级数求和的常用方法Word格式文档下载.doc

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内容摘要：

级数在数值计算中有广泛的运用，级数首先要考虑其收敛性，在收敛级数中寻求可求和的方法.但在国内很多教材或其它数学书籍中没有专门的板块涉及级数求和的内容，即使是国内权威数学分析教材也只是作了级数逼近的工作.力求寻求级数求和的常用方法加以总结提炼，揭开级数和的神秘面纱.本文整体布局可分为部分：

一、数项级数求和的常用方法二、函数项级数求和的常用方法.由于级数的敛散性是分析级数求和的先导，但是本文重在于讨论级数求和，所以级数敛散性内容讨论从简，且本文涉及的级数均收敛.在借鉴国内外优秀数学书籍的基础上，选取一些典型题目加以分析，使每一种方法尽可能以事实形式呈现出一种“方法技巧的实战运用”景象，在实例中说明方法，用实例体会方法.

关键词：

级数求和数项级数求和函数项级数求和

CommonMethodsofSummingofSeries

Abstract:

Serieswidelyusedinthenumericalcalculation,theseriesmustfirstconsideritsconvergence,covergentseriesforthesummabilitymethod.Inmanytextbooksorothermathematicalbooksforthesummationofournationalcontent,evenifthedomesticauthorityofmathematicalanalysistextbooksjustmadeaseriesapproximation.UndertheguidanceoftheteachersHonmeiLi,andstriketoseekthesummationofthecommonlyusedmethodtosumuprefining,openedthemysteryofseriesTheoverallofthisarticlecanbedividedintotwoparts:

severalsummationofcommonlyusedmethods,commonmethodssummationforfuntionalsreies,seriessummation’stheory，Theconvergenceanddivergenceoftheseriesisthesummationanlysisofthepilot,butimportantpointistodiscussthesummation,sotheconvergenceoftheseriesdiscussionissimpleinthistext.Basedonexcellentbooksfromhomeandabroad,everymethodforseriessummationshowthefactthat“methodofskillinactualuse”sceneasfaraspossible.

Keywords:

sumofseriessumofnumerialseriessumoffunctionseries

目录

1数项级数求和 1

1.1等差级数求和 1

1.2首尾相加法 1

1.3等比级数求和 1

1.4错位相减法 2

1.5蕴含型级数相消法 2

1.6有理化法求级数和 2

1.7方程式法 3

1.8原级数转化为子序列求和 3

1.9数项级数化为函数项级数求和 3

1.10化数项级数为积分函数求原级数和 4

1.11三角型数项级数转化为复数系级数 4

1.12构造函数计算级数和 5

1.13级数讨论其子序列 5

1.14裂项法求级数和 6

1.15裂项+分拆组合法 7

1.16夹逼法求解级数和 7

2函数项级数求和 8

2.1方程式法 8

2.2积分型级数求和 8

2.3逐项求导求级数和 9

2.4逐项积分求级数和 9

2.5将原级数分解转化为已知级数 10

2.6利用傅里叶级数求级数和 10

2.7三角级数对应复数求级数和 11

2.8利用三角公式化简级数 12

2.9针对2.7的延伸 12

2.10添加项处理系数 12

2.11应用留数定理计算级数和 13

2.12利用Beta函数求级数和 14

参考文献 15

级数要首先考虑敛散性，但本文以级数求和为中心，故涉及的级数均收敛且不过多讨论级数敛散性问题.

由于无穷级数求和是个无穷问题，我们只能得到一个的极限和.加之级数能求和的本身就困难，故本文只做一些特殊情况的讨论，而无级数求和的一般通用方法，各种方法主要以例题形式给出，以期达到较高的事实性.

1数项级数求和

1.1等差级数求和

等差级数为简单级数类型，通过比较各项得到其公差，并运用公式可求和.

，其中为首项，为公差

证明：

①，②

①+②得：

因为等差级数

所以此证明可导出一个方法“首尾相加法”见1.2.

1.2首尾相加法

此类型级数将级数各项逆置后与原级数四则运算由首尾各项四则运算的结果相同，便化为一简易级数求和.

例1:

求.

解：

，，两式相加得：

，即：

.

1.3等比级数求和

等比级数为简单级数类型，通过比较各项得到其公比并运用公式可求和.

当=1，；

当≠1，，其中为首项，为公比.

证明：

当=1，易得，

当≠1，①，②，

①-②得.可以导出一种方法“错位相减”见下1.4

1.4错位相减法

此方法通常适用于等差与等比级数混合型，通过乘以等比级数公比，再与原级数四则运算后化为等差或等比级数求和.

例2：

计算.

①，②，

②-①得：

，=3.

1.5蕴含型级数相消法

此类型级数本身各项之间有蕴含关系，通过观察可知多项展开会相互之间相消部分项，从而化简级数求和.

例3：

将各项展开可得：

，所以.

1.6有理化法求级数和

对于一些级数通项含有分式根式的级数，我们可以仿照数学中经常使用的方法“有理化”处理，以期达到能使得级数通项化简，最后整个级数都较容易求和.

例4：

可以看出此级数含根式较多，因此尝试运用有理化的方法去处理，即通项

，对其分母有理化得：

，则原级数可以采用本文中的1.5“蕴含型级数相消法”，则可以快速求得级数和的极限为1.

1.7方程式法

此型级数通过一系列运算能建立级数和的方程式，通过解方程求解级数和.准确建立方程是关键问题，方程类型不固定，有类似与微分方程之类的，故要视具体情况建立方程，解方程也要准确，才能求出级数和.

例5：

计算，其中.

记=

两边同时乘以得

即：

解此方程得：

1.8原级数转化为子序列求和

若下列条件成立[1]:

（1）当时级数的通项

（2）级数各项没有破坏次序的情况而得新序列收敛于原级数.

例6：

，应用欧拉公式，其中为欧拉常数，

，.

1.9数项级数化为函数项级数求和

数项级数化为相应函数项级数，再通过函数项级数求和，并赋予函数未知数相应未知数后记得相应原级数的和.

例7：

求级数和.

建立函数项级数由函数敛散性知识可知其收敛域为，将函数项级数逐项求导可得：

=，由此可知满足微分方程

，且易知，解此常微分方程得：

，令则可以求出原级数和：

1.10化数项级数为积分函数求原级数和

将原级数通过化简，构造积分极限式，从而转化为积分求原级数和也不失为一种好方法，构造积分式子是关键，一般原级数中通过四则运算将与积分中的分割相联系从而构造分割，建立级数与积分式子的桥梁.

例8：

记.

1.11三角型数项级数转化为复数系级数

将三角型数项级数转化为复数域上的级数，由于复数的实部对应于数项级数，从而转化为求复数系级数进而求原级数和.

例9[7]：

设，求.

由于，令为复数，其中

，其中，得：

而另一方面

=

｛+

｝

取实部对应原级数和即得：

当，且时.

1.12构造函数计算级数和

将级数各项转化为其它函数式子化简级数并求原级数和，关键在于各项的化简函数是否基本统一，如何选择函数式子才能有效化简，将级数参数化为函数式子中的未知数，并无一般的通用函数，选择函数视具体情况而定，下面我们先看一个例子感受这种方法，并从中体会这种方法.

例10[7]：

请计算下面的级数式子：

记

，其中.

构造函数式子：

此函数在单调递减.

由于，

令，满足=0

代入题目中的级数式子得：

=.

1.13级数讨论其子序列

引理[1]：

数列收敛的充分必要条件是的任一子序列都收敛且有相同的极限.特别的：

数列收敛于的充分必要条件是两个互补的子列,,收敛于同一极限.推广可得：

定理[1]：

若级数通项满足当时，（收敛判别的必要条件），收敛于的充分必要条件是：

部分和的一个子序列收敛于，其中满足：

是某个正整数=1，2，…

将级数分情况讨论，化为多个子序列之和，利用原级数收敛则级数任意添加括号得到的级数和收敛于原级数和原理，通过求各个子序列之和求解原级数和，关键在于如何分解原级数为不同子序列，然而子序列相对于原级数来说易求些，这样方法才行之有效，这和1.6的“原级数转化为子序列求和”是不同的.分情况讨论在三角中讨论角的大小我们已不陌生，下面我们就看一个这样讨论角的幅度的例题.

例11[6]：

计算：

记，由级数敛散性知识可知，该级数绝对收敛.按幅度角的讨论将级数分解为：

，，.

则：

，所以：

1.14裂项法求级数和

针对级数是分数形式，且满足分母为多项乘积形式，且各项之间相差一个相同的整数，裂项后各项就独立出来，而原来各项之间相差整数则裂项后新级数等价于求解某一个级数，其余新级数照此可求出，从而原级数和可以求出.

裂项一般形式：

，此处.

例12：

解:

记，

针对同理采用裂项法记则=

，，所以

1.15裂项+分拆组合法

将裂项与分拆组合法合用在一起，运用裂项法分拆级数，再将分拆重新组合级数，由新级数返回求原级数和.

例13：

1.16夹逼法求解级数和

在数学分析中运用夹逼法则求解极限，在求极限和中我们也可以借鉴此方法，运用两个级数逼近原级数，最后两逼近级数和等于原级数和.

例14[8]：

设为一给定的正整数，求.

]

且时，，且

，所以，即

2函数项级数求和

函数项级数和依据未知数的而定，因此在收敛域内寻找一个新函数去刻画级数和.

2.1方程式法

类似于数项级数，函数项级数建立方程，通过方程求解求函数项级数和.

例15：

计算函数项级数

由