定积分中奇偶函数和周期函数处理方法文档格式.docx
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（二）、定积分中奇偶函数的处理方法
1.直接法：
若果被积函数直接是奇函数或者偶函数，之间按照奇偶函数的性质进行计算即可，但要注意积分区间。
2.拆项法：
观察被积函数，在对称区间如果被积函数复杂但可以拆成奇偶函数和的形式，则分开积分会简化计算。
3.拼凑法：
被积函数在对称区间直接积分比较困难，并且不能拆项，可以按照如下方法处理：
设，，则，从而就转换为了奇函数和偶函数在对称区间的计算。
（三）、定积分中周期函数的处理方法
对于周期函数的定积分，最主要是能够确定被积函数的周期（特别是三角函数与复合的三角函数的周期），并熟悉周期函数的积分性质，基本上就能解决周期函数定积分的问题。
二、典型例题
例1设在上连续可积，证明：
（1）若为奇函数则
（2）若为偶函数，则。
证明：
（1）因为，而
对前一项中令，则
所以.
（2）因为，而
，对前一项中令相似的有，所以.
例2设在上连续，且以T为周期，证。
由，在上式右端最后一个积分中，令则有，即有，成立
再证,因为对于令则，因为所以有，。
例3求定积分。
解：
被积函数为偶函数，
例4求定积分，其中为自然数。
注意到是偶函数且以为周期，因此利用性质可以简化计算
.
例5计算：
（自然数或为奇数）。
解：
由周期函数积分性质得
当为奇数时，由于被积函数为奇函数，故
当为奇数时（设…）时
其中为的某个多项式（不含常数项）因此
例6求定积分。
因为被积函数是为奇函数，且在对称区间故
例7求定积分I=。
I=，因为是奇函数，而是偶函数，所以I=2
=
例8求定积分I=。
设则I==因为是奇函数所以
例9求定积分I=。
令，则，因为，所以，
例10求定积分I=。
分析：
若此题采用常规求法，会发现过程相当复杂，但是利用奇偶函数的性质就能很容易求出。
原函数可以看做一个奇函数f（x）=和一个偶函数u（x）=之和。
I==+
=2=2
例11求定积分I=。
如果此题按照一般解法直接进行求解，那么会发现很繁琐，注意到为奇函数在对称区间上积分为零，因此就可以简化积分，而在上积分恰好是以原点为圆心，半径为的上半圆周面积，s==
I===0=2=2=
例12设在上连续，证明，并由此计算。
若记，，显而易见为偶函数，为奇函数，而且.所以有
利用上述公式可得
例13求定积分I=。
此题的积分区间关于原点对称，从这一点性质中我们可以联想到奇偶函数的性质，但注意到被积函数既不是奇函数也不是偶函数，我们可以将其凑成奇偶函数。
按照上一题的结果我们可以知道为奇函数，而为偶函数
例14求定积分其中。
分析：
被积函数不是周期函数，无法直接用周期函数的定积分性质计算，采用分部积分比较繁琐，可以考虑还原。
令则
移向得：
所以
例15求定积分。
解：
例16求定积分
注意到被积函数是以为周期的偶函数，因此可用定积分中相应性质简化计算
例17求定积分。
注意到是对称区间，函数可以应用定积分的奇偶性来计算
例18证是以T为周期的周期函数，则。
因为故只需证明
由题设可知现令，当时，；
当时，且所以有
例19设是以为周期的周期函数，证明
。
分析:
等价于
所以=
即由题设可令
证明：
令，则
例20设函数
（1）当n为正整数，且时，证明；
（2）求
（1）因为，且，所以
，又因为具有周期，在长度的积分区间上积分值相等：
，从而
同理可得到
（2）由
（1）有，当去极限，由夹逼定理得，
例21设函数在上连续，而且。
（1）若为偶函数，则也是偶函数；
（2）若单调不减，则单调不减
（1）证明：
故为偶函数。
（2）由于被积函数连续，所以可导，且
，因此在上单调不减
例22设在上连续，以T为周期，令，求证：
（1）一定能表成：
，其中k为某常数，是以T为周期的周期函数；
（2）；
（3）若有，n为自然数，则当时，有
证明:
（1）即确定常数k，使得以T为周期，由于T因此，取，，则是以T为周期的周期函数。
此时
（2）.且在上连续并以T为周期，于是在在有界，在也有界。
因此
（3）因，所以当时，
例23设是上的连续函数，试运用周期函数性质证明
因为，其中，令，
令，则，所以左端
，按照周期函数的性质知所以
左端=，，知
故
例24设，证明
（1）；
（2）求出的最大最小值。
（1），设，当时，；
当时，，则
（2）因为右端连续，故可导，，又为周期函数，故只讨论一个周期内即可，现讨论
当时，，当时，，当时，
所以当时取最大值，；
当时取最大值，。
参考文献
[1]曹绳武，王振中，于远许高等数学重要习题集大连理工大学出版社2001
[2]郝涌，卢士堂考研数学精解华中理工大学出版社1999
[3]李永乐，李正元考研复习全书国家行政出版社2012
[4]林益，邵琨，罗德斌等数学分析习题详解2005
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