最新全国高中数学联赛一二试试题及答案1Word文件下载.docx

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上.当取最大值时，比的值为.

10.底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为cm的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切.现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水cm3.

11.方程的实数解的个数为.

12.袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为.

三、解答题（本题满分60分，每小题20分）

13.给定整数，设是抛物线与直线的一个交点.试证明对于任意正整数，必存在整数，使为抛物线与直线的一个交点.

14.将2006表示成5个正整数之和.记.问：

（1）当取何值时，S取到最大值；

（2）进一步地，对任意有，当取何值时，S取到最小值.说明理由.

15.设.记，，

.证明：

.

一试参考答案

1.【答】（C）

【解】令，过A作于D。

由，推出　,令，代入上式，得，即,也即。

从而有。

由此可得。

2.【答】

（B）

【解】因为，解得.由解得；

或解得，所以的取值范围为.

3.【答】（C）

【解】　；

。

要使，则，即。

所以数对共有。

4.【答】（A）

【解】建立直角坐标系，以Ａ为坐标原点，ＡＢ为ｘ轴，ＡＣ为ｙ轴，ＡＡ１为ｚ轴，则（），，，（）。

所以，。

因为，所以，由此推出。

又，，从而有。

5.【答】（A）

【解】显然为奇函数，且单调递增。

于是

若，则，有，即，从而有.

反之，若，则,推出，即。

6.【答】

【解】出现奇数个9的十进制数个数有。

又由于以及，从而得

7.【解】　。

令，则

因此

即得。

8.【解】依题意，得

（）（对任意实数成立）.故的取值范围为。

9.【解】由平面几何知，要使最大，则过，P三点的圆必定和直线l相切于P点。

设直线l交x轴于A，则，即，即

（1），又由圆幂定理，

（2），而，，A，从而有，。

代入

（1），

（2）得。

10.【解】设四个实心铁球的球心为，其中为下层两球的球心，分别为四个球心在底面的射影。

则ABCD是一个边长为的正方形。

所以注水高为。

故应注水＝。

11.【解】

要使等号成立，必须　，即。

但是时，不满足原方程。

所以是原方程的全部解。

因此原方程的实数解个数为1。

12.【解】第4次恰好取完所有红球的概率为

=0.0434.

三.解答题（本题满分60分，每小题20分）

13.【证明】因为与的交点为.显然有。

…（5分）

若为抛物线与直线的一个交点，则.…（10分）

记，则，　　　　（13.1）

由于是整数，也是整数，所以根据数学归纳法，通过（13.1）式可证明对于一切正整数，是正整数.现在对于任意正整数，取，使得与的交点为.…………………（20分）

14.【解】

（1）首先这样的S的值是有界集，故必存在最大值与最小值。

若,且使取到最大值，则必有

………（5分）（*）

事实上，假设（*）不成立，不妨假设。

则令，,（）

有，。

将S改写成

同时有。

于是有。

这与S在时取到最大值矛盾。

所以必有.因此当取到最大值。

……………………（10分）

（2）当且时，只有

（I）402，402，402，400，400；

（II）402，402，401，401，400；

（III）402，401，401，401，401；

三种情形满足要求。

……………………（15分）

而后面两种情形是在第一组情形下作，调整下得到的。

根据上一小题的证明可以知道，每调整一次，和式变大。

所以在情形取到最小值。

…………………（20分）

15.【证明】

（１）如果，则，。

………………………（5分）

（２）如果，由题意，,.则

①当时，（）.事实上，当时，,设时成立（为某整数），则对，.

②当时，（）.事实上，当时，,设时成立（为某整数），则对，有.注意到当时,总有，即.从而有.由归纳法，推出。

……………（15分）

（3）当时，记，则对于任意，且。

对于任意，,则。

所以，。

当时，，即。

因此。

综合（１）（２）（３），我们有。

…………………………（20分）

2006年全国高中数学联合竞赛加试试卷

（考试时间：

上午10：

00—12：

00）

一、以B0和B1为焦点的椭圆与△AB0B1的边ABi交于Ci（i=0，1）。

在AB0的延长线上任取点P0，以B0为圆心，B0P0为半径作圆弧P0Q0交C1B0的延长线于Q0；

以C1为圆心，C1Q0为半径作圆弧Q0P1交B1A的延长线于P1；

以B1为圆心，B1P1为半径作圆弧P1Q1交B1C0的延长线于Q1；

以C0为圆心，C0Q1为半径作圆弧Q1P′0，交AB0的延长线于P′0。

试证：

（1）点P′0与点P0重合，且圆弧P0Q0与P0Q1相内切于P0；

（2）四点P0、Q0、Q1、P1共圆。

二、已知无穷数列{an}满足a0=x，a1=y，，n=1、2、…。

（1）对于怎样的实数x与y，总存在正整数n0，使当n0≥n时an恒为常数？

（2）求数列{an}的通项公式。

三、解方程组。

2006年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案

一、（本题满分50分）以B0和B1为焦点的椭圆与△AB0B1的边ABi交于Ci（i=0，1）。

证明：

（1）显然B0P0=B0Q0，并由圆弧P0Q0和Q0P1，Q0P1和P1Q1，P1Q1和Q1P′0分别相内切于点Q0、P1、Q1，得C1B0+B0Q0=C1P1，B1C1+C1P1=B1C0+C0Q1以及C0Q1=C0B0+B0P′0。

四式相加，利用B1C1+C1B0=B1C0+C0B0以及P′0在B0P0或其延长线上，有B0P0=B0P′0。

从而可知点P′0与点P0重合。

由于圆弧Q1P0的圆心C0、圆弧P0Q0的圆心B0以及P0在同一直线上，所以圆弧Q1P0和P0Q0相内切于点P0。

（2）现在分别过点P0和P1引上述相应相切圆弧的公切线P0T和P1T交于点T。

又过点Q1引相应相切圆弧的公切线R1S1，分别交P0T和P1T于点R1和S1。

连接P0Q1和P1Q1，得等腰三角形P0Q1R1和P1Q1S1。

基于此，我们可由

∠P0Q1P1=π−∠P0Q1R1−∠P1Q1S1=π−（∠P1P0T−∠Q1P0P1）−（∠P0P1T−∠Q1P1P0）

而π−∠P0Q1P1=∠Q1P0P1+∠Q1P1P0，代入上式后，即得

，同理可得。

所以四点P0、Q0、Q1、P1共圆。

二、（本题满分50分）已知无穷数列{an}满足a0=x，a1=y，，n=1、2、…。

解：

（1）我们有，n=1、2、…。

（2.1）

所以，如果对某个正整数n，有an+1=an，则必有（an）2=1，且an+an−1≠0。

如果该n=1，我们得|y|=1且x≠−y。

（2.2）

如果该n>

1，我们有，n≥2，（2.3）

和，n≥2。

（2.4）

将式（2.3）和（2.4）两端相乘，得，n≥2。

（2.5）

由（2.5）递推，必有（2.2）或|x|=1且y≠−x。

（2.6）

反之，如果条件（2.2）或（2.6）满足，则当n≥2时，必有an=常数，且常数是1或－1。

（2）由（2.3）和（2.4），我们得到，n≥2。

（2.7）

记，则当n≥2时，

由此递推，我们得到，n≥2，（2.8）

这里Fn=Fn−1+Fn−2，n≥2，F0=F1=1。

（2.9）

由（2.9）解得。

（2.10）

上式中的n还可以向负向延伸，例如F−1=0，F−2=1。

这样一来，式（2.8）对所有的n≥0都成立。

由（2.8）解得

，n≥0。

（2.11）

式（2.11）中的F−1、F−2由（2.10）确定。

三、（本题满分50分）解方程组。

令p=x+z、q=xz，我们有p2=x2+z2+2q，p3=x3+z3+3pq，p4=x4+z4+4p2q−2q2。

同样，令s=y+w、t=yw，有s2=y2+w2+2t，s3=y3+w3+3st，s4=y4+w4+4s2t−2t2。

在此记号系统下，原方程组的第一个方程为p=s+2。

（3.1）

于是p2=s2+4s+4，p3=s3+6s2+12s+8，p4=s4+8s3+24s2+32s+16。

现在将上面准备的p2、p3、p4和s2、s3、s4的表达式代入，得x2+z2+2q=y2+w2+2t+4s+4，x3+z3+3pq=y3+w3+3st+6s2+12s+8，x4+z4+4p2q−2q2=y4+w4+4s2t−2t2+8s3+24s2+32s+16。

利用原方程组的第二至四式化简，得q=t+2s−1，（3.2）

pq=st+2s2+4s−4，（3.3）

2p2q−q2=2s2t−t2+4s3+12s2+16s−25。

（3.4）

将（3.1）和（3.2）代入（3.3），得，（3.5）

将（3.5）代入（3.2），得，（3.6）

将（3.1）（3.5）（3.6）代入（3.4），得s=2。

所以有t=0，p=4，q=3。

这样一来，x、z和y、w分别是方程和的两根，即

或，且或。

详言之，方程组有如下四组解：

x=3，y=2，z=1，w=0；

或x=3，y=0，z=1，w=2；

或x=1，y=2，z=3，w=0；

或x=1，y=0，z=3，w=2。

注：

如果只得到一组解，或者不完整，最多得40分。

2006年全国高中数学联赛加试试题的另解

杜伟杰（广东仲元中学511400）

2006年全国高中数学联赛加试第一题

以和为焦点的椭圆与的边交于。

在的延长线上任取点，以为圆心，为半径作圆弧交的延长线于；

以为圆心，为半径作圆弧交的延长线于；

以为圆心，为半径作