高中数学第一章三角函数142正弦函数余弦函数的性质一课时作业新人教版必修Word文档下载推荐.docx
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5.函数y=cos(k>
0)的最小正周期不大于2,则正整数k的最小值为_____.
解析 由已知≤2,∴k≥4π,又∵k∈N*,∴k的最小值为13.
答案 13
6.若函数f(x)是奇函数,当x>
0时,f(x)=x-sinx,求当x<
0时f(x)的解析式.
解 设x<
0,则-x>
0,
∴f(-x)=-x-sin(-x)=-x+sinx,
又f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x)
∴f(x)=x-sinx(x<
0).
7.函数f(x)满足f(x+2)=-,求证:
f(x)是周期函数,并求出它的一个周期.
证明 ∵f(x+4)=f[(x+2)+2]=-=f(x),
∴f(x)是周期函数,且4是它的一个周期.
8.判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=sin4x-cos4x+cos2x-sin2x;
(2)f(x)=.
解
(1)∵sin4x-cos4x+cos2x-sin2x=(sin2x+cos2x)·
(sin2x-cos2x)+cos2x-sin2x=0,
∴该函数既是奇函数,
又是偶函数.
(2)∵函数y=x2,y=cosx的图象都关于y轴对称,
则x2≠cosx的解集关于原点对称,
∴函数定义域是一个关于原点对称的区间,
又f(-x)===f(x),
∴该函数是偶函数.
9.下列函数中,周期为2π的是( )
A.y=sinB.y=sin2x
C.y=D.y=|sin2x|
解析 y=sin的周期为T==4π;
y=sin2x的周期为T==π;
y=的周期为T=2π;
y=|sin2x|的周期为T=.
故选C.
答案 C
10.设f(x)是定义域为R,最小正周期为的函数.若f(x)=
则f等于( )
A.1B.C.0D.-
解析 f=f=f=sin=.
答案 B
11.设函数f(x)=sinx,则f
(1)+f
(2)+f(3)+…+f(2013)=_____.
解析 ∵f(x)=sinx的周期T==6.
∴f
(1)+f
(2)+f(3)+…+f(2013)
=335[f
(1)+f
(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)]+f(2011)+f(2012)+f(2013)
=335
+f(335×
6+1)+f(335×
6+2)+f(335×
6+3)
=335×
0+f
(1)+f
(2)+f(3)
=sin+sinπ+sinπ
=.
答案
12.若函数f(x)=2cos的最小正周期为T,且T∈(1,3),则正整数ω的最大值是_____.
解析 由已知:
T=,∴1<
<
3,∴<
1,
∴π<
ω<
2π.又∵ω∈N*,∴ω最大值为6.
答案 6
13.已知f(x)是以π为周期的偶函数,且x∈时,f(x)=1-sinx,求当x∈时,f(x)的解析式.
解 当x∈时,3π-x∈,
因为x∈时,f(x)=1-sinx,
所以f(3π-x)=1-sin(3π-x)=1-sinx.
又∵f(x)是以π为周期的偶函数,
∴f(3π-x)=f(-x)=f(x),
∴f(x)=1-sinx,x∈.
探究创新
14.已知函数f(x)=log|sinx|.
(1)求其定义域和值域;
(2)判断其奇偶性;
(3)判断其周期性,若是周期函数,求其最小正周期.
解
(1)∵|sinx|>
0,∴sinx≠0,
∴x≠kπ,k∈Z.
∴函数的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z}.
∵0<
|sinx|≤1,
∴log|sinx|≥0,
∴函数的值域为{y|y≥0}.
(2)函数的定义域关于原点对称,
∵f(-x)=log|sin(-x)|=log|sinx|=f(x),
∴函数f(x)是偶函数.
(3)∵f(x+π)=log|sin(x+π)|=log|sinx|=f(x),
∴函数f(x)是周期函数,且最小正周期是π.
2019-2020年高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数余弦函数的性质二课时作业新人教版必修
1.函数y=xcosx+sinx的图象大致为( )
解析 函数y=xcosx+sinx为奇函数,所以图象关于原点对称,所以排除B.当x=π时,f(π)=-π<0,排除A,当x∈时y>0,排除C,选D.
2.若α,β都是第一象限的角,且α<
β,那么( )
A.sinα>
sinβB.sinβ>
sinα
C.sinα≥sinβD.sinα与sinβ的大小不定
3.函数y=2sin2x+2cosx-3的最大值是( )
A.-1B.1C.-D.-5
解析 由题意,得y=2sin2x+2cosx-3=2(1-cos2x)+2cosx-3=
-2-.∵-1≤cosx≤1,
∴当cosx=时,函数有最大值-.
4.sin1,sin2,sin3按从小到大排列的顺序为_______.
解析 ∵1<
2<
3<
π,
sin(π-2)=sin2,sin(π-3)=sin3.
y=sinx在上递增,且0<
π-3<
1<
π-2<
,
∴sin(π-3)<
sin1<
sin(π-2),
即sin3<
sin2.
答案 sin3<
sin2
5.若f(x)=2sinωx(0<
1)在区间上的最大值是,则ω=_____.
解析 ∵x∈,即0≤x≤,且0<
∴0≤ωx≤<
.∵f(x)max=2sin=,
∴sin=,=,即ω=.
6.求下列函数的单调增区间.
(1)y=1-sin;
(2)y=logcos.
解
(1)由2kπ+≤≤2kπ+π,k∈Z,
得4kπ+π≤x≤4kπ+3π,k∈Z.
∴y=1-sin的增区间为[4kπ+π,4kπ+3π](k∈Z).
(2)y=logcos=logcos.
要求原函数的增区间,即求函数y=cos的减区间,且cos>
0.
∴2kπ≤-<
2kπ+(k∈Z).
整理得4kπ+π≤x<
4kπ+π(k∈Z).
所以函数y=logcos的单调递增区间是
(k∈Z).
7.已知函数f(x)=asin+b(a>
(1)写出函数f(x)的单调递减区间;
(2)设x∈,f(x)的最小值是-2,最大值是,求实数a,b的值.
解
(1)由题意得2kπ+≤2x-≤2kπ+,k∈Z,
即kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,
∴函数f(x)的单调递减区间为,k∈Z.
(2)∵0≤x≤,∴-≤2x-≤,
∴-≤sin≤1,
∴f(x)min=-a+b=-2,f(x)max=a+b=.
由
8.求函数y=sin+cos的周期、单调区间及最大、最小值______.
解 ∵+=,
∴cos=cos=cos=sin.
从而原式就是y=2sin,这个函数的最小正周期为,即T=.
当-+2kπ≤4x+≤+2kπ(k∈Z)时函数单调递增,所以函数的单调递增区间为(k∈Z).
当+2kπ≤4x+≤+2kπ(k∈Z)时函数单调递减,所以函数的单调递减区间为(k∈Z).
当x=+(k∈Z)时,ymax=2;
当x=-+(k∈Z)时,ymin=-2.
能力提升
9.函数y=|sinx|的一个单调增区间是( )
A.B.
C.D.
解析 由y=|sinx|图象易得函数单调递增区间,k∈Z,当k=1时,得为y=|sinx|的单调递增区间.
10.函数y=2sinx的单调减区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析 函数y=2x为增函数,因此求函数y=2sinx的单调减区间即求函数y=
sinx的单调减区间.
11.已知函数y=2sin(3x+φ)关于点中心对称,则φ的一个可能取值为_____(只需填写一个即可).
解析 由题意,3×
+φ=kπ(k∈Z),所以φ=kπ-(k∈Z),令k=1,则φ=.
答案 (答案不唯一)
12.关于下列结论:
①函数y=sinx在第一象限是增函数;
②函数y=cos2是偶函数;
③函数y=4sin的一个对称中心是;
④函数y=sin在闭区间上是增函数.
其中所有正确的结论的序号为.
解析 ①第一象限的角是无数个不连续的区间构成,由函数单调性的定义,易知①错误.②y=cos2=cos=sin2x,是奇函数,②错误.③令z=2x-,又y=4sinz的对称中心是(kπ,0),∴2x-=kπ,∴x=+,当k=0时,x=,③正确.④显然错误.
答案 ③
13.已知函数y=2sin+3,x∈R.
(1)用五点法作出函数的简图;
(2)分别写出它的值域、单调区间.
解
(1)列表:
x-
π
2π
x
y
3
5
1
简图如图.
(2)值域为[1,5],
当x-∈(k∈Z)时,
即当x∈(k∈Z)时,为增函数.
∴单调增区间为(k∈Z).
即当x∈(k∈Z)时,为减函数.
∴单调减区间为(k∈Z).
14.设定义域为R的奇函数y=f(x)为减函数,f(cos2θ+2msinθ)+f(-2m-2)>
0恒成立,求实数m的取值范围.
解 ∵f(x)是奇函数,
∴f(cos2θ+2msinθ)>
-f(-2m-2)=f(2m+2).
又f(x)在R上递减,∴cos2θ+2msinθ<
2m+2,
即2m(1-sinθ)>
cos2θ-2.而sinθ=1时该不等式恒成立,∴当sinθ≠1时,m>
.
令t=1-sinθ,则t∈(0,2],
且g(θ)=
==-
=-≤1-.
故实数m的取值范围为(1-,+∞).