2.71964}
{2.71815,2.71842}
{2.71827,2.7183}
{2.71828,2.71828}
当n趋于无穷大时数列都趋近于2.71828，最后稳定于2.71828.
2.1.2
（1）实验容：
在同一坐标系中画出下面三个函数的图像，观察当增大时图像的走向。
Plot[{（1+10^（-x））^（10^x）,（1+10^（-x））^（10^x+1）,E},{x,1,4}]
Plot[{（1+10^（-x））^（10^x）,（1+10^（-x））^（10^x+1）,E},{x,2,4}]
Plot[{（1+10^（-x））^（10^x）,（1+10^（-x））^（10^x+1）,E},{x,3,5}]
通过观察可以看到，当n增大时，
严格单调递减。
随着n的无穷增大，无限接近，趋于共同的极限e=2.70828....以这个为底的自然对数。
2.1.3
（1）实验容：
计算的近似值，精确到小数点后30位。
Do[Print[N[1+Sum[1/（k!
）,{k,1,n}],30]],{n,5,30}]
2.7
2.6
2.5
2.4
2.0
2.2
2.1
2.3
2.8
上面的对数表反映了自然对数的产生过程。
在科学中广泛应用以e为底的的自然对数的更直接的理由是：
它使涉及到对数的微积分和积分公式变得更为简单。
2.2.1
（1）实验容：
通过运行Mathematica语句，计算当，时，的值。
观察当x趋于0时，是否趋于某一极限值
在Mathematica7
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