北京市西城区届 高三 数学 第一次模拟考试试题 理Word格式.docx
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二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.
9.某年级名学生在一次百米测试中,成绩全部介于秒
与秒之间.将测试结果分成组:
,,
,,,得到如图所示的频率分
布直方图.如果从左到右的个小矩形的面积之比为
,那么成绩在的学生人数是_____.
10.的展开式中,的系数是_____.(用数字作答)
11.如图,为⊙的直径,,弦交
于点.若,,则_____.
12.在极坐标系中,极点到直线的距离是_____.
13.已知函数其中.那么的零点是_____;
若的
值域是,则的取值范围是_____.
14.在直角坐标系中,动点,
分别在射线和上运
动,且△的面积为.则点,的横坐标之积为_____;
△周长的最小值是
_____.
三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
15.(本小题满分13分)
在△中,已知.
(Ⅰ)求角;
(Ⅱ)若,,求.
16.(本小题满分13分)
乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行,比赛采用局胜制(即先胜局者获胜,比赛结束),假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同.
(Ⅰ)求甲以比获胜的概率;
(Ⅱ)求乙获胜且比赛局数多于局的概率;
(Ⅲ)求比赛局数的分布列.
17.(本小题满分14分)
如图,四边形与均为菱形,,且.
(Ⅰ)求证:
平面;
(Ⅱ)求证:
∥平面;
(Ⅲ)求二面角的余弦值.
18.(本小题满分13分)
已知函数,其中.
(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)求的单调区间.
19.(本小题满分14分)
已知椭圆的离心率为,定点,椭圆短轴的端点是,,且.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设过点且斜率不为的直线交椭圆于,两点.试问轴上是否存在定点,
使平分?
若存在,求出点的坐标;
若不存在,说明理由.
20.(本小题满分13分)
对于数列,定义“变换”:
将数列变换成数
列,其中,且,这种“变换”记作.继续对数列进行“变换”,得到数列,…,依此类推,当得到的数列各项均为时变换结束.
(Ⅰ)试问和经过不断的“变换”能否结束?
若能,请依次写出经过“变换”得到的各数列;
若不能,说明理由;
(Ⅱ)求经过有限次“变换”后能够结束的充要条件;
(Ⅲ)证明:
一定能经过有限次“变换”后结束.
北京市西城区2012年高三一模试卷
数学(理科)参考答案及评分标准
2012.4
一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分.
1.C;
2.D;
3.A;
4.A;
5.B;
6.D;
7.A;
8.D.
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.;
10.;
11.;
12.;
13.和,;
14.,.
注:
13题、14题第一问2分,第二问3分.
三、解答题:
本大题共6小题,共80分.
15.(本小题满分13分)
(Ⅰ)解:
原式可化为.………………3分
因为,所以,
所以.………………5分
因为,所以.………………6分
(Ⅱ)解:
由余弦定理,得.………………8分
因为,,
所以.………………10分
因为,………………12分
所以.………………13分
由已知,甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是.………………1分
记“甲以比获胜”为事件,
则.………………4分
记“乙获胜且比赛局数多于局”为事件.
因为,乙以比获胜的概率为,………………6分
乙以比获胜的概率为,………………7分
所以.………………8分
(Ⅲ)解:
设比赛的局数为,则的可能取值为.
,………………9分
,………………10分
,………………11分
.………………12分
比赛局数的分布列为:
………………13分
17.(本小题满分14分)
(Ⅰ)证明:
设与相交于点,连结.
因为四边形为菱形,所以,
且为中点.………………1分
又,所以.………3分
因为,
所以平面.………………4分
(Ⅱ)证明:
因为四边形与均为菱形,
所以//,//,
所以平面//平面.………………7分
又平面,
所以//平面.………………8分
因为四边形为菱形,且,所以△为等边三角形.
因为为中点,所以,故平面.
由两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系.………………9分
设.因为四边形为菱形,,则,所以,
.
所以.
所以,.
设平面的法向量为,则有
所以取,得.………………12分
易知平面的法向量为.………………13分
由二面角是锐角,得.
所以二面角的余弦值为.………………14分
当时,,.………………2分
由于,,
所以曲线在点处的切线方程是.………………4分
,.………………6分
①当时,令,解得.
的单调递减区间为;
单调递增区间为,.……………8分
当时,令,解得,或.
②当时,的单调递减区间为,;
单调递增区间为,.………………10分
③当时,为常值函数,不存在单调区间.………………11分
④当时,的单调递减区间为,;
单调递增区间为,.………………13分
由,得.………………2分
依题意△是等腰直角三角形,从而,故.………………4分
所以椭圆的方程是.………………5分
设,,直线的方程为.
将直线的方程与椭圆的方程联立,
消去得.………………7分
所以,.………………8分
若平分,则直线,的倾斜角互补,
所以.………………9分
设,则有.
将,代入上式,
整理得,
所以.………………12分
整理得.………………13分
由于上式对任意实数都成立,所以.
综上,存在定点,使平分.………………14分
数列不能结束,各数列依次为;
;
….从而以下重复出现,不会出现所有项均为的情形.………………2分
数列能结束,各数列依次为;
………………3分
经过有限次“变换”后能够结束的充要条件是.………………4分
若,则经过一次“变换”就得到数列,从而结束.……………5分
当数列经过有限次“变换”后能够结束时,先证命题“若数列为常数列,则为常数列”.
当时,数列.
由数列为常数列得,解得,从而数列也
为常数列.
其它情形同理,得证.
在数列经过有限次“变换”后结束时,得到数列(常数列),由以上命题,它变换之前的数列也为常数列,可知数列也为常数列.………………8分
所以,数列经过有限次“变换”后能够结束的充要条件是.
先证明引理:
“数列的最大项一定不大于数列的最大项,其中”.
证明:
记数列中最大项为,则.
令,,其中.
因为,所以,
故,证毕.………………9分
现将数列分为两类.
第一类是没有为的项,或者为的项与最大项不相邻(规定首项与末项相邻),此时由引理可知,.
第二类是含有为的项,且与最大项相邻,此时.
下面证明第二类数列经过有限次“变换”,一定可以得到第一类数列.
不妨令数列的第一项为,第二项最大().(其它情形同理)
①当数列中只有一项为时,
若(),则,此数列各项均不为
或含有项但与最大项不相邻,为第一类数列;
若,则;
此数列各项均不为或含有项但与最大项不相邻,为第一类数列;
若(),则,此数列各项均不为,为第一
类数列;
,
此数列各项均不为,为第一类数列.
②当数列中有两项为时,若(),则,此数列
各项均不为,为第一类数列;
若(),则,,此数列
各项均不为或含有项但与最大项不相邻,为第一类数列.
③当数列中有三项为时,只能是,则,
,,此数列各项均不为,为第一类数列.
总之,第二类数列至多经过次“变换”,就会得到第一类数列,即至多连续经历次“变换”,数列的最大项又开始减少.
又因为各数列的最大项是非负整数,
故经过有限次“变换”后,数列的最大项一定会为,此时数列的各项均为,从而结束.………………13分