全国考研数三真题及解析docWord文档下载推荐.docx
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（A）（B）（C）（D）.
（4）设A是n阶矩阵，α是n维列向量.若秩秩，则线性方程组（）
AX=α必有无穷多解AX=α必有惟一解.
仅有零解必有非零解.
（5）将一枚硬币重复掷n次,以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数,则X和Y的相关系数等于（）
（A）-1（B）0（C）（D）1
三、（本题满分5分）
设u=f（x,y,z）有连续的一阶偏导数,又函数y=y（x）及z=z（x）分别由下列两式确定:
和求
四、（本题满分6分）
已知f（x）在（−∞,+∞）内可导,且求c的值.
五、（本题满分6分）
求二重积分的值,其中D是由直线y=x,y=−1及x=1围成的平面区域
六、（本题满分7分）
已知抛物线（其中p<
0,q>
0）在第一象限与直线x+y=5相切，且此抛物线与x轴所围成的平面图形的面积为S.
（1）问p和q为何值时，S达到最大?
（2）求出此最大值.
七、（本题满分6分）
设f（x）在区间[0,1]上连续,在（0,1）内可导,且满足
证明：
存在ξ∈（0,1）,使得
八、（本题满分7分）
已知满足（n为正整数）且求函数项级数
之和.
九、（本题满分9分）
设矩阵已知线性方程组AX=β有解但不唯一,试求:
（1）a的值;
（2）正交矩阵Q,使为对角矩阵.
十、（本题满分8分）
设A为n阶实对称矩阵，秩（A）=n，是中元素的代数余子式（i,j=1,2,…,n），二次型
（1）记把写成矩阵形式，并证明二次型的矩阵为;
（2）二次型与的规范形是否相同？
说明理由.
十一、（本题满分8分）
生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是随机的,假设每箱平均重50千克,标准差为5千克.若用最大载重量为5吨的汽车承运,试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱,才能保障不超载的概率大于0.977.（Φ
（2）=0.977,其中Φ（x）是标准正态分布函数）.
十二、（本题满分8分）
设随机变量X和Y对联和分布是正方形G={（x,y）|1≤x≤3,1≤y≤3}上的均匀分布，试求随机变量U={X−Y}的概率密度
2001年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
（1）
【答案】
【使用概念】设在处可导，且，则函数关于的弹性在处的值为
【详解】由，当时，即，有于是关于的弹性为：
（2）
【答案】
【详解】表示第t年的工资总额，则表示第年的工资总额，再根据每年的工资总额比上一年增加20％的基础上再追加2百万，所以由差分的定义可得满足的差分方程是：
（3）
【答案】-3
【详解】
方法1：
由初等变换（既可作初等行变换，也可作初等列变换）.不改变矩阵的秩，故对进行初等变换
可见只有当k=−3时，r（A）=3.故k=−3.
方法2：
由题设r（A）=3，故应有四阶矩阵行列式.由
解得k=1或k=−3.当k=1时，
可知，此时r（A）=1，不符合题意，因此一定有k=−3.
（4）
【所用概念性质】切比雪夫不等式为：
期望和方差的性质：
；
【详解】把看成是一个新的随机变量，则需要求出其期望和方差.
故
又相关系数的定义：
则
所以由切比雪夫不等式：
（5）
【答案】；
【所用概念】1.分布的定义：
其中
2.分布的定义：
若相互独立，且都服从标准正态分布，则
3.正态分布标准化的定义：
若，则
【详解】因为，将其标准化有，从而根据卡方分布的定义
由样本的独立性可知，与相互独立.
故，根据分布的定义
故服从第一个自由度为10，第二个自由度为5的分布.
【答案】[B]
由知
又函数的导数在处连续，根据函数在某点连续的定义，左极限等于右极限等于函数在这一点的值，所以，于是有
即，，根据判定极值的第二充分条件：
设函数在处具有二阶导数且，，当时，函数在处取得极大值.知是的极大值点，因此，正确选项为（B）.
由及极限保号性定理：
如果，且（或），那么存在常数，使得当时，有（或），知存在的去心邻域，在此去心邻域内.于是推知，在此去心邻域内当时；
当时又由条件知在处连续，由判定极值的第一充分条件：
设函数在处连续，且在的某去心领域内可导，若时，，而时，，则在处取得极大值，知为的极大值.因此，选（B）.
（D）
【详解】应先写出g（x）的表达式.
当时，，有
当时，，有
即
因为，，
且，
所以由函数连续的定义，知在点处连续，所以在区间内连续，选（D）.
同样，可以验证（A）、（B）不正确，时，，单调增，所以（B）递减错；
同理可以验证当时，，单调增，所以，即与选项（A）无界矛盾.
（3）
【答案】（C）
【详解】由所给矩阵观察，将的列互换，再将的列互换，可得.根据初等矩阵变换的性质，知将的列互换相当于在矩阵的右侧乘以，将的列互换相当于在矩阵的右侧乘以，即
，其中，
由题设条件知，因此.
由于对初等矩阵有，，故.
因此，由，及逆矩阵的运算规律，有
.
【详解】由题设，是n阶矩阵，是n维列向量，即是一维行向量，可知是阶矩阵.显然有秩秩即系数矩阵非列满秩，由齐次线性方程组有非零解的充要条件：
系数矩阵非列或行满秩，可知齐次线性方程组必有非零解.
（5）【答案】
【详解】掷硬币结果不是正面向上就是反面向上，所以，从而，
故
由方差的定义：
，所以
）
由协方差的性质：
（为常数）；
所以
由相关系数的定义，得
三【变限积分求导公式】
【详解】根据复合函数求导公式，有
（*）
在两边分别对求导，得
在两边分别对x求导，得
即
将其代入（*）式，得
四【详解】因为
（把写成）
（利用幂函数的性质）
（利用对数性质）
（利用函数的连续性，）
（当各部分极限均存在时，）
（利用）
（）
又因为在内可导，故在闭区间上连续，在开区间内可导，那么又由拉格朗日中值定理，有
左右两边同时求极限，于是
，
因为，趋于无穷大时，也趋向于无穷大
由题意，从而，故
五【详解】积分区域如图所示，可以写成
其中，
于是
六【详解】方法1：
依题意知，抛物线如图所示，
令，求得它与轴交点的横坐标为：
根据定积分的定义，面积为
（注：
因直线与抛物线相切，故它们有唯一公共点.由方程组
求其公共解，消去，得，因为其公共解唯一，则该一元二次方程只有唯一解，故其判别式必为零，即
解得
将代入中，得
根据函数除法的求导公式，
根据驻点的定义，令，已知有，得唯一驻点.
当时，；
时，.故根据极值判定的第一充分条件知，时，取唯一极大值，即最大值.
从而最大值为
设抛物线与直线相切的切点坐标为，切点既在抛物线上，也在直线上，于是满足方程有和.
抛物线与直线在切点处的切线斜率是相等的，即一阶导数值相等.在左右两边关于求导，得，在左右两边关于求导，得，把切点坐标代入，得
由，将两结果代入得
整理得
根据驻点（即使得一阶导数为零的点）的定义，令，已知有，得唯一驻点.当时，时，故根据极值判定的第一充分条件知，时，取唯一极大值，即最大值.
七【详解】将要证的等式中的换成，移项，并命
问题转化为证在区间内存在零点.将
看成一个微分方程，用分离变量法求解.由
两边积分得
利用及，得
即，命.由
及积分中值定理（如果函数在闭区间上连续，则在积分区间上至少存在一个点，使得），知至少存在一点，使
且，.把代入，则
那么在上连续，在内可导，由罗尔中值定理知，至少存在一点，使得
八【详解】由已知条件可见，这是以为未知函数的一阶线性非齐次微分方程，其中，代入通解公式
得其通解为
由条件又，得，故
记则，，则其收敛半径为，收敛区间为.当时，根据幂级数的性质，可以逐项求导，
，其中
故根据函数积分和求导的关系，得
又由于，所以
即有
当时，.级数在此点处收敛，而右边函数连续，因此成立的范围可扩大到处，即
于是
九【详解】
（1）线性方程组有解但不唯一，即有无穷多解，将增广矩阵作初等行变换，得
因为方程组有解但不唯一，所以，故a=−2.
（2）由
（1），有
由
故A的特征值为.
当时，
于是得方程组的同解方程组为
可见，，可知基础解系的个数为，故有1个自由未知量，选为自由未知量，取，解得对应的特征向量为.
由于是实对称矩阵，其不同特征值的特征向量相互正交，故这三个不同特征值的特征向量相互正交，之需将单位化，
令
则有
十【详解】
（1）由题设条件，
其中的理由：
是可逆的实对称矩阵，故，因此由实对称的定义知，也是实对称矩阵，又由伴随矩阵的性质，知，因此也是实对称矩阵，，故成立.
（2）因为，所以由合同的定义知与合同.
由实对称矩阵合同的充要条件：
二次型与有相同的正、负惯性指数.
可知，与有相同的正、负惯性指数，
故它们有相同的规范形.
十一【应用定理】
（i）期望的性质：
独立随机变量方差的性质：
若随机变量独立，则
（ii）列维-林德伯格中心极限定理：
设随机变量相互独立同分布，方差存在，记分别是它们共同的期望与方差，则对任意实数，恒有
（通俗的说：
独立同分布的随机变量，其期望方差存在，则只要随机变量足够的多，这些随机变量的和以正态分布为极限分布）
（iii）正态分布标准化：
【详解】设
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