第三章泛函分析初步原始版.docx

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第三章泛函分析初步原始版

第三章：

泛函分析初步（参见教材Ch6）

§3.1线性空间

定义（线性空间）：

设（为非空集合）

（1）中元对“+”构成交换群，即对，有

ⅰ）（加法封闭性）

ⅱ）（结合律）

ⅲ），使（存在零元）

ⅳ），使（存在逆元）

ⅴ）（交换律）

（2）对（复数域）有：

ⅵ）

ⅶ）

ⅷ）

ⅸ）

称为线性空间，若，则为复线性空间，若，则为实线性空间。

注：

1）加法封闭＋数乘封闭，有。

　　　　　2）（上所有连续函数的全体）是线性空间。

3）为由张成的线性空间。

定义（线性算子）：

线性空间上的算子为L线性算子

（3-1）

推论：

零状态线性系统系统算子为线性算子。

§3.2线性子空间

定义（线性子空间）：

设，是的线性子空间

对，有。

定义（直和）：

设是的子空间，若对，可唯一表示成，其中，则称是

的直和，记为：

。

§3.3距离空间（度量空间——MetricSpace）

定义（距离空间）：

设，称为距离空间，指在中定义了映射：

（包括0），满足以下三条公理：

ⅰ），且（正定性）

ⅱ）（可交换性）

ⅲ）（三角不等式）

称为上的距离，为度量空间。

定义（收敛）：

度量空间中的点列收敛于W

是的极限

当趋于W上的点x0

定理：

在中，每个收敛点列有唯一的极限点。

证明：

设，

对

当nmax{n1,n2}时，有

即。

证毕。

定义（柯西序列——CauchySequence）：

设是中的点列，若对，使，则称是中的柯西序列。

趋于越来越靠近

注：

中任意收敛序列是柯西序列，但中的柯西序列未必收敛到中。

例：

是上Cauchy列，W=（0,1]，。

但是，序列收敛于0W，即该序列不是W=（0,1]上的收敛序列。

定义（完备度量空间——CompleteMetricSpace）：

称为完备度量空间，指其中所有柯西序列都收敛。

§3.4巴拿赫（Banach）空间

　1.赋范线性空间：

定义（赋范线性空间）：

设是线性空间，若对，满足三条公理：

ⅰ），且（正定性）

ⅱ）（正齐性）

ⅲ）（三角不等式）

　　　　称为的范数（Norm），定义了范数的线性空间称为赋范线性空间，记为：

。

　　　　注：

度量空间与赋范空间的关系：

在中，定义：

举例：

（长度概念的推广——广义长度）

✓例1：

对于，，n维实数空间

（3-2）

称为p范数。

特别地，当p=2时，

（3-3）

为2范数，称为欧氏范数。

无穷范数定义为：

（3-4）

✓例2：

离散时间（信号）序列空间l，无穷维

（3-5）

（3-6）

　　　特别地，

（上确界）

（3-7）

✓例3：

连续时间信号空间，无穷维

对于

（3-8）

（3-9）

特别的，

（3-10）

Minkovski不等式：

设，则：

（3-11）

等号成立条件为：

。

定理：

低次方可和的离散无穷维序列必高次方可和。

（3-12）

其中。

　　证明：

，因为

所以使得当n>N时，恒有：

因而，，

所以：

。

定义（强收敛）：

在中，收敛于，指：

，也称为依范数收敛（ConvergenceinNorm）。

定义（弱收敛，前已述及）：

依泛函收敛。

注：

强收敛弱收敛。

　2.Banach空间：

定义（Banach空间）：

完备的称为Banach空间。

例1：

是Banach空间。

例2：

不是Banach空间，[R]不可积。

例3：

是Banach空间，[L]可积。

Holder不等式：

若

则

（3-13）

定理：

若，则

（3-14）

即：

高次方可积的连续函数必低次方可积。

　　证明：

当p=q时，定理显然成立。

　　　当时，构造，即，

对，依Holder不等式有

即：

即：

因此，，即。

§3.5Hilbert空间

　1.内积空间：

定义（内积）：

设为实或复线性空间，若对（数域），均有一个实数或复数与之对应，记为，满足：

ⅰ），且（正定性）

ⅱ）（共轭交换性）

ⅲ）（齐次性）

ⅳ）（加法分配性）

则称为与的内积。

定义（内积空间）：

定义了内积的空间为内积空间。

注：

1.

2.（实/复数域），若为数的集合，则为通常的二元函数。

3.ⅲ）和ⅳ）可合并：

。

例子：

♦，，

（3-15）

♦（约定了内积的n维复线性空间，又称为酉空间），

（3-16）

H表示共轭转置。

♦，连续函数空间

（3-17）

♦n维平方可积复连续函数空间

（3-18）

，则

（3-19）

　2.Hilbert空间：

定义（欧氏范数），则内积（线性）空间成为赋范线性空间。

定义（Hilbert空间）：

依欧氏范数完备的内积空间称为Hilbert空间。

Cauchy-Schwarz不等式：

为内积空间，，有

（3-20）

证明：

取，有：

说明：

1）在Holder不等式中，取，就成为Cauchy-Schwarz不等式。

2）在空间中，有Cauchy-Schwarz不等式：

（3-21）

3）在空间中，有Cauchy-Schwarz不等式：

（3-22）

　3.线性泛函：

定义（算子——Operator）：

为线性空间，算子：

或。

其中，为定义域，为值域。

图3-1

定义（泛函——Functional）：

值域是实／复数域的算子为泛函。

注：

定积分，距离，范数，内积，函数（第三种定义），（普通）函数均为泛函。

定义（线性算子）：

为线性空间，，若对，有：

（3-23）

，则为线性算子。

定义（线性泛函）：

线性算子的值域为实／复数集。

注：

1）距离、范数是泛函，但非线性泛函；

2）连续线性算子：

图3-2

3）对线性算子：

有界连续；

定义（有界线性算子）：

设算子T：

XY（L，S）

M>0，使||TX||yM||X||x成立，则称T为有界线性算子。

4）内积为连续线性泛函；

5）积分算子，，

上连续。

§3.6　完备规范正交集上广义傅里叶展开

　1.正交——Orthogonal：

定义（正交）：

在内积空间中，若，满足：

，则称与正交，记为：

。

其中为常数，Kronecker符号，

（3-24）

定义（正交（子）集）：

中任意两个元正交。

定义（集正交）：

若，对，有，则称集与集正交，记为：

。

定义（正交补）：

，的正交补，显然：

。

定义（规范正交完备集）：

1）（完备性）；

2）（规范正交）。

定理：

Hilbert空间存在规范正交完备集。

定理：

是Hilbert空间，，是的正交子集。

2．正交投影——OrthogonalProjection：

定义（正交投影）：

是Hilbert空间，，，若，使，则称是在上的正交投影或投影，记为：

。

注：

与的距离最小，即正交投影使均方误差最小化。

图3-3

　3.广义傅里叶展开：

定义：

设是Hilbert空间的规范正交完备集，则对，有，为广义傅里叶系数。

注：

是Hilbert空间的规范且完备的一组正交基。

是在上的投影。

Parseval等式：

设，则

（3-25）

注：

物理解释：

信号的总能量＝各个分量的能量的和。

几何解释：

广义勾股定理。

用N项广义傅里叶展开逼近：

设是Hilbert空间的规范正交完备集，

，

在上的投影：

。

这里规范正交，但不完备。