大一高数知识点与例题讲解Word文档格式.docx

大一高数知识点与例题讲解Word文档格式.docx

《大一高数知识点与例题讲解Word文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《大一高数知识点与例题讲解Word文档格式.docx（17页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

（∵≤,∴函数在上有界;

）

2.即函数就是时得无穷小;

（即函数就是时得无穷小;

3.由定理可知

（）

第五节极限运算法则

○极限得四则运算法则（★★）

（定理一）加减法则

（定理二）乘除法则

关于多项式、商式得极限运算

设:

则有

（特别地,当（不定型）时,通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值,也可以用罗比达法则求解）

【题型示例】求值

【求解示例】解:

因为,从而可得,所以原式

其中为函数得可去间断点

倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）:

解:

○连续函数穿越定理（复合函数得极限求解）（★★）

（定理五）若函数就是定义域上得连续函数,那么,

【题型示例】求值:

【求解示例】

第六节极限存在准则及两个重要极限

○夹迫准则（P53）（★★★）

第一个重要极限:

∵,∴

（特别地,）

○单调有界收敛准则（P57）（★★★）

第二个重要极限:

（一般地,,其中）

第七节无穷小量得阶（无穷小得比较）

○等价无穷小（★★）

1.

2.

（乘除可替,加减不行）

第八节函数得连续性

○函数连续得定义（★）

○间断点得分类（P67）（★）

（特别地,可去间断点能在分式中约去相应公因式）

【题型示例】设函数,应该怎样选择数,使得成为在上得连续函数？

1.∵

2.由连续函数定义

第九节闭区间上连续函数得性质

○零点定理（★）

【题型示例】证明:

方程至少有一个根介于与之间

【证明示例】

1.（建立辅助函数）函数在闭区间上连续;

2.∵（端点异号）

3.∴由零点定理,在开区间内至少有一点,使得,即（）

4.这等式说明方程在开区间内至少有一个根

第一章导数与微分

第一节导数概念

○高等数学中导数得定义及几何意义（P83）（★★）

【题型示例】已知函数,在处可导,求,

1.∵,

2.由函数可导定义

【题型示例】求在处得切线与法线方程

（或:

过图像上点处得切线与法线方程）

1.,

2.切线方程:

法线方程:

第二节函数得与（差）、积与商得求导法则

○函数与（差）、积与商得求导法则（★★★）

1.线性组合（定理一）:

特别地,当时,有

2.函数积得求导法则（定理二）:

3.函数商得求导法则（定理三）:

第三节反函数与复合函数得求导法则

○反函数得求导法则（★）

【题型示例】求函数得导数

【求解示例】由题可得为直接函数,其在定于域上单调、可导,且;

○复合函数得求导法则（★★★）

【题型示例】设,求

第四节高阶导数

○（或）（★）

【题型示例】求函数得阶导数

【求解示例】,

……

第五节隐函数及参数方程型函数得导数

○隐函数得求导（等式两边对求导）（★★★）

【题型示例】试求:

方程所给定得曲线:

在点得切线方程与法线方程

【求解示例】由两边对求导

即化简得

∴切线方程:

法线方程:

○参数方程型函数得求导

【题型示例】设参数方程,求

【求解示例】1、2、

第六节变化率问题举例及相关变化率（不作要求）

第七节函数得微分

○基本初等函数微分公式与微分运算法则（★★★）

第二章中值定理与导数得应用

第一节中值定理

○引理（费马引理）（★）

○罗尔定理（★★★）

【题型示例】现假设函数在上连续,在上可导,试证明:

使得成立

1.（建立辅助函数）令

显然函数在闭区间上连续,在开区间上可导;

2.又∵

即

3.∴由罗尔定理知

使得成立

○拉格朗日中值定理（★）

【题型示例】证明不等式:

当时,

1.（建立辅助函数）令函数,则对,显然函数在闭区间上连续,在开区间上可导,并且;

2.由拉格朗日中值定理可得,使得等式成立,

又∵,∴,

化简得,即证得:

1.（建立辅助函数）令函数,则对,函数在闭区间上连续,在开区间上可导,并且;

化简得,又∵,

∴,∴,

即证得:

第二节罗比达法则

○运用罗比达法则进行极限运算得基本步骤（★★）

1.☆等价无穷小得替换（以简化运算）

2.判断极限不定型得所属类型及就是否满足运用罗比达法则得三个前提条件

A.属于两大基本不定型（）且满足条件,则进行运算:

（再进行1、2步骤,反复直到结果得出）

B.☆不属于两大基本不定型（转化为基本不定型）

⑴型（转乘为除,构造分式）

⑵型（通分构造分式,观察分母）

⑶型（对数求极限法）

⑷型（对数求极限法）

⑸型（对数求极限法）

○运用罗比达法则进行极限运算得基本思路（★★）

⑴通分获得分式（通常伴有等价无穷小得替换）

⑵取倒数获得分式（将乘积形式转化为分式形式）

⑶取对数获得乘积式（通过对数运算将指数提前）

第三节泰勒中值定理（不作要求）

第四节函数得单调性与曲线得凹凸性

○连续函数单调性（单调区间）（★★★）

【题型示例】试确定函数得单调区间

1.∵函数在其定义域上连续,且可导

2.令,解得:

3.（三行表）

极大值

极小值

4.∴函数得单调递增区间为;

单调递减区间为

1.（构建辅助函数）设,（）

2.,（）

3.既证:

∴

○连续函数凹凸性（★★★）

【题型示例】试讨论函数得单调性、极值、凹凸性及拐点

1.

2.令解得:

3.（四行表）

4.⑴函数单调递增区间为,单调递增区间为,;

⑵函数得极小值在时取到,为,

极大值在时取到,为;

⑶函数在区间,上凹,在区间,上凸;

⑷函数得拐点坐标为

第五节函数得极值与最大、最小值

○函数得极值与最值得关系（★★★）

⑴设函数得定义域为,如果得某个邻域,使得对,都适合不等式,

我们则称函数在点处有极大值;

令

则函数在闭区间上得最大值满足:

;

⑵设函数得定义域为,如果得某个邻域,使得对,都适合不等式,

我们则称函数在点处有极小值;

则函数在闭区间上得最小值满足:

【题型示例】求函数在上得最值

2.令,

解得:

4.又∵

第六节函数图形得描绘（不作要求）

第七节曲率（不作要求）

第八节方程得近似解（不作要求）

第三章不定积分

第一节不定积分得概念与性质

○原函数与不定积分得概念（★★）

⑴原函数得概念:

假设在定义区间上,可导函数得导函数为,即当自变量时,有或成立,则称为得一个原函数

⑵原函数存在定理:

（★★）

如果函数在定义区间上连续,则在上必存在可导函数使得,也就就是说:

连续函数一定存在原函数（可导必连续）

⑶不定积分得概念（★★）

在定义区间上,函数得带有任意常数项得原函数称为在定义区间上得不定积分,即表示为:

（称为积分号,称为被积函数,称为积分表达式,则称为积分变量）

○基本积分表（★★★）

○不定积分得线性性质（分项积分公式）（★★★）

第二节换元积分法

○第一类换元法（凑微分）（★★★）

（得逆向应用）

【题型示例】求

○第二类换元法（去根式）（★★）

（得正向应用）

⑴对于一次根式（）:

:

令,于就是,

则原式可化为

⑵对于根号下平方与得形式（）:

令（）,

于就是,则原式可化为;

⑶对于根号下平方差得形式（）:

a.:

b.:

【题型示例】求（一次根式）

【题型示例】求（三角换元）

第三节分部积分法

○分部积分法（★★）

⑴设函数,具有连续导数,则其分部积分公式可表示为:

⑵分部积分法函数排序次序:

“反、对、幂、三、指”

○运用分部积分法计算不定积分得基本步骤:

⑴遵照分部积分法函数排序次序对被积函数排序;

⑵就近凑微分:

⑶使用分部积分公式:

⑷展开尾项,判断

a.若就是容易求解得不定积分,则直接计算出答案（容易表示使用基本积分表、换元法与有理函数积分可以轻易求解出结果）;

b.若依旧就是相当复杂,无法通过a中方法求解得不定积分,则重复⑵、⑶,直至出现容易求解得不定积分;

若重复过程中出现循环,则联立方程求解,但就是最后要注意添上常数

第四节有理函数得不定积分

○有理函数（★）

对于有理函数,当得次数小于得次数时,有理函数就是真分式;

当得次数大于得次数时,有理函数就是假分式

○有理函数（真分式）不定积分得求解思路（★）

⑴将有理函数得分母分拆成两个没有公因式得多项式得乘积:

其中一个多项式可以表示为一次因式;

而另一个多项式可以表示为二次质因式,（）;

即:

一般地:

则参数

则参数

⑵则设有理函数得分拆与式为:

其中

参数由待定系数法（比较法）求出

⑶得到分拆式后分项积分即可求解

【题型示例】求（构造法）

第五节积分表得使用（不作要求）

第四章定积分极其应用

第一节定积分得概念与性质

○定积分得定义（★）

（称为被积函数,称为被积表达式,则称为积分变量,称为积分下限,称为积分上限,称为积分区间）

○定积分得性质（★★★）

⑴

⑵

⑶

⑷（线性性质）

⑸（积分区间得可加性）

⑹若函数在积