吉林大学工程数学计算方法第三节习题答案Word文档下载推荐.docx
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右侧:
左侧不等于右侧。
所以Simpson具有三次代数精度.
3.分别用复化梯形公式和复化公式Simpson计算下列积分.
(1),(3),
(1)用复化梯形公式有:
,由复化Simpson公式有:
删去
解(3):
由复化梯形公式有:
由复化公式有:
(4)解:
由复化梯形公式:
由复化Simpson公式:
4.给定求积节点试推出计算积分的插值型求积公式,并写出它的截断误差。
考虑到对称性,有,于是有求积公式
由于原式含有3个节点,故它至少有2阶精度。
考虑到其对称性,可以猜想到它可能有3阶精度。
事实上,对原式左右两端相等:
此外,容易验证原式对不准确,故所构造出的求积公式有3阶精度。
5.给定积分。
(1)利用复化梯形公式计算上述积分值,使其截断误差不超过
(2)取同样的求积节点,改用复化Simpson公式计算时,截断误差是多少?
(3)如果要求截断误差不超过,那么使用复化Simpson公式计算时,应将积分区间分成多少等分?
(1)
=,
当误差时,25.6,所以取=26。
(2)
6.用Romberg求积方法计算下列积分,使误差不超过。
(1);
(2);
(3);
(4)
解
(1):
计算可以停止。
解
(2):
(3)解:
解(4):
7.推导下列三种矩形求积公式:
将在处Taylor展开,得
两边在上积分,得
将在处Taylor展开,得
8.如果证明用复化梯形公式计算积分所得结果比准确值大,并说明其几何意义。
复化梯形公式为
若在上连续,则复化梯形公式的余项为
由于且
所以使
则
(1)式成为:
又因为所以
即用复化梯形公式计算积分所得结果比准确值大。
其几何意义:
曲线在定义域内是向下凹的,即曲线在曲线上任两点连线的下方。
9.对构造一个至少具有三次代数精度的求积公式。
因为具有4个求积节点的插值型求积公式,至少有三次代数精度。
如果在上取节点0,1,2,3,则插值型求积公式为:
其中系数为
同理求得
即有:
10.判别下列求积公式是否是插值型的,并指明其代数精度:
插值型求积公式
其中
则
因此,是插值型的求积公式。
因其求积公式是插值型的,且存在2个节点,所以其代数精度至少是1。
对于时,
可见它对于不准确成立,故该求积公式的代数精度是1。
11.构造下列求积公式,并指明这些求积公式所具有的代数精度:
令原式对于准确成立,于是有
解之得,于是有求积公式
容易验证,它对于不准确成立,故该求积公式的代数精度是1。
解之得于是有求积公式
容易验证当时,而
可见,它对于不准确成立,故该求积公式的代数精度是3。
解得:
于是有求积公式
容易验证,当时,而
可见,它对于不准确成立,故该求积公式的代数精度是2。
12.利用代数精度方法构造下列两点Gauss求积公式:
利用的第1式,可将第2式化为
同样,利用第2式化简第3式,利用第3式化简第4式,分别得
由式消去得
进一步整理
由此解出
解得:
因此所求的两点Gauss求积公式:
或依下面的思想:
同样,利用第2式化简第3式,利用第3式化简第4式,分别得
13.分别用三点和四点Gauss-Chebyshev求积公式计算积分,并估计误差。
用三点Gauss-Chebyshev求积公式来计算:
此时,
由公式可得:
由余项可估计误差为
用四点Gauss-Chebyshev求积公式来计算:
此时,
由余项可估计误差为
14.用三点求积公式计算积分,并估计误差。
作变换则得
由三点Gauss-Legendre公式:
其估计误差为:
()。
其准确值
其准确误差等于: