最新北师大版高中数学选修11学案第三章 2 导数的概念及其几何意义Word文档下载推荐.docx
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当Pn趋近于点P时,割线PPn趋近于确定的位置,这个确定位置的直线PT称为________的切线.
(2)导数f′(x0)的几何意义:
函数f(x)在x=x0处的导数就是切线的斜率k,即k=________________________________________________________________________.
(3)切线方程:
曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为________________________.
类型一 利用定义求导数
例1 求函数f(x)=3x2-2x在x=1处的导数.
反思与感悟 求一个函数y=f(x)在x=x0处的导数的步骤如下:
(1)求函数值的变化量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);
(2)求平均变化率=;
(3)取极限,得导数f′(x0)=.
跟踪训练1 利用导数的定义求函数f(x)=-x2+3x在x=2处的导数.
类型二 求切线方程
命题角度1 求在某点处的切线方程
例2 已知曲线y=2x2上一点A(1,2),求:
(1)点A处的切线的斜率;
(2)点A处的切线方程.
反思与感悟 求曲线在某点处的切线方程的步骤
跟踪训练2 曲线y=x2+1在点P(2,5)处的切线与y轴交点的纵坐标是________.
命题角度2 曲线过某点的切线方程
例3 求抛物线y=x2过点(4,)的切线方程.
反思与感悟 过点(x1,y1)的曲线y=f(x)的切线方程的求法步骤
(1)设切点(x0,y0);
(2)建立方程f′(x0)=;
(3)解方程得k=f′(x0),x0,y0,从而写出切线方程.
跟踪训练3 求过点(-1,-2)且与曲线y=2x-x3相切的直线方程.
类型三 导数的几何意义的综合应用
例4 已知曲线f(x)=x2+1与g(x)=x3+1在x=x0处的切线互相垂直,求x0的值.
引申探究
若将本例的条件“垂直”改为“平行”,则结果如何?
反思与感悟 导数的几何意义是曲线的切线的斜率,已知切点可以求斜率,反过来,已知斜率也可以求切点,从而可以与解析几何等知识相联系.
跟踪训练4 已知直线l:
y=4x+a与曲线C:
y=x3-2x2+3相切,求a的值及切点坐标.
1.设函数f(x)在点x0附近有定义,且有f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a,b为常数),则( )
A.f′(x)=aB.f′(x)=b
C.f′(x0)=aD.f′(x0)=b
2.曲线f(x)=在点(3,3)处的切线的倾斜角等于( )
A.45°
B.60°
C.135°
D.120°
3.如图,函数y=f(x)的图像在点P(2,y)处的切线是l,则f
(2)+f′
(2)等于( )
A.-4B.3
C.-2D.1
4.已知函数y=ax2+b在点(1,3)处的切线斜率为2,则=________.
5.求曲线y=在点处的切线方程.
1.导数f′(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率,即k==f′(x0).
2.利用导数求曲线的切线方程,要注意已知点是否在曲线上.如果已知点在曲线上,则以该点为切点的切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0);
若已知点不在切线上,则设出切点(x0,f(x0)),表示出切线方程,然后求出切点.
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 平均变化率刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的快慢,瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢;
当Δx趋于0时,平均变化率趋于一个常数,这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率,它是一个固定值.
梳理 f′(x0)瞬时变化率
知识点二
思考1 割线PPn的斜率
kn=.
思考2 kn无限趋近于切线PT的斜率k.
梳理
(1)点P处
(2)li=f′(x0)
(3)y-f(x0)=f′(x0)(x-x0)
题型探究
例1 解 ∵Δy=3(1+Δx)2-2(1+Δx)-(3×
12-2×
1)
=3(Δx)2+4Δx,
∴==3Δx+4,
∴f′
(1)==(3Δx+4)=4.
跟踪训练1 解 由导数的定义知,函数在x=2处的导数
f′
(2)=,而f(2+Δx)-f
(2)=-(2+Δx)2+3(2+Δx)-(-22+3×
2)=-(Δx)2-Δx,
于是f′
(2)=
=(-Δx-1)=-1.
例2 解
(1)k=li
=
=(4+2Δx)=4,
∴点A处的切线的斜率为4.
(2)点A处的切线方程是
y-2=4(x-1),即4x-y-2=0.
跟踪训练2 -3
解析
=(4+Δx)=4,
曲线y=x2+1在点(2,5)处的切线方程为
y-5=4(x-2),
即y=4x-3.
∴切线与y轴交点的纵坐标是-3.
例3 解 设切线在抛物线上的切点为(x0,x),
∵
=(x0+Δx)=x0.
∴=x0,
即x-8x0+7=0,解得x0=7或x0=1,
即切线过抛物线y=x2上的点(7,),(1,),
故切线方程为y-=(x-7)或y-=(x-1),
化简得14x-4y-49=0或2x-4y-1=0,
即为所求的切线方程.
跟踪训练3 解
=[2-3x2-3xΔx-(Δx)2]
=2-3x2.
设切点坐标为(x0,2x0-x).
∴切线方程为y-2x0+x
=(2-3x)(x-x0).
又∵切线过点(-1,-2),
∴-2-2x0+x=(2-3x)(-1-x0),
即2x+3x=0,
∴x0=0或x0=-.
∴切点坐标为(0,0)或.
当切点坐标为(0,0)时,切线斜率为2,
切线方程为y=2x,即2x-y=0.
当切点坐标为时,
切线斜率为-,
切线方程为y+2=-(x+1),
即19x+4y+27=0.
综上可知,过点(-1,-2)且与曲线相切的切线方程为
2x-y=0或19x+4y+27=0.
例4 解 因为f′(x0)=
=(Δx+2x0)=2x0,
g′(x0)=
=[(Δx)2+3x0Δx+3x]
=3x,
k1=2x0,k2=3x,
因为切线互相垂直,所以k1k2=-1,
即6x=-1,解得x0=-.
引申探究 解 由例4知,f′(x0)=2x0,g′(x0)=3x,
k1=2x0,k2=3x,由题意知2x0=3x,得x0=0或.
跟踪训练4 解 设直线l与曲线C相切于点P(x0,y0).
=3x2-4x,
由题意可知k=4,即3x-4x0=4,
解得x0=-或x0=2,
∴切点的坐标为(-,)或(2,3).
当切点为(-,)时,
有=4×
(-)+a,a=.
当切点为(2,3)时,有3=4×
2+a,
a=-5.
∴当a=时,切点坐标为(-,);
当a=-5时,切点坐标为(2,3).
当堂训练
1.C 2.C 3.D 4.2
5.解 因为
==-.
所以这条曲线在点处的切线斜率为-,
由直线的点斜式方程可得切线方程为
y-=-(x-2),
即x+4y-4=0.